1、课时作业16圆锥曲线中的证明、定点及定值问题 A基础达标1设椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若椭圆E的离心率为，ABF2的周长为4.(1)求椭圆E的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线2已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2F1F2，且|AF2|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：ykxm与l1，l2分别交于
2、M，N两点，求证：MF1N为定值B素养提升1已知椭圆C：1(ab0)的左顶点为M，上顶点为N，直线2xy60与直线MN垂直，垂足为点B，且点N是线段MB的中点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C交于E，F两点，点G在椭圆C上，且四边形OEGF(O为坐标原点)为平行四边形，求证：四边形OEGF的面积S为定值22020长沙市统一模拟考试已知椭圆C1：1(ab0)的右顶点与抛物线C2：y22px(p0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为4.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程(2)过点A(4,0)的直线l与椭圆C1交于M，N两
3、点，点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论课时作业16圆锥曲线中的证明、定点及定值问题A基础达标1解析：(1)由题意知，4a4，a.又e，c，b，椭圆E的方程为1.(2)当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上O，M，N三点共线；当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则，两式相减，得0，即kkOM.kOM.同理可得kON，kOMkON，O，M，N三点共线2解析：(1)由AF2F1F2，|AF2|，得.又e，a2b2c2，所以a29，b28.故椭圆C的
4、标准方程为1.(2)由题意可知，l1的方程为x3，l2的方程为x3.直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(3，3km)，N(3,3km)，所以(2，3km)，(4,3km)，所以8m29k2.联立，得(9k28)x218kmx9m2720，因为直线l与椭圆C相切，所以(18km)24(9k28)(9m272)0，化简得m29k28.所以8m29k20，所以，故MF1N为定值.B素养提升1解析：(1)由题意知M(a,0)，N(0，b)，直线MN的斜率k，所以a2b.因为点N是线段MB的中点，所以点B的坐标为(a,2b)又点B在直线2xy60上，所以2a2b6，联立，解得a2，b.所以椭圆C的
5、方程为1.(2)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由消去y并整理，得(14k2)x28kmx4m2120.易知0，则x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2m.因为四边形OEGF为平行四边形，所以(x1x2，y1y2)，可得G.将点G的坐标代入椭圆C的方程，得m2(14k2)又点O到直线EF的距离d，|EF|x1x2|，所以平行四边形OEGF的面积Sd|EF|m|x1x2|m|443.于是四边形OEGF的面积S为定值，且定值为3.2解析：(1)设椭圆C1的半焦距为c.依题意，可得a，则C2：y24ax，代入xc，得y24ac，即y2，所以44，则有，所以a2，b，所以椭圆C1的方程为1
6、，抛物线C2的方程为y28x.(2)依题意，当直线l的斜率不为0时，设其方程为xty4.由，得(3t24)y224ty360.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则E(x1，y1)由0，得t2，且y1y2，y1y2.根据椭圆的对称性可知，若直线EN过定点，此定点必在x轴上，设此定点为Q(m,0)因为kNQkEQ，所以，(x1m)y2(x2m)y10，即(ty14m)y2(ty24m)y10,2ty1y2(m4)(y1y2)0，即2t(m4)0，得(3m4)t(m1)t0，由t是大于2或小于2的任意实数知m1，所以直线EN过定点Q(1,0)当直线l的斜率为0时，直线EN的方程为y0，也经过点Q(1,0)，所以当直线l绕点A旋转时，直线EN恒过一定点Q(1,0)
