1、泉州市 2022 年高考质优生考前强化训练资料推题四：解析几何试题1已知抛物线 的标准方程是220 xpy p，过点0,2Mp 的直线l 与抛物线 相交于 11,A x y，22,B xy两点，且满足1264yy（1）求抛物线 的标准方程及准线方程；（2）设垂直于l 的直线 1l 和抛物线 有两个不同的公共点C，D，当C，D 均在以 AB 为直径的圆上时，求直线l 的斜率关键词：四点共圆，向量工具2已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 FA，是抛物线C 上的任意一点.当 AFx轴时，OAF的面积为 4（O 为坐标原点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）若00,01D xx，连接 AD
2、并延长交抛物线C 于 M，点 MN，关于 x 轴对称，点 P 为直线 AN与 x 轴的交点，且 PMN为直角三角形，求点 P 到直线 AM 的距离的取值范围.关键词：图形特征代数化，取值范围3已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为 12，且过点(2,3)A，右顶点为 B.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点 A 作两条直线分别交椭圆于点 M，N 满足直线 AM，AN 的斜率之和为 3，求点 B 到直线 MN 距离的最大值.关键词：斜率和（积）问题，取值范围4已知等轴双曲线的顶点12,0F，2 2,0F分别是椭圆C 的左、右焦点，且4 33x 是椭圆与双曲线某个交点的横坐标（1）求
3、椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆过椭圆的上顶点 M，求证：直线l 恒过定点关键词：垂直的代数刻画，向量工具，定点定值5已知双曲线 C：2222xyab1(a，b0)的左、右焦点分别为 F1(-c，0)，F2(c，0)，其中 c0，M(c，3)在 C 上，且 C 的离心率为 2.（1）求 C 的标准方程；（2）若 O 为坐标原点，12F MF的角平分线 l 与曲线 D：2222xycb1 的交点为 P，Q，试判断 OP 与OQ 是否垂直，并说明理由.关键词：角平分线，向量工具6已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点 F，若平面上一点(2
4、,3)A到焦点 F 与到准线:2pl x 的距离之和等于 7.（1）求抛物线C 的方程；（2）又已知点 P 为抛物线C 上任一点，直线 PA 交抛物线C 于另一点 M，过 M 作斜率为43k 的直线 MN 交抛物线C 于另一点 N，连接.PN问直线 PN 是否过定点，如果经过定点，则求出该定点，否则说明理由.关键词：定点定值，设点法7在平面直角坐标系 xOy 中，点3,0M，3,0N，动点Q 满足直线 QM 与QN 的斜率乘积为49.（1）求动点Q 的轨迹方程1C；（2）已知222:11510 xyC，在2C 上取一点 00,P xy0003,0 xy作1C 的两条切线,PA PB，其中,A
5、B 为切点，,PA PB 的斜率分别为12,k k，直线 PA 与 x 轴的负半轴交于点 D，直线 PB 与 x 轴的正半轴交于点 E，且2PEDPDE，求1k 和2k.关键词：斜率和（积），切线问题、角度的刻画、设点法参 考 答 案1解：（1）由题意可知，直线l 的斜率存在，设其斜率为k，则直线l 的方程为2ykxp，由222xpyykxp消元得：22240 xpkxp122xxpk，2124xxp，因为点 11,A x y，22,B xy在抛物线 上，所以2112xpy，2222xpy，所以22212124x xp y y，212464yyp，解得：4p，所以抛物线 的标准方程为28xy，
6、准线方程为2y （2）由（1）得：抛物线 的方程为28xy，若0k，则直线 1l 与抛物线仅有一个交点，不合题意，所以，设33,C x y，44,D xy，所以143344318lyyxxkxxk，则348xxk，因为,C D 在以 AB 为直径的圆上，所以CACB，DADB，即0CA CB，0DA DB，222231323132222241424142064064xxxxxxxxxxxxxxxx，整理得：31324142640640 xxxxxxxx，由（1）知：128xxk，1264xx，2332448080 xkxxkx，两式作差得：348xxk，又348xxk，88kk，解得：1k .
7、直线l 的斜率为1或 1.22.解：（1）因为 F 为抛物线C 的焦点，所以,02pF，所以|2pOF.来因为 AFx轴，所以,2pAp，所以|AFp.因为OAF的面积为 4，所以 142 2p p，且0p，4p，故抛物线C 的方程为28yx.（2）设直线 AM 的方程为0()0 xmyxm，11,A x y，22,M xy，则22,N xy.联立028xmyxyx，整理得20880ymyx.因为2064320mx，所以128yym，1208y yx.设3,0P x，则232,PNxxy，131,PAxxy.因为,P N A三点共线，所以2311320 xxyxxy，所以21121230 x
8、yx yyyx，121212321128y yyyyyxx yx y.因为1280yym，1208y yx，所以30 xx.因为点,M N 关于 x 轴对称，所以|PMPN，因为 PMN为直角三角形，所以45DPMDPN ，所以直线 AN 的斜率121212121212881yyyykxxyyyyyy，所以128yy.由22212121204643264yyyyy ymx，得2022mx.因为20m，所以02x，因为01x，所以012x，则点 P 到直线 AM 的距离300022022 2411xxxxdxmm.设04tx，则23t，且204xt，故22 2 48 22 2tdttt因为8 2
9、2 2ytt在2,3 上单调递减，所以 2 643d.来源:学科网 ZXXK3解：（1）由题2222212491bcaceaab，解得：42 32abc ，所以C 的标准方程为2211612xy（2）若直线 MN 斜率不存在，设0000(,),(,)M xyN xy，则220000001161233322xyyyxx，解得0040 xy，此时,M N 重合，舍去.若直线 MN 斜率存在，设直线1122(,),(,)MNykxtM x yN xy：，联立2211612xyykxt，得222(43)84480kxktxt，所以21212228448,4343kttxxx xkk，由题意121233
10、322yyxx，即121233322kxtkxtxx 化简得1212(23)(29)()4240.kx xtkxxt因此2224488(23)(29)()4240.4343tktktktkk化简得2286860kkttkt，即(23)(42)0ktkt 若 230kt ，则23tk，直线 MN 过点(2,3)A，舍去，所以 420kt，即42tk，因此直线 MN 过点(4,2)P.又点(4,0)B，所以点 B 到直线 MN 距离最大值即2BP，此时2MNy ：，符合题意.所以点 B 到直线 MN 距离最大值为 2.4.解：（1）由已知可得双曲线方程为22144xy因为4 33x，所以交点为 4
11、 32 3,33设椭圆C 的方程为222214xybb，代入 4 32 3,33，得24b，所以椭圆C 的方程为22184xy（2）证明：显然直线l 与 x 轴不垂直设直线l：2ykxm m与椭圆C：22184xy相交于 11,A x y，22,B xy，由22,184ykxmxy得222214280kxkmxm，所以122421kmxxk，21222821mx xk因为90AMB，所以 1122,2,20 x yxy，即1212220 x xyy，121212240 x xy yyy，所以121212240 x xkxmkxmkxmkxm，整理得 2212121220kx xk mxxm，即
12、2222228412202121mkmkk mmkk因为2m，22221242120kmk mkm，整理得320m，所以23m ，所以直线l 恒过定点20,35解:（1）由题意得222912cabca，即2941b，解得3b，又222cab，可得1,2ac，故双曲线 C 的标准方程为2213yx .（2）设角平分线与 x 轴交于点 N，根据角平分线性质可得1122F NMFNFMF，因为2,3M，1122515,3,032F NF MF MNF N，1:2212MN yxx.设 1122,P x yQ xy，联立方程2221143yxxy，可得2191680 xx12121619819xxx
13、x，1212121221 21421y yxxx xxx1212121281652152101919OP OQx xy yx xxx ,即OP 与OQ OQ 不垂直6解:（1）由已知，定点(2,3)A到焦点 F 与到准线:2pl x 的距离之和等于 7.有22232722pp，则4p，即抛物线的方程28yx.（2）设11(,)P xy，22(,)M xy，33(,)N xy，则121211212222888PMyyyykyyxxyy，同理：238MNkyy，138PNkyy，由23843MNkyy知：236yy，即236yy，直线11128:()PMyyxxyy，即1212()8yyyy yx
14、过(2,3)A，求得1211633yyy，同理求直线 PN 方程1313()8yyyy yx由得13133()2y yyy，代入得1313()3()28yyyyyx，13()(3)280yyyx，故3y 且 280 x时，即直线 PN 恒过点 1,34.7解：（1）设,Q x y，由题意得4339QMQNyykkxx，化简得221:1(3)94xyCx（2）设点 P 的坐标为00,P xy，由题意可知220011510 xy，因为003x，所以过点 P 作1C 切线的斜率显然存在，设直线的斜率为为 k，即00ykxykx，将该直线方程与1C 联立：0022194ykxykxxy得：222000094189360kxk ykxxykx.令0，整理得22200009240 xkx y ky，由题意知1k，2k 是方程的两根，2090 x，且由韦达定理，知20122049ykkx，将代入即得1223kk，由2PEDPDE，结合题意可知：1tankPDE，2tankPED，所以12212tan 21kkPDEk ，由并结合点 P 的位置解得112k，243k ，经检验符合题意.
