1、第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解导数概念的实际背景(难点)2.会求函数在某一点附近的平均变化率(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数(重点、难点)1通过学习导数概念，培养学生数学抽象的素养.2.借助导数的定义求函数在某点的导数，培养数学运算的素养.自 主 预 习 探 新 知 1函数的平均变化率(1)定义式：yx .(2)实质：的改变量与的改变量之比(3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢fx2fx1x2x1自变量函数值(4)几何意义：已知 P1(x1，f(x1)，P2(x2，f
2、(x2)是函数 yf(x)的图象上两点，则平均变化率yxfx2fx1x2x1表示割线 P1P2 的斜率思考：x，y的取值一定是正数吗？提示 x0，yR.2函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率(1)定义式：limx0yx .(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时，_趋近的值(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢limx0fx0 xfx0 x化率平均变3函数 f(x)在 xx0 处的导数函数 yf(x)在 xx0 处的称为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作或，即 f(x0)limx0yx_.瞬时变化率f(x0)y|xx0limx0fx0 xfx0 x1下列说法错误的
3、是()A函数的平均变化率可以大于零B函数的平均变化率可以小于零C函数的平均变化率可以等于零D函数的平均变化率不能等于零D 函数的平均变化率为 yx，显然其值是可正、可负、可为零的，故选D2已知函数f(x)x21，则在x2，x0.1时，y的值为()A0.40 B0.41C0.43D0.44B yf(2x)f(2)2.1240.41.3一物体的运动方程是s3t2，则在一小段时间2,2.1内的平均速度为()A0.41B3C4D4.1D st32.123222.124.1.合 作 探 究 释 疑 难 求函数的平均变化率【例1】(1)若函数f(x)2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，
4、则yx()A4 B4xC42xD42(x)2(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为 v1，v2，v3，则三者的大小关系为_(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为_(1)C(2)v1 v2 v3 (3)283 (1)yf(1x)f(1)2(1x)21(2121)2(x)24x yx2x4，故选C(2)由题意知，v1kOA，v2kAB，v3kBC 根据图象知v1v2v3.(3)V43234313283.Vr283.1求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量xx2x1.第二步，求函数值的增量yf(x2)f
5、(x1)第三步，求平均变化率yxfx2fx1x2x1.2求平均变化率的一个关注点 求点x0附近的平均变化率，可用fx0 xfx0 x的形式跟进训练1已知函数f(x)x 1x，分别计算f(x)在1,2和3,5上的平均变化率，并比较两个区间上变化的快慢解 自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为yxf2f12112.自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为 yx f5f3531415.由于121415，所以函数f(x)x1x在3,5的平均变化比在1,2的平均变化快求瞬时速度【例2】一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)3tt2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物
6、体在t2时的瞬时速度解(1)当t0时的速度为初速度在0时刻取一时间段0,0t，即0，t，ss(t)s(0)3t(t)2(3002)3t(t)2.st3tt2t3t，limt0stlimt0(3t)3.物体的初速度为3.(2)取一时间段2,2t，ss(2t)s(2)3(2t)(2t)2(3222)t(t)2，sttt2t1t，limt0stlimt0(1t)1，当t2时，物体的瞬时速度为1.1求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度vst.(3)求瞬时速度，当t无限趋近于0时，st 无限趋近于常数v，即为瞬时速度 2求yx(当x无限趋近
7、于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把x作为一个数来参与运算(2)求出yx的表达式后，x无限趋近于0就是令x0，求出结果即可跟进训练2一质点按规律s(t)at22t1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t1 s时的瞬时速度为4 m/s，求常数a的值解 ss(1t)s(1)a(1t)22(1t)1(a3)a(t)2(2a2)t，stat2a2.在t1 s时，瞬时速度为limt0st2a2，即2a24，a1.求函数在某点处的导数 探究问题1等式limx0fx0 xfx0 xlimx0fx0fx0 xx成立吗？提示：成立 2若 limx0fx0 xfx0 x3，则 limx0
8、fx02xfx02x等于多少？提示：limx0fx02xfx02xlimx0fx0 xfx0 x3.【例3】(1)函数y x在x1处的导数为_(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为yf(t)t33，当t14，t0.01时，求y和比值yt；求t14时的导数思路点拨(1)求y求yx求limx0yx(2)yf4.01f4yt 求y求yt 求limx0yt (1)12 y 1x1，yx 1x1x11x1，limx011x112，所以y|x112.(2)解 yf(t1t)f(t1)3t 21 t3t1(t)2(t)3，故当t14，t0.01时，y0.481 201，yt48.120 1
9、.limt0 ytlimt0 3t213t1t(t)23t2148，故函数yt33在t14处的导数是48，即y|t1448.求函数yf(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限提醒：当对 yx 取极限时，一定要把 yx 变形到当x0时，分母是一个非零常数的形式跟进训练3(1)函数f(x)123x在x1处的导数为_(2)已知函数f(x)在xx0处的导数为4，则limx0fx02xfx0 x_.(1)325(2)8(1)因为yxf1xf1x 1231x1231x3x553xx3553x，所以f(1)limx0yxlimx03553x 325.(2)limx0fx02xfx0 x li
10、mx0 fx02xfx02x2 2limx0fx02xfx02x2f(x0)248.课 堂 小 结 提 素 养 1理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率 fx2fx1x2x1表示点(x1，f(x1)与点(x2，f(x2)连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”(2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为fx0 xfx0 x的形式(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势自变量的改变量x取值越小，越能准确体现函数的变化情况2利用导数定义求导数时要特别注意：(1)取极限前，要注意化简yx，保证使x0时分母不为0.(2)函数在x0处的导数f(x0)只与x0有关，与x无关1判断正误(1
11、)平均变化率等于0时，说明函数没有发生变化()(2)函数f(x)在x0处的导数实质就是函数f(x)在x0处的瞬时变化率()(3)函数f(x)在x0处的导数与x无关，只与x0有关()答案(1)(2)(3)2函数f(x)在x0处可导，则limh0fx0hfx0h()A与x0，h都有关B仅与x0有关，而与h无关C仅与h有关，而与x0无关D与x0，h均无关答案 B3一质点按规律s(t)2t2运动，则在t2时的瞬时速度为_8 s(2t)s(2)2(2t)2222 2(t)28t.limt0s2ts2tlimt02t28ttlimt0(2t8)8.4求函数y2x24x在x3处的导数解 y2(3x)24(3x)(23243)2(x)216x，yx2x216xx2x16.y|x3limx0yxlimx0(2x16)16.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
