1、按秘密级事项管理启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（山师附中模拟卷）数学学科本试卷共6页，22小题考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本题共8小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出集合，然后再利用集合的交运算即可求
2、解.【详解】由集合，所以.故选：B【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知复数z满足z(1+2i)=i，则复数在复平面内对应点所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案【详解】解：由，得，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限故选：D点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题3.已知向量，则“m1”是“，夹角为钝角”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充
3、分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积的知识可得若，夹角为钝角，则且，再由且结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】若，夹角为钝角，则且，由可得，解得且，由且可得“m1”是“，夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了利用平面向量数量积解决向量夹角问题，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.4.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ）A. 90B. 120C. 210D. 216【答案】C【解析】【分析】根据题意：分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；第二类
4、，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解.【详解】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：种站法；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：种站法；所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是.故选：C【点睛】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.5.已知定义在上的函数，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断函数在时的单
5、调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到，比较三个数的大小，然后根据函数在时的单调性，比较出三个数的大小.【详解】当时，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.6.对个不同的实数、可得个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵对第行、，记，、例如用、可得数阵如下，对于此数阵中每一列各数之和都是，所以那么，在用、形成的数阵中，等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算出每列数之和为，进而可求得的值.【详解】由题
6、意可知，在用、形成的数阵中，一共有行，所以，数阵的每一列中、都是个，所以，每一列数字之和为，因此，.故选：C.【点睛】本题考查归纳推理，解答的关键在于计算出每一列数的和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7.已知中，为所在平面上一点，且满足.设，则的值为（ ）A. 2B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】由由，得：点是的外心，由向量的投影的概念可得：，再代入运算，即可【详解】解：由，得：点是的外心，又外心是中垂线的交点，则有：，即，又，所以，解得：，即，故选：【点睛】本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面向量的数量积公式，属中档题.8.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC
7、，AB=BC=BB1=1，M是AC的中点，则三棱锥B1ABM的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意找到三棱锥B1ABM的外接球球心为中点,即可求出其半径,则可求出其表面积.【详解】如图所示：取中点为，中点为.并连接,则平面,所以所以三棱锥B1ABM的外接球球心为中点.所以,所以三棱锥B1ABM的外接球的表面积为.故选:B【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积,属于基础题.解本题的关键在于画出三棱柱，找到三棱锥的外接球球心.二、多项选择题：本题共4小题在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求9.Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教
8、学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A. 月跑步里程最小值出现在2月B. 月跑步里程逐月增加C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小【答案】ACD【解析】【分析】根据折线图，依次分析月跑步里程的最小值，中位数，变化趋势，波动性即得解【详解】由折
9、线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A正确；月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正确；月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；1月到5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查了统计图表折线图的应用，考查了学生综合分析，数形结合，数据处理能力，属于基础题10.已知函数，下列结论正确的是（ ）A. 函数图像关于对称B. 函数上单调递增C. 若，则D. 函数的最小值为【答案】A【解析】【分析】本题首先可以去绝对值，将函数变成分段函数，
10、然后根据函数解析式绘出函数图像，最后结合函数图像即可得出答案.【详解】由题意可得： ，即可绘出函数图像，如下所示：故对称轴为，A正确；由图像易知，函数在上单调递增，上单调递减，B错误；要使，则，由图象可得或、或，故或或，C错误；当时，函数取最小值，最小值，D错误，故选：A【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的对称轴、三角函数的单调性以及三角函数的最值，考查分段函数，考查数形结合思想，是难题.11.已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面.下面说法正确的是（ ）A. 直线与平面所成角的正弦值范围为B. 点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C. 点为的中点时
11、，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D. 己知为中点，当的和最小时，为的中点【答案】AC【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出平面，分别取棱、的中点、，比较和六边形的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面与棱、的交点、，判断四边形的形状可判断C选项的正误；将矩形与矩形延展为一个平面，利用、三点共线得知最短，利用平行线分线段成比例定理求得，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则点、设点，平面，则为平面的一个法向量，且，所以，直
12、线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；对于B选项，当与重合时，连接、，在正方体中，平面，平面，四边形是正方形，则，平面，平面，同理可证，平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.设、分别为棱、的中点，易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，面积为，则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误；对于C选项，设平面交棱于点，点，平面，平面，即，得，所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，而，且，由空间中两点间的距离公式可得，所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；对于D选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：若最短，则、三点共线，所以，点不是棱的
13、中点，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.12.函数f(x)=ex+asinx，x(，+)，下列说法正确的是（ ）A. 当a=1时，f(x)在(0，f(0)处的切线方程为2xy+1=0B. 当a=1时，f(x)存在唯一极小值点x0且1f(x0)0C. 对任意a0，f(x)在(，+)上均存在零点D. 存在a0，f(x)在(，+)上有且只有一个零点【答案】ABD【解析】【分析】逐一验证选项，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项B 通过导数求出函数极值并判断
14、极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线ya 的交点问题【详解】选项A，当时，所以，故切点为，所以切线斜率，故直线方程为：，即切线方程为：， 选项A正确.选项B，当时，恒成立，所以单调递增，又, ,所以，即，所以所以存，使得，即则在上，在上，所以在上，单调递减，在上，单调递增.所以存在唯一的极小值点.,则，所以B正确.对于选项C、D，令，即 ，所以, 则令,令,得由函数的图像性质可知:时，单调递减.时，单调递增.所以时，取得极小值，即当时取得极小值，又,即又因为在上单调递减，所以所以时，取得极小值，即当时取得极大值，又，即所以当时，所以当，即时，f(x)在(，+)上无零
15、点，所以C不正确.当，即时，与的图象只有一个交点即存在a0，f(x)在(，+)上有且只有一个零点，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查函数的切线、极值、零点问题，含参数问题的处理，考查数学运算，逻辑推理等学科素养的体现，属于难题题三、填空题：本题共4小题13.的展开式中的常数项为_.(用数字作答)【答案】240【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项【详解】解：展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为：240【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题14.一个
16、不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是_.【答案】【解析】【分析】先定义事件，从而得到事件“甲恰好摸到两次绿球的情况为事件，利用事件的独立性进行概率计算，即可得到答案。【详解】设“甲摸到绿球”的事件为，则，“甲摸到红球”的事件为，则，设“乙摸到绿球”的事件为，则，“乙摸到红球”的事件为，则，在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的情况是，所以.故答案为：【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率
17、，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是准确定义相关事件。15.己知a，b为正实数，直线y=xa与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_.【答案】4【解析】【分析】由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得、，进而可得，再利用，结合基本不等式即可得解.【详解】对求导得，因为直线y=xa与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，所以即，所以，所以切点为，由切点在切线y=xa上可得即，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值是.故答案为：.【点睛】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力，属于中档题.16.已知双曲线，F1
18、，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是F1PF2的内切圆.则M的横坐标为_，若F1到圆M上点的最大距离为，则F1PF2的面积为_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】利用双曲线的定义以及内切圆的性质，求得的横坐标.由F1到圆M上点的最大距离，求得圆的半径，求得直线的方程，由此求得点的坐标，从而求得，进而求得F1PF2的面积.【详解】双曲线的方程为，则.设圆分别与相切于，根据双曲线的定义可知，根据内切圆的性质可知，而. 由得：，所以,所以直线的方程为，即的横坐标为.设坐标为，则到圆M上点的最大距离为，即，解得.设直线的方程为，即.到直线的距离为，解得.所以线
19、的方程为.由且在第一象限，解得.所以，.所以F1PF2的面积为.故答案为：；【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查圆的几何性质、直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.四、解答题：本题共6小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和，且对任意恒成立，求范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因为，所以，两式相减，整理得，令，求出，进而得解；（2）求出数列的通项公式，通过裂项相消法进行求和，将与0比较，判断出的单调性，求出的最小值，从而得解.【详解】（1）因为所以由式式得，即，又当时，解得，
20、所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.（2），所以单调递增，所以，所以.【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用、裂项相消法求和及确定数列中的最大（小）项，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.当数列出现前后项差的时候，可考虑裂项相消求和法.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.18.平面四边形ABCD中，边BC上有一点E，ADC=120，AD=3， ， （1）求AE的长：（2）己知ABC=60求ABE面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）在中利用正弦定理可得，根据边角关系可得
21、，进而可得，利用勾股定理计算即可；（2）先利用余弦定理算出，再通过三角形面积公式计算即可.【详解】（1）在中由正弦定理可得，即，因为，所以是锐角，故，又ADC=120，在直角三角形中，；（2）在中，由余弦定理可得：，因为，当且仅当时等号成立，从而，.所以ABE面积的最大值为.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理解三角形，考查面积公式的应用，是中档题.19.在直角梯形中，点是的中点将沿折起，使，连接、，得到三棱锥（1）求证：平面平面；（2）若，二面角的余弦值为，求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出平面，可得出，结合以及线面垂直的判定定理得出平面，然后利用面
22、面垂直的判定定理可得出平面平面；（2）由（1）可知平面，可得二面角的平面角为，由，可求得，进而可求得的长，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法以及同角三角函数的基本关系可求得二面角的正弦值.【详解】（1）在直角梯形中，则，在三棱锥中，所以平面，平面，所以，因为，所以平面，平面，所以平面平面；（2）由（1）可知平面，、平面，所以二面角的平面角即为由（1）可知，平面，平面，在中，故，在直角梯形中，设，则，在三棱锥中，易知，得到，即，解得，所以，以、所在直线为、轴，过点作平面的垂线，以其为轴，建立空间直角坐标系，易得、，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量，由
23、，得，得，令，则，所以，因此，二面角的正弦值为【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求二面角，以及利用二面角的定义取线段长度，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.从年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情.目前，蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延.蝗虫危害大，主要危害禾本科植物，能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度平均产卵数个表中，.（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判
24、断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为.记该地今后年中，恰好需要次人工防治的概率为，求取得最大值时相应的概率；根据中的结论，当取最大值时，记该地今后年中，需要人工防治的次数为，求的数学期望和方差.附：对于一组数据、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.【答案】（1）更适宜；（2）；，.【解析】【分析】（1）利用图象可得出更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归类型，对，两边取自然对数，求出
25、关于的回归方程，进而可得出关于的回归方程；（2）对函数求导数，利用导数判断该函数的单调性，求出函数取最值时对应的的值；由取最大值时对应的的值，得出，由二项分布的数学期望和方差公式可得出、的值.【详解】（1）由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归类型，对两边取自然对数得，令，则.因为，所以，关于的回归方程为，所以，关于的回归方程为；（2）由，且，当时，；当时，.所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，；由可知，当时，取最大值，又，则，由题意可知，.【点睛】本题考查非线性回归方程的求解，考查了利用导数求函数的最值，同时也考查了利用二项分
26、布求随机变量的数学期望和方差，考查计算能力，属于中等题.21.已知椭圆E：经过点，且焦距为.(1)求椭圆方程；(2)设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于，两点，记直线、的斜率分别为，若，求直线的方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由焦距为可得，再将点代入椭圆方程与联立即可求出椭圆的方程；(2)由题意知，直线的斜率不存在，不符合要求，故可设直线方程为，设，将直线与椭圆的方程联立，消去利用根与系数关系可求出，代入化简即可求出.【详解】(1)由条件，又，联立解得椭圆的方程：.(2)由条件得，若的斜率不存在，由对称性知，不符合要求；若的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为，联立，得设
27、，则所以，所以，所以，所以直线的方程为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆相交问题的处理方法，直线的斜率公式，属于中档题.22.已知函数，.（）若曲线与曲线在公共点处有共同的切线，求实数的值；（）在（）的条件下，试问函数是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由.【答案】（I）；（II）无零点.【解析】试题分析：（）设曲线与曲线公共点为则由，即可求的值；（）函数是否有零点，转化为函数与函数在区间是否有交点，求导根据函数单调性可知最小值为，最大值为，从而无零点试题解析：（）函数的定义域为，设曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线，所以，解得，.由可得.联立解得. （）函数是否有零点，转化为函数与函数在区间是否有交点，可得，令，解得，此时函数单调递增；令，解得，此时函数单调递减.当时，函数取得极小值即最小值，.可得，令，解得，此时函数单调递增；令，解得，此时函数单调递减.当时，函数取得极大值即最大值，.因此两个函数无交点.即函数无零点. 点睛：本题中涉及根据函数零点个数求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
