1、2015-2016学年河南省信阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题(每小题5分，共60分)1若函数f（x）=sin1cosx，则f（1）=（）Asin1+cos1Bcos1Csin1Dsin1cos12设随机变量N（，2），且P（1）=P（2）=0.3，则P（2+1）=（）A0.4B0.5C0.6D0.73用反证法证明命题：“a，b，c，dR，a+b=1，c+d=1，且ac+bd1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）Aa，b，c，d中至少有一个正数Ba，b，c，d全为正数Ca，b，c，d全都大于等于0Da，b，c，d中至多有一个负数4若A=8C，则n的值为（）A6B7C8
2、D95在复平面内，若复数z1和z2对应的点分别是A（2，1）和B（0，1），则=（）AiBiC +iD +i6展开式中的常数项为（）A第5项B第6项C第5项或第6项D不存在7已知ABC的周长为c，它的内切圆半径为r，则ABC的面积为cr运用类比推理可知，若三棱椎DABC的表面积为6，内切球的半径为，则三棱锥DABC的体积为（）ABC3D28小张、小王、小李三名大学生到三个城市去实习，每人只去一个城市，设事件A为“三个人去的城市都不同”事件B为“小张单独去了一个城市”，则P（A|B）=（）ABCD9若函数f（x）=x3ax2ax在区间（0，1）内只有极小值，则实数a的取值范围是（）A（0，+）B
3、（1，+）C（0，1）D（0，2）10甲、乙两人进行射击比赛，他们击中目标的概率分别为和（两人是否击中目标相互独立），若两人各射击2次，则两人击中目标的次数相等的概率为（）ABCD11设函数f（x）是偶函数f（x）（x（，0）（0，+）的导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（1，0）（0，1）D（0，1）（1，+）12定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数，我们可以把1拆分成多个不同的单位分数之和例如：1=+，1=+，1=+，依此拆分法可得1=+，其中m，nN*，则mn=（）A2B4C
4、6D8二、填空题(每题5分，共20分)13对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据（xi，yi）（i=1，2，8），其回归直线方程是=x+，且x1+x2+x3+x8=3（y1+y2+y3+y8）=6，则=14某单位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值两天，值两天的必须是相邻的两天，则不同的值班安排种数为（用数字作答）15（理）设整数m是从不等式x22x80的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量=m2，则的数学期望E=16已知e是自然对数的底数，实数a，b满足eb=2a3，则|2ab1|的最小值为三、解答题17已知复数z=k2i（kR）的共轭复数，且z（i）
5、=2i（）求k的值；（）若过点（0，2）的直线l的斜率为k，求直线l与曲线y=以及y轴所围成的图形的面积18为研究心理健康与是否是留守儿童的关系，某小学在本校四年级学生中抽取了一个110人的样本，其中留守儿童有40人，非留守儿童有70人，对他们进行了心理测试，并绘制了如图的等高条形图，试问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为心理健康与是否是留守儿童有关系？参考数据： P（K2k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63
6、5 7.879 10.828K2=（n=a+b+c+d）19已知函数f（x）=（）求f（x）的极值；（）试比较20162017与20172016的大小，并说明理由20甲、乙、丙三人准备报考某大学，假设甲考上的概率为，甲，丙两都考不上的概率为，乙，丙两都考上的概率为，且三人能否考上相互独立（）求乙、丙两人各自考上的概率；（）设X表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望21对于任意实数x，符号x表示不超过x的最大整数，如2.2=2，3.5=4，设数列an的通项公式为an=log21+log22+log23+log2（2n1）（）求a1a2a3的值；（）是否存
7、在实数a，使得an=（n2）2n+a（nN*），并说明理由22已知函数f（x）=ex+ax+b（a0，b0）（）若函数f（x）的图象在点（0，f（0）处的切线方程为y=2，求f（x）在区间2，1上的最值；（）若a=b，试讨论函数f（x）在区间（1，+）上零点的个数2015-2016学年河南省信阳市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分，共60分)1若函数f（x）=sin1cosx，则f（1）=（）Asin1+cos1Bcos1Csin1Dsin1cos1【考点】导数的运算【分析】先求出函数的导数 f（x）的解析式，再把x=1代入f（x）的解析式运算求得结果【解答
8、】解：函数f（x）=sin1cosx，f（x）=sinx，f（1）=sin1，故选：C2设随机变量N（，2），且P（1）=P（2）=0.3，则P（2+1）=（）A0.4B0.5C0.6D0.7【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】随机变量服从正态分布N（，2），且P（1）=P（2）=0.3，到曲线关于x=0.5对称，利用P（2）=0.3，根据概率的性质得到结果【解答】解：随机变量服从正态分布N（，2），且P（1）=P（2）=0.3，曲线关于x=0.5对称，P（2）=0.3，P（2+1）=P（2）=0.7，故选：D3用反证法证明命题：“a，b，c，dR，a+b=1，c+d=1，且a
9、c+bd1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）Aa，b，c，d中至少有一个正数Ba，b，c，d全为正数Ca，b，c，d全都大于等于0Da，b，c，d中至多有一个负数【考点】反证法【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立【解答】解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”，故选C4若A=8C，则n的值为（）A6B7C8D9【考点】排列及排列数公式【分析】根据排列与组合的公式，列出方程，求出解即可【解答】解：An3=8Cn2，n（n1）（n2）=8，即n2=4；解
10、得n=6故选：A5在复平面内，若复数z1和z2对应的点分别是A（2，1）和B（0，1），则=（）AiBiC +iD +i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由复数z1和z2对应的点分别是A（2，1）和B（0，1），得z1=2i，z2=i，然后把z1，z2的值代入，再由复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求【解答】解：由复数z1和z2对应的点分别是A（2，1）和B（0，1），得z1=2i，z2=i则=故选：A6展开式中的常数项为（）A第5项B第6项C第5项或第6项D不存在【考点】二项式系数的性质【分析】根据题意，写出展开式中的通项为Tr+1，令x的指数为0，可得r的值，由项数与r的关系，可得答
11、案【解答】解：根据题意，展开式中的通项为Tr+1=C10r（x）10r（）r=C10r（x）102r，令102r=0，可得r=5；则其常数项为第5+1=6项；故选B7已知ABC的周长为c，它的内切圆半径为r，则ABC的面积为cr运用类比推理可知，若三棱椎DABC的表面积为6，内切球的半径为，则三棱锥DABC的体积为（）ABC3D2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面
12、的距离都是R，四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为 V四面体ABCD=（S1+S2+S3+S4）RV=故选：B8小张、小王、小李三名大学生到三个城市去实习，每人只去一个城市，设事件A为“三个人去的城市都不同”事件B为“小张单独去了一个城市”，则P（A|B）=（）ABCD【考点】条件概率与独立事件【分析】这是求小张单独去了一个城市的前提下，三个人去的城市都不同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论【解答】解：小张单独去了一个城市，则有3个城市可选，小王、小李只能在小张剩下的两个城市中选择，可能性为22=4所以小张单独去了一个城市的可能性为322
13、=12因为三个人去的城市都不同的可能性为321=6，所以P（A|B）=故选：D9若函数f（x）=x3ax2ax在区间（0，1）内只有极小值，则实数a的取值范围是（）A（0，+）B（1，+）C（0，1）D（0，2）【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数，根据二次函数的性质以及极值的意义得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：函数f（x）=x3ax2ax，f（x）=3x22axa，若f（x）在区间（0，1）内只有极小值，则即，解得：0a1，故选：C10甲、乙两人进行射击比赛，他们击中目标的概率分别为和（两人是否击中目标相互独立），若两人各射击2次，则两人击中目标的次数相等的概率为（
14、）ABCD【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式【分析】先求出两个人都击中一次的概率、两个人都击中2次的概率，相加，即得所求【解答】解：两个人都击中一次的概率为=，两个人都击中2次的概率为 （）2（）2=，故两人命中目标的次数相等的概率为+=故选：C11设函数f（x）是偶函数f（x）（x（，0）（0，+）的导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（1，0）（0，1）D（0，1）（1，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质【分析】由已知当x0时总有xf（x）f（x
15、）0成立，可判断函数g（x）=在（0，+）上为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）在（，0）上为减函数，不等式f（x）0等价于xg（x）0，分类讨论即可得到答案【解答】解：令g（x）=，则g（x）=，xf（x）f（x）0，g（x）0，g（x）在（0，+）上为减函数，又g（x）=g（x），函数g（x）为定义域上的奇函数，g（x）在（，0）上为减函数又g（1）=0，g（1）=0，不等式f（x）0xg（x）0，x0，g（x）0或x0，g（x）0，0x1或1x0，f（x）0成立的x的取值范围是（1，0）（0，1），故选：C12定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数，我们可
16、以把1拆分成多个不同的单位分数之和例如：1=+，1=+，1=+，依此拆分法可得1=+，其中m，nN*，则mn=（）A2B4C6D8【考点】归纳推理【分析】结合裂项相消法，可得+=+=+，解得m，n值，可得答案【解答】解：1=+，2=12，6=23，30=56，42=67，56=78，72=89，90=910，110=1011，132=1112，156=1213，182=13141=+=（1）+（），+=+=+，m=14，n=20，mn=6，故选：C二、填空题(每题5分，共20分)13对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据（xi，yi）（i=1，2，8），其回归直线方程是=x+，且x1+
17、x2+x3+x8=3（y1+y2+y3+y8）=6，则=【考点】线性回归方程【分析】由题意求得样本中心点（，），代入回归直线方程即可求得的值【解答】解：由x1+x2+x3+x8=3（y1+y2+y3+y8）=6，=（x1+x2+x3+x8）=， =（y1+y2+y3+y8）=，由回归直线方程过样本中心点（，），=，故答案为：14某单位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值两天，值两天的必须是相邻的两天，则不同的值班安排种数为144（用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】依题意，先求出相邻2天的所有种数，再选2名值相邻的2天，剩下2人各值1天利用分步乘法计数原理
18、即可求得答案【解答】解：单位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值两天，值两天的必须是相邻的两天故相邻的有12，34，5，6和12，3，45，6和12，3，4，56和1，23，45，6和1，23，4，56和1，2，34，56，共6种情形，选2名值相邻的2天，剩下2人各值1天，故有6A42A22=144种，故答案为：14415（理）设整数m是从不等式x22x80的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量=m2，则的数学期望E=5【考点】离散型随机变量的期望与方差；二次函数的性质【分析】先解不等式x22x80的整数解的集合S，再由随机变量=m2，求出分布列，用公式求出期望
19、【解答】解：由x22x80得2x4，符合条件的整数解的集合S=2，1，0，1，2，3，4=m2，故变量可取的值分别为0，1，4，9，16，相应的概率分别为，的数学期望E=0+1+4+9+16=5故答案为：516已知e是自然对数的底数，实数a，b满足eb=2a3，则|2ab1|的最小值为3【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性【分析】利用已知条件化简表达式，利用构造法以及函数的导数求解函数的最值【解答】解：e是自然对数的底数，实数a，b满足eb=2a3，2a30，可得b=ln（2a3），|2ab1|=|2aln（2a3）1|，令2a3=x，上式
20、化为|xlnx+2|，令y=xlnx+2，可得y=1，由y=0，可得x=1，当x（0，1）时，y0，函数是减函数，x1时，y0，函数是增函数，x=1时，y=xlnx取得最小值：3则|2ab1|的最小值为3故答案为：3三、解答题17已知复数z=k2i（kR）的共轭复数，且z（i）=2i（）求k的值；（）若过点（0，2）的直线l的斜率为k，求直线l与曲线y=以及y轴所围成的图形的面积【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】（）利用复数相等与代数运算，列出方程求出k的值；（）写出直线l的方程，求出直线l与曲线y=的交点，再利用积分求对应的面积【解答】解：（）复数z=k2i
21、的共轭复数=k+2i，且z（i）=2i，（k2i）（i）=（k+2i）2i，（k）i=ki，即k=k，解得k=1；（）过点（0，2）的直线l的斜率为k=1，直线l的方程为：y=x2；令，解得，直线l与曲线y=的交点为（4，2）；如图所示，曲线y=与直线y=x2以及y轴所围成的图形的面积为：SOBC+02dx+24（x+2）dx=22+（x2+2x）=18为研究心理健康与是否是留守儿童的关系，某小学在本校四年级学生中抽取了一个110人的样本，其中留守儿童有40人，非留守儿童有70人，对他们进行了心理测试，并绘制了如图的等高条形图，试问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为心理健康与是否
22、是留守儿童有关系？参考数据： P（K2k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2=（n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用【分析】根据等高条形图，可得留守儿童有40人，心理健康的有12人，心理不健康的有28人，非留守儿童有70人，心理健康的有56人，心理不健康的有14人，把数据代入公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到结论【解答】解：根据等高条形图，可得留守儿童有40人，心理健康的
23、有12人，心理不健康的有28人，非留守儿童有70人，心理健康的有56人，心理不健康的有14人，K2=26.9610.828，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为心理健康与是否是留守儿童有关系19已知函数f（x）=（）求f（x）的极值；（）试比较20162017与20172016的大小，并说明理由【考点】利用导数研究函数的极值【分析】（）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）根据函数的单调性判断即可【解答】解：（）f（x）=的定义域是（0，+），f（x）=，令f（x）0，解得：xe，令f（x）0，解得：xe，f（x）在（0，e）递增，在（
24、e，+）递减，f（x）极大值=f（e）=，无极小值；（）f（x）在（，+）递减，2017ln20162016ln2017，201620172017201620甲、乙、丙三人准备报考某大学，假设甲考上的概率为，甲，丙两都考不上的概率为，乙，丙两都考上的概率为，且三人能否考上相互独立（）求乙、丙两人各自考上的概率；（）设X表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列【分析】（）设A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示“丙考上”，由已知条件利用对立事件概率计算公式和相互独立
25、事件概率乘法公式能求出乙、丙两人各自考上的概率（）由题意X的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望【解答】解：（）设A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示“丙考上”，则P（A）=，且，解得P（C）=，P（B）=乙考上的概率为，丙考上的概率为（）由题意X的可能取值为1，2，P（X=1）=+=，P（X=2）=，X的分布列为： X 1 2 PEX=21对于任意实数x，符号x表示不超过x的最大整数，如2.2=2，3.5=4，设数列an的通项公式为an=log21+log22+log23+log2（2n1）（）求a1a2a3的值；（）是否存在实数a，使得an=（n2）2n+
26、a（nN*），并说明理由【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）计算a1=0，故a1a2a3=0；（2）根据对数性质得出an=10+21+222+233+2n1（n1），使用错位相减法求出an，得出a的值【解答】解：（I）a1=log21=0，a2=log21+log22+log23=0+1+1=2，a3=log21+log22+log23+log27=0+1+1+2+2+2+2=10a1a2a3=0（II）当2n1x2n1时，log2x=n1log22n1+log22n1+1+log22n1+2+log2（2n1）=（n1）（2n12n1+1）=2n1（n1）an=10+21+222+2
27、33+2n1（n1），2an=221+232+243+2n（n1），得：an=2223242n1+2n（n1）2=+2n（n1）2=2n（n2）+2又an=（n2）2n+a，a=222已知函数f（x）=ex+ax+b（a0，b0）（）若函数f（x）的图象在点（0，f（0）处的切线方程为y=2，求f（x）在区间2，1上的最值；（）若a=b，试讨论函数f（x）在区间（1，+）上零点的个数【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出导数，利用函数f（x）的图象在点（0，f（0）处的切线方程为y=2，解得a=1，b=1，求得极小值2，也为最小值，再求f（2）和f（1
28、），比较即可得到最大值；（）若a=b，f（x）=ex+axa=0，x1，a=，g（x）=，求出导数，求得单调区间和极值，即可讨论函数f（x）在区间（1，+）上零点的个数【解答】解：（）f（x）=ex+ax+b，f（x）=ex+a，f（0）=1+a，函数f（x）的图象在点（0，f（0）处的切线方程为y=2，a=1x=0，f（0）=2，1+b=2，b=1，f（x）=exx+1，f（x）=ex1，当x0时，有f（x）0，f（x）递减，当x0时，有f（x）0，f（x）递增则x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为2，又f（2）=e2+3，f（1）=e，f（2）f（1），即有f（2）为最大值e2+3；（）若a=b，f（x）=ex+axa=0，x1，a=，令g（x）=，则g（x）=，当x2时，g（x）0，g（x）递增，当x1和1x2时，g（x）0，g（x）递减即有x=2处g（x）取得极小值，为e2，ae2，即ae2，函数f（x）在区间（1，+）上零点的个数为0；a=e2，即a=e2，函数f（x）在区间（1，+）上零点的个数为1；ae2，即ae2，函数f（x）在区间（1，+）上零点的个数为22016年8月4日
