1、平面向量主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，难度一般偏简单，有时也会与三角函数、圆锥曲线结合考查，难度中等一、平面向量及其线性运算1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)一般用有向线段来表示向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量的单位向量为 aa平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0 与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0 的相反向量为02向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律考点
2、清单 命题趋势 专题 4 平面向量 加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则（1）交换律：+=+；（2）结合律：(+)+=+(+)减法若+=，则向量叫做与的差，求两个向量差的运算，叫做向量的减法三角形法则 =+()数乘实数与向量相乘，叫做向量的数乘（1）|=|；（2）当 0时，的方向与的方向相同；当 0时，的方向与的方向相反；当=0时，=0()=()；(+)=+；(+)=+3共线向量定理向量 0a a与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba 二、平面向量基本定理和平面向量的坐标表示1平面向量基本定理如果1e，2e 是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有
3、一对实数1，2，使1 12 2aee 其中，不共线的非零向量1e，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设11,x ya，22,xyb，则1212,xxyyab，1212,xxyyab，11,xya，2211xya3平面向量共线的坐标表示设11,x ya，22,xyb，其中 12210 x yx yab三、平面向量的数量积1定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量|cos 叫做向量和的数量积，记作 =|cos 规定：零向量与任一向量的数量积为02投影：|cos 叫做向量在方向上的投影3数量积的坐标运算：设向量11,x ya，22,
4、xyb，则（1）=12+12（2）=0 12+12=0（3）121222221122cos,x xy yxyxya b四、平面向量的相关结论1“三点”共线的充要条件：为平面上一点，则，三点共线的充要条件是 =1 +2 (其中1+2=1）2三角形中线向量公式：若为的边的中点，则12OPOAOB一、选择题1已知平面向量，满足|=2，|=1，(+2)，则向量，的夹角为（）A 3B 4-C23D34【答案】D【解析】(+2)，(+2)=0，即2+2 =0，=1，12cos,22 1 a ba ba b,0,a b，3,4 a b，故选 D【点评】本题考查了向量的数量积，向量的夹角，以及向量垂直的条件，
5、属于基础题2在等腰梯形 ABCD 中，AB=2CD，若=，=，则 BC （）A12abB12ab-C32 abD12ab【答案】A【解析】解法一：如图，取的中点，连结，因为四边形为等腰梯形，=2，所以12DCEBAB，所以四边形为平行四边形，所以1122BCBAADDC babab，故选 A经典训练题 精题集训（70 分钟）解法二：如图，取的中点，连结，因为四边形为等腰梯形，=2，所以 DCEB，所以四边形为平行四边形，所以12BCEDADAEab，故选 A【点评】在几何图形中进行向量运算：（1）构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；（2）树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算3若平
6、面向量与 b 的夹角为 3，|=1，|=2，则|2+|=（）A32B23-C18D12【答案】B【解析】|2+|2=4()2+4 +()2=12，|2+|=23，故选 B【点评】本题主要考了向量的运算以及向量的模长，属于基础题4已知向量(2,1)a，=(3，2)，=(1，)，若()，则|c（）A1B2-C3D2【答案】B【解析】由题设可得 =(1，1)，因为()，故1 1+1 =0，解得=1，所以=(1，1)，故|=2，故选 B【点评】本题考了向量的坐标运算以及向量的垂直的条件，模长的计算，属于基础题5若向量13,22BA ，=(3，1)，则 的面积为（）A12B32-C1D 3【答案】A【解
7、析】因为13,22BA ，=(3，1)，所以33322BA BC，|=1，|=2，则33cos1 22BA BCBBA BC，6B，所以11sin22ABCSBA BCB，故选 A【点评】本题考点为向量夹角的计算，以及三角形面积的计算，属于基础题6已知 为等边三角形，=2，设点，满足=，2133BEBABC，与BE 交于点，则 BP BC（）A12B83-C1D2【答案】D【解析】因为2133BEBABC，所以22113333BEBEEABEEC，所以=2，所以为的一个靠近的三等分点，又因为=，所以为的中点，过作 交于点，如下图所示：因为13EFAECDAC且=，所以13EFEPBDBP，所以
8、34BPBE，所以23111142424BP BCBE BCBABCBCBA BCBC，所以2112 2 cos602224BP BC ，故选 D【点评】解答本题的关键是确定点，的位置，通过将待求的向量都转化为，即可直接根据数量积的计算公式完成求解7若向量，满足|=2，(+2)=6，则在方向上的投影为（）A1B12-C12D 1【答案】B【解析】设，的夹角为，则22222cos44cos6aaa bbabaa b，则1cos2 b，即在方向上的投影为1cos2 b，故选 B【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题8已知向量，为平面内的单位向量，且12
9、a b，向量与+共线，则|+|的最小值为（）A1B12-C34D32【答案】D【解析】因为向量与+共线，所以存在唯一的实数，使得=(+)，所以+=(+1)+，所以(+)2=(+1)22+2(+1)+22，又向量，为平面内的单位向量，所以|=1，1|b|=，又12 a b，所以22222133()(1)11()244tt ttttt ac，所以32ac，所以|+|的最小值为32，故选 D【点评】本题主要考查共线定理的应用及平面向量数量积，关键是根据共线，利用共线定理将用向量，表示，再通过平方转化为二次函数最值问题9如图，延长正方形 ABCD 的边 CD 至点 E，使得 DE=CD，动点 P 从点
10、 A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点 A，若 APABAE，则下列判断正确的是（）A满足2的点 P 必为 BC 的中点-B满足1的点 P 有且只有一个C满足3的点 P 有且只有一个-D32的点 P 有且只有一个【答案】C【解析】如图建系，取=1，=+=，()()1,00,1,APABAEABAD，动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，当 时，有0 1且=0，0 1，0 +1，当 时，有 =1且0 1，则=+1，1 2，1 +3，当 时，有0 1且=1，则 +1，1 2，2 +3，当 时，有 =0且0 1，则=，0 1，0 +2，综上，0 +3选项 A，取=1，满
11、足+=2，此时=+=，因此点不一定是的中点，故 A 错误；选项 B，当点取点或的中点时，均满足+=1，此时点不唯一，故 B 错误；选项 C，当点取点时，=1且=1，解得=2，+为3，故 C 正确；选项 D，当点取的中点或的中点时，均满足32，此时点不唯一，故 D 错误，故选 C【点评】求解本题的关键在于根据题中所给条件，利用建系的方法，讨论的位置，根据APABAE，确定+的范围，即可求解（向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化）10在 中，点是的中点，23ANAC，线段与交于点，动点在 内部活动（不含边界），且=+，其中、，则+的取值范围是（）A3 11,4 8B
12、3 3,4 2-C111,8D31,2【答案】D【解析】如下图所示，连接并延长交于点，设=，=，则102m，0 1，=(+1)，111APAGGPmANnGBmANn ABAGmANnABnAG 111mANnABn mANmmnn ANnAB，又 =+，=，=+1 ，+=+1 =(1 )+1，102m，0 1 1，则1012mn，即31112mn，即312，因此，+的取值范围是31,2，故选 D【点评】本题考查利用平面向量的基本定理求与参数有关的代数式的取值范围，解题的关键在于引入参数表示、，并结合不等式的基本性质求出+的取值范围二、填空题11已如|=1，|=2，且 =1，=0，则|的最大值
13、为_【答案】372【解析】因为|=1，|=2，=1，且 =|cos，所以cos2,1AB BCAB BCABBC，因为 0，所以 与 的夹角为 3，即23ABC，因为 =0，所以 ，即点 D 是以 AC 为直径的圆上的点，以 B 为原点，BC 为 x 轴正方向建系，如图所示：所以0,0B，13,22A，2,0C，设以 AC 为直径的圆的圆心为 P，所以33,44P，且22337(2)(0)442rCP，所以 D 的轨迹的方程为22337()()444xy，|的最大值为223373737(0)(0)442222BPr，故答案为372【点评】解题的关键是根据题意，分析可得 D 点的轨迹为圆，进而求
14、得圆的方程，根据圆的几何性质求解，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题12如图梯形，ABCD且=5，=2=4，在线段上，=0，则 的最小值为_【答案】9513【解析】因为 ABCD，所以向量 与 的夹角和向量 与 的夹角相等，设向量 与 的夹角为，因为 =0，所以(+)()=0，即 2+=0，整理得16+8 cos 20 cos 10=0，解得1cos2，=60，如图，过点作B垂线，垂足为，建立如图所示的直角坐标系，易知(2，0)，(3，0)，(0，23)，(2，23)，则=(1，23)，=(，23)，0 1，=(3 ，23)，=(5 ，23)，=(3 ，23 23)，=(5 )(3 )+2
15、3(23 23)=132 20+15，因为0 1，所以当1013 时，取最小值，最小值为9513，故答案为9513【点评】本题考查向量的数量积的求法，可通过建立直角坐标系的方式进行求解，考查向量的运算法则，考查向量的数量积的坐标表示，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题13已知向量e 的模长为 1，平面向量，满足：|2|=2，|=1，则 的取值范围是_【答案】1，8【解析】由题意知：不妨设=(1，0)，=(，)，=(，)，则根据条件可得(2)2+2=4，(1)2+2=1，根据柯西不等式得 =+=(1)+，因为|(1)+|(1)2+2 2+2=4，(1)+4+，4 (1)+，当且仅当=(1)
16、时取等号；令=4，则2212144ttt，又(2)2+2=4，则04x，所以 0，4，当=4时，2max1214 t，即 8；2212144ttt，而 0，4，所以当=2时，2min1214 t，即 1，故 的取值范围是1，8【点评】设=(1，0)，=(，)，=(，)，则根据条件可得：(2)2+2=4，(1)2+2=1，利用柯西不等式和换元法把问题转化为求二次函数的最值问题是解决本题的关键14已知1e，2e，3e 是平面向量，且1e，2e 是互相垂直的单位向量，若对任意 均有31ee的最小值为32ee，则123323eeeee的最小值为_【答案】3【解析】3131 313232 3222222
17、2222eeee eeeeee ee，即21 32 32210 e ee e，所以21 32 344 210 e ee e，即21 32 3210 e ee e，设1e 为轴的方向向量，2e 为轴方向向量，所以312xyeee，对应的坐标为(,)x y，所以2 2+1=0，得2122xy，1233231,3,0,1x yx yeeeee，因为2122xy 为抛物线2=2向上平移12 个单位，所以焦点坐标为(0，1)，准线为=0，所以点(,)x y 到(0，1)的距离与到=0的距离相等，|(1，3)(，)|+|(，)(0，1)|=|(1 ，3 )|+|3|+|=3，当且仅当=1时，取最小值故答案
18、为3【点评】关于向量模长的问题，一般没有坐标时，利用平方公式展开计算；有坐标时，代入坐标公式求解，涉及模长的最值问题，一般需要转化为点与点之间的距离，或者点到线的距离等问题，利用几何方法求解三、解答题15已知向量i 21,s n xm，2sin,cos22xxn，函数()=（1）若,4 2x ，求函数()的最值；（2）若53,44 ，且()=1，23sin,32 ，求cos4 的值【答案】（1）最大值为12，最小值为1222；（2）102 26【解析】（1）因为i 21,s n xm，2sin,cos22xxn，所以 21 cos112sinsincossinsin22222224xxxxf
19、xxxm n，因为,4 2x ，所以30,44x ，所以当04x，即4x 时，sin4x 最小，最小值为 0，此时()最大，最大值为12；所以当42x，即4x时，sin4x 最大，最大值为 1，此时()最小，最小值为1222即()的最大值为12，最小值为1222（2）由（1）得 12 sin224f xx，又()=1，所以12 sin1224，所以2sin42，因为53,44 ，所以,42 ，所以2cos42 因为2sin3 ，3,2，所以225cos133 ，所以coscoscoscossinsin44442522102 223236 【点评】本题主要考查数量积的坐标表示，三角函数在闭区间上
20、的最值求法，以及两角和的余弦公式的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于基础题解题关键是：整体思想的应用，一是将4x看成整体，利用三角函数图象求出最值；二是将4 看成整体，利用两角和的余弦公式展开求出一、解答题1已知|=2，|=1，向量与向量的夹角为 3，设向量tmab，向量2tnab（1）求 的值；（2）设()=，求()的表达式；若与的夹角为锐角，求实数的取值范围【答案】（1）1；（2）()=2+6+2，3+7且 2【解析】（1）cos1 2 cos13 a ba b（2）22222|2f tttttt m nabababa b=4+2+2+2=2+6+2，高频易错题 因为与的夹角
21、为锐角，所以 0，即2+6+2 0，解得 3+7又由和共线，解得=2，所以实数的取值范围是 3+7且 2【点评】本题考查向量的数量积向量，夹角为锐角是 0的充分不必要条件，夹角为 0（即同向时）也有 0，同样向量，夹角为钝角是 0的充分不必要条件一、选择题1如图所示的 中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则=（）A1136BABCB1163BABC-C5163BABCD5163BABC【答案】B【解析】依题意，11111113233263DEDAAEACBABCBABABABC ，故选 B【点评】本题主要考了向量的线性运算，属于基础题2如图，四边形是边长为1的正方形，=3，点为 内（
22、含边界）的动点，设=+(，)，则 54的最大值是（）精准预测题 A14B920-C34D1760【答案】D【解析】以为原点，为，轴建立如图所示的平面直角坐标系：因为四边形是边长为1的正方形，=3，所以(3，0)，(0,1)C，(1，1)，=(3，0)，=(0，1)，所以=+=(0，)+(3，0)=(3，)，设(，)，则3xy，所以3xy，所以 54512yx，即求125xyz 的最大值，因为点为 内（含边界）的动点，所以由图可知，平移直线0125xy到经过点(1，1)时，125xyz 取得最大值1760，所以 54的最大值是1760，故选 D【点评】建立平面直角坐标系，转化为线性规划求解是解题
23、关键3如图，B 是的中点，=2，P 是平行四边形内（含边界）的一点，且=+(，)，则下列结论正确的个数为（）当=0时，2，3；当 P 是线段的中点时，12x ，52y；若+为定值 1，则在平面直角坐标系中，点 P 的轨迹是一条线段；的最大值为1A1B2-C3D4【答案】C【解析】当=0时，=，则在线段 BE 上，故1 3，故错；当是线段的中点时，132OPOEEPOBEBBC11153(2)32222OBOBABOBOBOBOAOAOB，故对；+为定值 1 时，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是线段，故对；如图，过作 PMAO，交于，作 PNOE，交的延长线于，则：=+，又
24、=+；0，1；由图形看出，当与重合时：=0 +1 ；此时取最大值 0，取最小值 1；所以 取最大值1，故正确，所以选项正确，故选 C【点评】若=+，则,A B C 三点共线 +=1二、填空题4已知|=2，=8，=(3，4)，则向量与的夹角的正切值为_【答案】34【解析】设向量与的夹角为，因为=(3，4)，所以22345b，又因为|=2，=8，所以2 5cos8 ，即4cos5 ，又 0，所以243sin155，即有3tan4 ，所以向量与的夹角的正切值为34，故答案为34【点评】本题考查了利用向量的数量积求夹角的应用问题，属于基础题5已知单位向量1e，2e 满足：1122eee，则向量1e 与
25、向量2e 的夹角=_【答案】23【解析】因为单位向量1e，2e，1122eee，所以211211222+1 2cos0 eeeee e，即1cos2 ，0，所以23 故答案为23【点评】本题考查了向量垂直的条件，以及向量夹角的计算，属于基础题6已知向量|1abc，若12a b，且xycab，则+的最大值为_【答案】2 33【解析】|ab，且12a b，a 与b 的夹角为60，设(1,0)a，则13,22 b，xycab，13,22xyyc，又1c，2213122xyy，化简得2+2=1，22()()14xyxyxy，当且仅当33xy时，等号成立，2 33xy，故答案为2 33【点评】本题考查了
26、平面向量的混合运算，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题7如图，在直角梯形中，已知 ABDC，=90，=2，=1，对角线交于点，点在上，且满足 ，则 的值为_【答案】23【解析】如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A，(2，0)，(1，1)，(0，1)，则(2,1)BD ，因为 ，所以21AOABCOCD，所以是的一个三等分点，且23AOAC，所以2 2(,)3 3O设(,0)M，则22(,)33OM，因为 ，所以222()033OM BD，解得13，则1(,0)3AM，所以12,02,133AM BD ，故答案为23【点
27、评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的坐标表示，考查计算能力8已知平面内非零向量 a，满足|=2，|=3，=3，若2 2 +8=0，则|的取值范围是_【答案】71,71【解析】|=2，|=3，=3，31cos,2 32a b，又 0，a，的夹角为 3，建立如图所示直角坐标系，设OA a，OB b，OC c，则(2，0)，3 3 3,22B，设(，)，2280 cb c，222233 333 380122xyxyxy，则点 C 在以3 3 3,22 为圆心，1 为半径的圆上，|的取值范围转化为圆上的点到定点(2，0)的距离的范围，圆心3 3 3,22 到点(2，0)的距离为2233 3272
28、2，|的取值范围为71,71，故答案为71,71【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，向量的坐标运算，考查了数形结合的思想方法以及圆上的点到定点距离的最大最小值，属于中档题9已知，分别为 的三个内角，的对边，=5，且227cos25abbcAac，为 的重心，则|=_【答案】17【解析】由余弦定理得2+2 2=2 cos，222cos2bcabcA，227cos25abbcAac，222227225bcaabac，将5ac代入得b，所以222644cos22 8 55bcaAbc，设以，为邻边的平行四边形的另一个顶点为，则1133AGADABAC，221142cos25642 5 817335AGABACABACA ，故答案为17【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，要熟练使用上弦定理角化边，并结合向量的数量积运算可更快的求解
