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《解析》河南省信阳市2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(理科) WORD版含解析.doc

1、2015-2016学年河南省信阳市高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题(每小题5分,共60分)1若函数f(x)=sin1cosx,则f(1)=()Asin1+cos1Bcos1Csin1Dsin1cos12设随机变量N(,2),且P(1)=P(2)=0.3,则P(2+1)=()A0.4B0.5C0.6D0.73用反证法证明命题:“a,b,c,dR,a+b=1,c+d=1,且ac+bd1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为()Aa,b,c,d中至少有一个正数Ba,b,c,d全为正数Ca,b,c,d全都大于等于0Da,b,c,d中至多有一个负数4若A=8C,则n的值为()A6B7C8

2、D95在复平面内,若复数z1和z2对应的点分别是A(2,1)和B(0,1),则=()AiBiC +iD +i6展开式中的常数项为()A第5项B第6项C第5项或第6项D不存在7已知ABC的周长为c,它的内切圆半径为r,则ABC的面积为cr运用类比推理可知,若三棱椎DABC的表面积为6,内切球的半径为,则三棱锥DABC的体积为()ABC3D28小张、小王、小李三名大学生到三个城市去实习,每人只去一个城市,设事件A为“三个人去的城市都不同”事件B为“小张单独去了一个城市”,则P(A|B)=()ABCD9若函数f(x)=x3ax2ax在区间(0,1)内只有极小值,则实数a的取值范围是()A(0,+)B

3、(1,+)C(0,1)D(0,2)10甲、乙两人进行射击比赛,他们击中目标的概率分别为和(两人是否击中目标相互独立),若两人各射击2次,则两人击中目标的次数相等的概率为()ABCD11设函数f(x)是偶函数f(x)(x(,0)(0,+)的导函数,f(1)=0,当x0时,xf(x)f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A(,1)(0,1)B(1,0)(1,+)C(1,0)(0,1)D(0,1)(1,+)12定义:分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数,我们可以把1拆分成多个不同的单位分数之和例如:1=+,1=+,1=+,依此拆分法可得1=+,其中m,nN*,则mn=()A2B4C

4、6D8二、填空题(每题5分,共20分)13对具有线性相关关系的变量x,y,有一组观测数据(xi,yi)(i=1,2,8),其回归直线方程是=x+,且x1+x2+x3+x8=3(y1+y2+y3+y8)=6,则=14某单位在周一到周六的六天中安排4人值夜班,每人至少值一天,至多值两天,值两天的必须是相邻的两天,则不同的值班安排种数为(用数字作答)15(理)设整数m是从不等式x22x80的整数解的集合S中随机抽取的一个元素,记随机变量=m2,则的数学期望E=16已知e是自然对数的底数,实数a,b满足eb=2a3,则|2ab1|的最小值为三、解答题17已知复数z=k2i(kR)的共轭复数,且z(i)

5、=2i()求k的值;()若过点(0,2)的直线l的斜率为k,求直线l与曲线y=以及y轴所围成的图形的面积18为研究心理健康与是否是留守儿童的关系,某小学在本校四年级学生中抽取了一个110人的样本,其中留守儿童有40人,非留守儿童有70人,对他们进行了心理测试,并绘制了如图的等高条形图,试问:能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为心理健康与是否是留守儿童有关系?参考数据: P(K2k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63

6、5 7.879 10.828K2=(n=a+b+c+d)19已知函数f(x)=()求f(x)的极值;()试比较20162017与20172016的大小,并说明理由20甲、乙、丙三人准备报考某大学,假设甲考上的概率为,甲,丙两都考不上的概率为,乙,丙两都考上的概率为,且三人能否考上相互独立()求乙、丙两人各自考上的概率;()设X表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值,求X的分布列与数学期望21对于任意实数x,符号x表示不超过x的最大整数,如2.2=2,3.5=4,设数列an的通项公式为an=log21+log22+log23+log2(2n1)()求a1a2a3的值;()是否存

7、在实数a,使得an=(n2)2n+a(nN*),并说明理由22已知函数f(x)=ex+ax+b(a0,b0)()若函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程为y=2,求f(x)在区间2,1上的最值;()若a=b,试讨论函数f(x)在区间(1,+)上零点的个数2015-2016学年河南省信阳市高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共60分)1若函数f(x)=sin1cosx,则f(1)=()Asin1+cos1Bcos1Csin1Dsin1cos1【考点】导数的运算【分析】先求出函数的导数 f(x)的解析式,再把x=1代入f(x)的解析式运算求得结果【解答

8、】解:函数f(x)=sin1cosx,f(x)=sinx,f(1)=sin1,故选:C2设随机变量N(,2),且P(1)=P(2)=0.3,则P(2+1)=()A0.4B0.5C0.6D0.7【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】随机变量服从正态分布N(,2),且P(1)=P(2)=0.3,到曲线关于x=0.5对称,利用P(2)=0.3,根据概率的性质得到结果【解答】解:随机变量服从正态分布N(,2),且P(1)=P(2)=0.3,曲线关于x=0.5对称,P(2)=0.3,P(2+1)=P(2)=0.7,故选:D3用反证法证明命题:“a,b,c,dR,a+b=1,c+d=1,且a

9、c+bd1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为()Aa,b,c,d中至少有一个正数Ba,b,c,d全为正数Ca,b,c,d全都大于等于0Da,b,c,d中至多有一个负数【考点】反证法【分析】用反证法证明数学命题时,应先假设结论的否定成立【解答】解:“a,b,c,d中至少有一个负数”的否定为“a,b,c,d全都大于等于0”,由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“a,b,c,d全都大于等于0”,故选C4若A=8C,则n的值为()A6B7C8D9【考点】排列及排列数公式【分析】根据排列与组合的公式,列出方程,求出解即可【解答】解:An3=8Cn2,n(n1)(n2)=8,即n2=4;解

10、得n=6故选:A5在复平面内,若复数z1和z2对应的点分别是A(2,1)和B(0,1),则=()AiBiC +iD +i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由复数z1和z2对应的点分别是A(2,1)和B(0,1),得z1=2i,z2=i,然后把z1,z2的值代入,再由复数代数形式的乘除运算化简,则答案可求【解答】解:由复数z1和z2对应的点分别是A(2,1)和B(0,1),得z1=2i,z2=i则=故选:A6展开式中的常数项为()A第5项B第6项C第5项或第6项D不存在【考点】二项式系数的性质【分析】根据题意,写出展开式中的通项为Tr+1,令x的指数为0,可得r的值,由项数与r的关系,可得答

11、案【解答】解:根据题意,展开式中的通项为Tr+1=C10r(x)10r()r=C10r(x)102r,令102r=0,可得r=5;则其常数项为第5+1=6项;故选B7已知ABC的周长为c,它的内切圆半径为r,则ABC的面积为cr运用类比推理可知,若三棱椎DABC的表面积为6,内切球的半径为,则三棱锥DABC的体积为()ABC3D2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线 类比 直线或平面,由内切圆类比内切球,由平面图形面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可【解答】解:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面

12、的距离都是R,四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为 V四面体ABCD=(S1+S2+S3+S4)RV=故选:B8小张、小王、小李三名大学生到三个城市去实习,每人只去一个城市,设事件A为“三个人去的城市都不同”事件B为“小张单独去了一个城市”,则P(A|B)=()ABCD【考点】条件概率与独立事件【分析】这是求小张单独去了一个城市的前提下,三个人去的城市都不同的概率,求出相应基本事件的个数,即可得出结论【解答】解:小张单独去了一个城市,则有3个城市可选,小王、小李只能在小张剩下的两个城市中选择,可能性为22=4所以小张单独去了一个城市的可能性为322

13、=12因为三个人去的城市都不同的可能性为321=6,所以P(A|B)=故选:D9若函数f(x)=x3ax2ax在区间(0,1)内只有极小值,则实数a的取值范围是()A(0,+)B(1,+)C(0,1)D(0,2)【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数,根据二次函数的性质以及极值的意义得到关于a的不等式组,解出即可【解答】解:函数f(x)=x3ax2ax,f(x)=3x22axa,若f(x)在区间(0,1)内只有极小值,则即,解得:0a1,故选:C10甲、乙两人进行射击比赛,他们击中目标的概率分别为和(两人是否击中目标相互独立),若两人各射击2次,则两人击中目标的次数相等的概率为(

14、)ABCD【考点】互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法公式【分析】先求出两个人都击中一次的概率、两个人都击中2次的概率,相加,即得所求【解答】解:两个人都击中一次的概率为=,两个人都击中2次的概率为 ()2()2=,故两人命中目标的次数相等的概率为+=故选:C11设函数f(x)是偶函数f(x)(x(,0)(0,+)的导函数,f(1)=0,当x0时,xf(x)f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A(,1)(0,1)B(1,0)(1,+)C(1,0)(0,1)D(0,1)(1,+)【考点】利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的性质【分析】由已知当x0时总有xf(x)f(x

15、)0成立,可判断函数g(x)=在(0,+)上为减函数,由已知f(x)是定义在R上的奇函数,可证明g(x)在(,0)上为减函数,不等式f(x)0等价于xg(x)0,分类讨论即可得到答案【解答】解:令g(x)=,则g(x)=,xf(x)f(x)0,g(x)0,g(x)在(0,+)上为减函数,又g(x)=g(x),函数g(x)为定义域上的奇函数,g(x)在(,0)上为减函数又g(1)=0,g(1)=0,不等式f(x)0xg(x)0,x0,g(x)0或x0,g(x)0,0x1或1x0,f(x)0成立的x的取值范围是(1,0)(0,1),故选:C12定义:分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数,我们可

16、以把1拆分成多个不同的单位分数之和例如:1=+,1=+,1=+,依此拆分法可得1=+,其中m,nN*,则mn=()A2B4C6D8【考点】归纳推理【分析】结合裂项相消法,可得+=+=+,解得m,n值,可得答案【解答】解:1=+,2=12,6=23,30=56,42=67,56=78,72=89,90=910,110=1011,132=1112,156=1213,182=13141=+=(1)+(),+=+=+,m=14,n=20,mn=6,故选:C二、填空题(每题5分,共20分)13对具有线性相关关系的变量x,y,有一组观测数据(xi,yi)(i=1,2,8),其回归直线方程是=x+,且x1+

17、x2+x3+x8=3(y1+y2+y3+y8)=6,则=【考点】线性回归方程【分析】由题意求得样本中心点(,),代入回归直线方程即可求得的值【解答】解:由x1+x2+x3+x8=3(y1+y2+y3+y8)=6,=(x1+x2+x3+x8)=, =(y1+y2+y3+y8)=,由回归直线方程过样本中心点(,),=,故答案为:14某单位在周一到周六的六天中安排4人值夜班,每人至少值一天,至多值两天,值两天的必须是相邻的两天,则不同的值班安排种数为144(用数字作答)【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】依题意,先求出相邻2天的所有种数,再选2名值相邻的2天,剩下2人各值1天利用分步乘法计数原理

18、即可求得答案【解答】解:单位在周一到周六的六天中安排4人值夜班,每人至少值一天,至多值两天,值两天的必须是相邻的两天故相邻的有12,34,5,6和12,3,45,6和12,3,4,56和1,23,45,6和1,23,4,56和1,2,34,56,共6种情形,选2名值相邻的2天,剩下2人各值1天,故有6A42A22=144种,故答案为:14415(理)设整数m是从不等式x22x80的整数解的集合S中随机抽取的一个元素,记随机变量=m2,则的数学期望E=5【考点】离散型随机变量的期望与方差;二次函数的性质【分析】先解不等式x22x80的整数解的集合S,再由随机变量=m2,求出分布列,用公式求出期望

19、【解答】解:由x22x80得2x4,符合条件的整数解的集合S=2,1,0,1,2,3,4=m2,故变量可取的值分别为0,1,4,9,16,相应的概率分别为,的数学期望E=0+1+4+9+16=5故答案为:516已知e是自然对数的底数,实数a,b满足eb=2a3,则|2ab1|的最小值为3【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的最值及其几何意义;利用导数研究函数的单调性【分析】利用已知条件化简表达式,利用构造法以及函数的导数求解函数的最值【解答】解:e是自然对数的底数,实数a,b满足eb=2a3,2a30,可得b=ln(2a3),|2ab1|=|2aln(2a3)1|,令2a3=x,上式

20、化为|xlnx+2|,令y=xlnx+2,可得y=1,由y=0,可得x=1,当x(0,1)时,y0,函数是减函数,x1时,y0,函数是增函数,x=1时,y=xlnx取得最小值:3则|2ab1|的最小值为3故答案为:3三、解答题17已知复数z=k2i(kR)的共轭复数,且z(i)=2i()求k的值;()若过点(0,2)的直线l的斜率为k,求直线l与曲线y=以及y轴所围成的图形的面积【考点】复数代数形式的混合运算;复数的代数表示法及其几何意义【分析】()利用复数相等与代数运算,列出方程求出k的值;()写出直线l的方程,求出直线l与曲线y=的交点,再利用积分求对应的面积【解答】解:()复数z=k2i

21、的共轭复数=k+2i,且z(i)=2i,(k2i)(i)=(k+2i)2i,(k)i=ki,即k=k,解得k=1;()过点(0,2)的直线l的斜率为k=1,直线l的方程为:y=x2;令,解得,直线l与曲线y=的交点为(4,2);如图所示,曲线y=与直线y=x2以及y轴所围成的图形的面积为:SOBC+02dx+24(x+2)dx=22+(x2+2x)=18为研究心理健康与是否是留守儿童的关系,某小学在本校四年级学生中抽取了一个110人的样本,其中留守儿童有40人,非留守儿童有70人,对他们进行了心理测试,并绘制了如图的等高条形图,试问:能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为心理健康与是否

22、是留守儿童有关系?参考数据: P(K2k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2=(n=a+b+c+d)【考点】独立性检验的应用【分析】根据等高条形图,可得留守儿童有40人,心理健康的有12人,心理不健康的有28人,非留守儿童有70人,心理健康的有56人,心理不健康的有14人,把数据代入公式,求出观测值,把观测值同临界值进行比较,得到结论【解答】解:根据等高条形图,可得留守儿童有40人,心理健康的

23、有12人,心理不健康的有28人,非留守儿童有70人,心理健康的有56人,心理不健康的有14人,K2=26.9610.828,在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为心理健康与是否是留守儿童有关系19已知函数f(x)=()求f(x)的极值;()试比较20162017与20172016的大小,并说明理由【考点】利用导数研究函数的极值【分析】()求出f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;()根据函数的单调性判断即可【解答】解:()f(x)=的定义域是(0,+),f(x)=,令f(x)0,解得:xe,令f(x)0,解得:xe,f(x)在(0,e)递增,在(

24、e,+)递减,f(x)极大值=f(e)=,无极小值;()f(x)在(,+)递减,2017ln20162016ln2017,201620172017201620甲、乙、丙三人准备报考某大学,假设甲考上的概率为,甲,丙两都考不上的概率为,乙,丙两都考上的概率为,且三人能否考上相互独立()求乙、丙两人各自考上的概率;()设X表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值,求X的分布列与数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及其分布列【分析】()设A表示“甲考上”,B表示“乙考上”,C表示“丙考上”,由已知条件利用对立事件概率计算公式和相互独立

25、事件概率乘法公式能求出乙、丙两人各自考上的概率()由题意X的可能取值为1,3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和期望【解答】解:()设A表示“甲考上”,B表示“乙考上”,C表示“丙考上”,则P(A)=,且,解得P(C)=,P(B)=乙考上的概率为,丙考上的概率为()由题意X的可能取值为1,2,P(X=1)=+=,P(X=2)=,X的分布列为: X 1 2 PEX=21对于任意实数x,符号x表示不超过x的最大整数,如2.2=2,3.5=4,设数列an的通项公式为an=log21+log22+log23+log2(2n1)()求a1a2a3的值;()是否存在实数a,使得an=(n2)2n+

26、a(nN*),并说明理由【考点】数列的求和;数列递推式【分析】(1)计算a1=0,故a1a2a3=0;(2)根据对数性质得出an=10+21+222+233+2n1(n1),使用错位相减法求出an,得出a的值【解答】解:(I)a1=log21=0,a2=log21+log22+log23=0+1+1=2,a3=log21+log22+log23+log27=0+1+1+2+2+2+2=10a1a2a3=0(II)当2n1x2n1时,log2x=n1log22n1+log22n1+1+log22n1+2+log2(2n1)=(n1)(2n12n1+1)=2n1(n1)an=10+21+222+2

27、33+2n1(n1),2an=221+232+243+2n(n1),得:an=2223242n1+2n(n1)2=+2n(n1)2=2n(n2)+2又an=(n2)2n+a,a=222已知函数f(x)=ex+ax+b(a0,b0)()若函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程为y=2,求f(x)在区间2,1上的最值;()若a=b,试讨论函数f(x)在区间(1,+)上零点的个数【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】()求出导数,利用函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程为y=2,解得a=1,b=1,求得极小值2,也为最小值,再求f(2)和f(1

28、),比较即可得到最大值;()若a=b,f(x)=ex+axa=0,x1,a=,g(x)=,求出导数,求得单调区间和极值,即可讨论函数f(x)在区间(1,+)上零点的个数【解答】解:()f(x)=ex+ax+b,f(x)=ex+a,f(0)=1+a,函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程为y=2,a=1x=0,f(0)=2,1+b=2,b=1,f(x)=exx+1,f(x)=ex1,当x0时,有f(x)0,f(x)递减,当x0时,有f(x)0,f(x)递增则x=0处f(x)取得极小值,也为最小值,且为2,又f(2)=e2+3,f(1)=e,f(2)f(1),即有f(2)为最大值e2+3;()若a=b,f(x)=ex+axa=0,x1,a=,令g(x)=,则g(x)=,当x2时,g(x)0,g(x)递增,当x1和1x2时,g(x)0,g(x)递减即有x=2处g(x)取得极小值,为e2,ae2,即ae2,函数f(x)在区间(1,+)上零点的个数为0;a=e2,即a=e2,函数f(x)在区间(1,+)上零点的个数为1;ae2,即ae2,函数f(x)在区间(1,+)上零点的个数为22016年8月4日

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