1、2020-2021学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1数列，的一个通项公式为（）ABCD2sin75cos15sin15cos75（）ABCD3若向量，则（）A（4，10）B（2，5）C（4，5）D（8，10）4已知数列an是等差数列，a1+a78，a22，则数列an的公差d等于（）A1B2C3D45将函数ycos2x+1的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为（）Aysin2xBysin2x+2Cycos2xDycos（2x）6已知|6，|3，向量在方向上投影是4，则为（）A12B8C8D27数
2、列an为各项都是正数的等比数列，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40（）A150B200C150或200D400或508在ABC中，若3b2asinB，cosAcosC，则ABC形状为（）A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形9已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，则的值（）A3BC2D10函数定义域为（）ABCD11已知函数，若等比数列an满足a1a20211，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a2021）（）ABC2D202112函数f（x）sin（x+）（0，|），已知（，0）为f（x）图象的一个对称中心，直线x为
3、f（x）图象的一条对称轴，且f（x）在，上单调递减记满足条件的所有的值的和为S，则S的值为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13已知向量，且，则tan 14等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若，则 15已知是三角形的内角，且，则 16如图所示，O为ABC的外心，AB4，AC2，BAC为钝角，M为BC边的中点，则的值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知，求下列各式的值（）；（）4sin23sincos18已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB+bcosAc
4、（1）求B；（2）设，b2，求c19已知数列an的前n项和为Sn，且满足2Sn+an1（1）求数列an的通项公式；（2）记bnlog3an，求数列anbn的前n项和Tn20已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期，最大值及取最大值时相应的x值；（2）如果，求f（x）的取值范围21已知函数，（）求f（x）的单调区间；（）设ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，D为AC的中点，若a3，求ABC的面积22已知在每一项均不为0的数列an中，a13，且（p，t为常数，nN*），记数列an的前n项和为Sn（1）当t0时，求Sn；（2）当p，t2时，求证：数列为等比数列；是否存在正整数m，使得不等
5、式Sn2nm对任意nN*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1数列，的一个通项公式为（）ABCD解：根据题意，数列，有a1，a2，a3，a4，依次类推：an故选：D2sin75cos15sin15cos75（）ABCD解：根据题意，sin75cos15sin15cos75sin（7515）sin60；故选：C3若向量，则（）A（4，10）B（2，5）C（4，5）D（8，10）解：，故选：A4已知数列an是等差数列，a1+a78，a22，则数列an的公差d等于（）A1B2C3D4解：数列an是等差数列，a1+a78，a22，
6、解得a15，d3故选：C5将函数ycos2x+1的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为（）Aysin2xBysin2x+2Cycos2xDycos（2x）解：把函数ycos2x+1的图象向右平移个单位，得sin2x+1，再向下平移1个单位，得ysin2x+11sin2x将函数ycos2x+1的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为：ysin2x故选：A6已知|6，|3，向量在方向上投影是4，则为（）A12B8C8D2解：设两个向量的夹角为，由题意已知|6，|3，向量在方向上投影是4，则4，所以4|12；故选：A7数列an为各项都是正
7、数的等比数列，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40（）A150B200C150或200D400或50解：数列an为各项都是正数的等比数列，设公比为q，则q0，由已知数据可知q1，S10（1q10）10，S30（1q30）70，两式相除可得q20+q10+17，解得q102或q103（舍去）把q102代入可得10，S40（1q40）10（124）150故选：A8在ABC中，若3b2asinB，cosAcosC，则ABC形状为（）A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形解：因为3b2asinB，由正弦定理得3sinB2sinAsinB，因为sinB0，所以sinA，又c
8、osAcosC，所以AC，则ABC形状为等边三角形故选：A9已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，则的值（）A3BC2D解：根据题意G为三角形的重心，（+），（+）x，由于与共线，根据共线向量基本定理知，存在实数，使得，即+，即即x+y3xy0x+y3xy即故选：B10函数定义域为（）ABCD解：要使函数有意义，则，即，即，kZ，则2kx2k或2kx2k+，kZ，即函数的定义域为，故选：C11已知函数，若等比数列an满足a1a20211，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a2021）（）ABC2D2021解：f（x），得f（），则f（x）+f（）+2
9、，又an是等比数列，得a1a2021a2a2020（a1011）21，所以f（a1）+f（a2021）f（a2）+f（a2020）f（a1010）+f（a1012）2；f（a1011）1，所以f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a2021）f（a1）+f（a2021）+f（a2）+f（a2020）+f（a1010）+f（a1012）+f（a1011）10102+12021故选：D12函数f（x）sin（x+）（0，|），已知（，0）为f（x）图象的一个对称中心，直线x为f（x）图象的一条对称轴，且f（x）在，上单调递减记满足条件的所有的值的和为S，则S的值为（）ABCD解：函数f（x）si
10、n（x+），由题意知+k1，k1Z，+k2+，k2Z，两式相减可求得（k2k1）+，k1，k2Z，即（k+），kZ，因为f（x）在，上单调递减，所以，所以，且（k+）0，kZ，解得0k2，所以k0，1，2，k0时，此时，符合题意；k1时，此时，不满足f（x）在，上单调递减，不符合题意；k2时，2，此时，符合题意；所以符合条件的值之和为+2故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13已知向量，且，则tan解：，3cos4sin 0即tan故答案为：14等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若，则16解：等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，设
11、Sn（38n+14），k（38n+14）a1+an，a1S126k，ank（38n12），a6216k，设Tn，k（2n+1）b1+bn，b1T1，bnk（2n），b716故答案为：1615已知是三角形的内角，且，则解：，两边平方可得（sin+cos）2sin2+cos2+2sincos1+2sincos，2sincos，又是三角形的内角，sin0，cos0，sincos0，（sincos）2sin2+cos22sincos12sincos，可得sincos，（sin+cos）（sincos）sin2cos2，故答案为：16如图所示，O为ABC的外心，AB4，AC2，BAC为钝角，M为BC边的
12、中点，则的值为5解：（如图）取AB、AC的中点D、E，可知ODAB，OEAC，M是边BC的中点，（），（），由数量积的定义可得|cos，而|cos|，故4；同理可得1，故+5，故答案为：5三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知，求下列各式的值（）；（）4sin23sincos解：因为，所以3sin+4cos0，可得tan，（）；（）4sin23sincos418已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB+bcosAc（1）求B；（2）设，b2，求c解：（1）由正弦定理得sinAsinB+sinBcosAsinC，因为sin
13、Csin（A+B）sin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，所以sinAsinBsinAcosB，又因为sinA0，cosB0，所以tanB1，又0B，所以（2）由余弦定理b2c2+a22accosB，可得，解得c219已知数列an的前n项和为Sn，且满足2Sn+an1（1）求数列an的通项公式；（2）记bnlog3an，求数列anbn的前n项和Tn解：（1）由2Sn+an1可得：2Sn1+an11(n2)，两式相减得：2an+anan10，即anan1，n2，又当n1时，有2S1+a11，解得：a1，数列an是首项、公比均为的等比数列，an；（2）由（1）可得bnlog3n，anb
14、n，Tn+，又Tn+，两式相减得：Tn+，整理得：Tn20已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期，最大值及取最大值时相应的x值；（2）如果，求f（x）的取值范围解：（1）f（x）2sinx（cosxsinx）+sinxcosx+cos2x2sinxcosx+cos2xsin2xsin2x+cos2x2sin（2x+）f（x）的最小正周期T当2x+2k+，xk+（kz）时，f（x）取得最大值2（2）由0x，得2x+，sin（2x+）1，f（x）的值域为1，221已知函数，（）求f（x）的单调区间；（）设ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，D为AC的中点，若a3，求ABC的面积解：（
15、）函数，2sinxcosx+（sin2xcos2x）sin2xcos2x2sin（2x），由2k2x，kZ，得k，由2k+2x2k+，kZ，得k+xk+，kZ，f（x）的单调递增区间是，kZ，单调递减区间是（）由，得，0B，即，c2+3c280，c0，c422已知在每一项均不为0的数列an中，a13，且（p，t为常数，nN*），记数列an的前n项和为Sn（1）当t0时，求Sn；（2）当p，t2时，求证：数列为等比数列；是否存在正整数m，使得不等式Sn2nm对任意nN*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由解：（1）解：当t0时，an+1pan，an0，p0，数列an是首项为3，公比为p的等比数列当p1时，Sn3n；当p1时，Sn故Sn；（2）证明：当p，t2时，an+1+，an+1+2，an+12，若存在k2，kN*，使得ak2，则2ak1ak2a1，这与a13矛盾，所以an2，0，所以lglg2lg，又因为lglg50，所以数列是首项为lg5，公比为2的等比数列解：由知lglg52n1，5，an由an20得：，即an+12（an2），当n2时，an22）（an22）（a12），所以Sn2n（a12）+（a22）+（an2）1+（当且仅当n1时取“），所以Sn2n，又因为S121m，mN*，所以存在m且m的最小值为2
