1、第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程(易错点)3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题(难点)1通过抛物线的定义及标准方程的学习，培养直观想象的素养.2.借助抛物线的定义解题，提升逻辑推理的素养.自 主 预 习 探 新 知 1抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做点 F 叫做抛物线的，直线 l 叫做抛物线的准线抛物线焦点思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什
2、么？提示 点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线 2抛物线的标准方程 图形标准方程焦点坐标准线方程 _ _ _ _y22px(p0)Fp2，0 xp2y22px(p0)xp2Fp2，0_ _ _ yp2x22py(p0)F0，p2yp2x22py(p0)F0，p2思考2：(1)抛物线方程中p(p0)的几何意义是什么？(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？提示(1)p的几何意义是焦点到准线的距离(2)根据抛物线方程中一次式2px，2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上1抛物线y28x的焦点坐标是()A(2,0)B(2,0)C(
3、4,0)D(4,0)B 抛物线y28x的焦点在x轴的负半轴上，且 p2 2，因此焦点坐标是(2,0)2抛物线y28x的焦点到准线的距离是()A1B2C4D8C 由y28x得p4，即焦点到准线的距离为4.3抛物线x4y2的准线方程是()Ay12By1Cx 116Dx18C 由x4y2得y214x，故准线方程为x 116.合 作 探 究 释 疑 难 求抛物线的标准方程【例1】根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y23；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；(3)经过点(3，1)；(4)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点解(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且p223，则
4、p43，所以所求抛物线的标准方程为x283y.(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y和x210y.(3)点(3，1)在第三象限，设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0)若抛物线的标准方程为y22px(p0)，则由(1)22p(3)，解得p16；若抛物线的标准方程为x22py(p0)，则由(3)22p(1)，解得p92.所求抛物线的标准方程为y213x或x29y.(4)对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，抛物线的焦点为(0，3)
5、或(4,0)当焦点为(0，3)时，p23，p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，p24，p8，此时抛物线的标准方程为y216x.所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.求抛物线的标准方程的方法定义法根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法设标准方程，列有关的方程组求系数 直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 提醒：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2ax或x2ay(a0)的形式，以简化讨论过程跟进训练1(1)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆 x23p y2p 1的一个焦点，则p()A2 B3C4D
6、8(2)已知抛物线C的准线与直线x3之间的距离等于5，则抛物线C的标准方程为_(1)D(2)y232x或y28x(2)由题意可知抛物线的准线方程为x8或x2，即抛物线C的标准方程为y232x或y28x.抛物线方程的实际应用【例2】某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4 m，此车能否通过此隧道？请说明理由思路点拨 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断 解 建立如图所示的平面直角坐标系 设抛物线方程为x22py(p0)，当x3时
7、，y3，即点(3，3)在抛物线上 代入得2p3，故抛物线方程为x23y.已知集装箱的宽为3 m，当x32时，y34，而隧道高为5 m，所以5344144.故卡车可通过此隧道 求抛物线实际应用的五个步骤跟进训练2一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值解 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的坐标为a2，a4，如图所示 设隧道所在抛物线方程为 x2my，则a22ma4，ma.即抛物线方程为x2ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82ay，即y0.82a.欲使卡车通过隧道，应
8、有ya43，即a40.82a 3.a0，a12.21，a应取13.与抛物线有关的最值问题 探究问题1如图，设A，B是直线l同侧的两点(不重合)，如何在l上寻找一动点P，使得|PA|PB|最小？提示：找B点关于l的对称点B，连接AB交l于P(图略)，则此时点P即为所求2对于不重合的三点A，B，P，当P点处在何处时，|AP|BP|最小？提示：当P位于A，B之间且A，P，B三点共线时，|AP|BP|最小【例3】设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|PF|的最小值思路点拨(1)根
9、据|PA|PF|AF|等号成立的条件求解(2)借助抛物线的定义转化求解 解(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x1.由抛物线的定义知，点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为2212 5，即点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为 5.(2)如图，把点B的横坐标代入y24x中，得y23.因为23 2，所以点B在抛物线内部过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.此时，由抛物线定义知，
10、|P1Q|P1F|.所以|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314，即|PB|PF|的最小值为4.解关于抛物线的最值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等跟进训练3已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A 172 B3C 5D92A 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可得，点P到准线x12的距离d|PF|，易知点A(0,2)在抛物线y22x的外部，连接AF，
11、交y22x于点P，欲使所求距离之和最小，只需A，P，F共线，其最小值为|AF|0122202 172.课 堂 小 结 提 素 养 1抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上2确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx(m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m0)3与抛物线有关的问题在求解中注意定义所隐含的转化，借此体会等价转化思想的重要性1判断正误(1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点
12、的轨迹一定是抛物线()(2)抛物线实质上就是双曲线的一支()(3)抛物线的焦点位置由一次项的字母及一次项系数的正负决定()(4)若抛物线的方程为y24x，则其中的焦参数p2.()(5)抛物线y6x2的焦点在x轴的正半轴上()答案(1)(2)(3)(4)(5)2抛物线y224ax(a0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为()Ay28x By212xCy216xDy220 xA 由题意知6a35，解得a13，因此抛物线方程为y28x.3如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米26 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py(p0)，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26，所以水面宽为2 6米4若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标解 由抛物线方程y22px(p0)，得其焦点坐标为Fp2，0，准线方程为xp2.设点M到准线的距离为d，则d|MF|10，即p2(9)10，得p2，故抛物线方程为y24x.由点M(9，y)在抛物线上，得y6，故点M的坐标为(9,6)或(9，6)点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
