1、2015-2016学年山东师大附中高三（上）第三次模拟数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合M=0，1，2，N=x|x=2a，aM，则集合MN=（）A0B0，1C1，2D0，22若ab，则下列命题成立的是（）AacbcBCDac2bc23在等比数列an中，若a2+a3=4，a4+a5=16，则a8+a9=（）A128B128C256D2564已知tan（+）=，tan（）=，那么tan（+）等于（）ABCD5已知某种产品的支出广告额x与利润额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x34567y20303
2、04060则回归直线方程必过（）A（5，36）B（5，35）C（5，30）D（4，30）6若，则f（x）的定义域为（）ABCD7函数的图象大致为（）ABCD8已知f（x）=3sinxx，命题p：x（0，），f（x）0，则（）Ap是假命题，p：x（0，），f（x）0Bp是假命题，p：x0（0，），f（x0）0Cp是真命题，p：x（0，），f（x）0Dp是真命题，p：x0（0，），f（x0）09设x，y满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（）Ax3By4Cx+2y80D2xy+1010如图所示，两个非共线向量，的夹角为，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，yR），则x2
3、+y2的最小值为（）ABCD二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中横线上.11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12设f（x）=xlnx，若f（x0）=2，则x0=13已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为14已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），则第60个数对是15已知定义在R上的函数f（x）满足图象关于（1，0）点对称；f（1+x）=f（1x）；x1，
4、1时，f（x）=，则函数y=f（x）（）|x|在区间3，3上的零点个数为三、解答题：本大题共6个小题.共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16在ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知向量=（cosA，cosB），=（a，2cb），且（）求角A的大小；（）若a=4，求ABC面积的最大值17为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：睡眠时间（小时）4，5）5，6）6，7）7，8）8，9）人数15653男生睡眠时间（小时）4，5）5，6）6，7）7，8）8，9）人数24842女生（I）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足
5、”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率；（II）完成下面22列联表，并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？睡眠时间少于7小时睡眠时间不少于7小时合计男生女生合计（其中n=a+b+c+d）18已知三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，AB=AC，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点（I）求证：DE平面ABC；（II）求证：平面AEF平面BCC1B119如图，菱形ABCD的边长为6，BAD=60，ACBD=O将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD，点M是棱BC的中点，（1）求证：OD面ABC；（2）求点M到平
6、面ABD的距离20已知数列an的前n项和Sn=an+n21，数列bn满足3nbn+1=（n+1）an+1nan，且b1=3（）求an，bn；（）设Tn为数列bn的前n项和，求Tn，并求满足Tn7时n的最大值21设函数f（x）=（x1）2+alnx，aR（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线x+2y1=0垂直，求a的值；（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）有两个极值点x1，x2且x1x2，求证：f（x2）ln22015-2016学年山东师大附中高三（上）第三次模拟数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个
7、选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合M=0，1，2，N=x|x=2a，aM，则集合MN=（）A0B0，1C1，2D0，2【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】集合N的元素需要运用集合M的元素进行计算，经过计算得出M的元素，再求交集【解答】解：由题意知，N=0，2，4，故MN=0，2，故选D【点评】此题考查学生交集的概念，属于基础题2若ab，则下列命题成立的是（）AacbcBCDac2bc2【考点】不等式的基本性质【专题】计算题【分析】通过给变量取特殊值，举反例可得A、B、C都不正确，对于ab，由于c20，故有 ac2bc2，故D成立【解答】解：ab，故当c=0时，ac=bc=0，故
8、A不成立当b=0 时，显然B、C不成立对于ab，由于c20，故有 ac2bc2，故D成立故选D【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题3在等比数列an中，若a2+a3=4，a4+a5=16，则a8+a9=（）A128B128C256D256【考点】等比数列的性质【专题】计算题【分析】将已知两等式相除，利用等比数列的性质化简，求出q2的值，将所求式子提取q4，利用等比数列的性质变形后，将q2的值及a4+a5=16代入计算，即可求出值【解答】解：a2+a3=4，a4+a5=16，=q2=4，则a8+a9
9、=q4（a4+a5）=1616=256故选C【点评】此题考查了等比数列的性质，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键4已知tan（+）=，tan（）=，那么tan（+）等于（）ABCD【考点】两角和与差的正切函数【专题】计算题【分析】把已知的条件代入=tan（+）（）=，运算求得结果【解答】解：已知，=tan（+）（）= = =，故选C【点评】本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于中档题5已知某种产品的支出广告额x与利润额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x34567y2030304060则回归直线方程必过（）A（5，36）B（5，35）C（5，30）D（4，30）【考点】线性回归方程【专
10、题】计算题；规律型；函数思想；概率与统计【分析】求出样本中心坐标即可【解答】解：由题意可知回归直线方程必过样本中心坐标（，），即（5，36）故选：A【点评】本题考查回归直线方程的应用，基本知识的考查6若，则f（x）的定义域为（）ABCD【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域【专题】计算题【分析】根据分式函数的分母不能为0，再由对数函数的真数要大于零使得对数函数有意义，可得不等式组，最后两个不等式的解集取交集可得答案【解答】解：根据题意有：解得：x0，所以其定义域为：故选C【点评】本题主要考查给出解析式的函数的定义域的求法，常见的有分母不能为零，负数不能开偶次方根，零次幂及真数要大于零等
11、7函数的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象与图象变化【专题】函数的性质及应用【分析】求出函数的定义域，通过函数的定义域，判断函数的奇偶性及各区间上函数的符号，进而利用排除法可得答案【解答】解：函数的定义域为（，0）（0，+），且f（x）=f（x）故函数为奇函数，图象关于原点对称，故A错误由分子中cos3x的符号呈周期性变化，故函数的符号也呈周期性变化，故C错误；不x（0，）时，f（x）0，故B错误故选：D【点评】本题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用，考查基本知识的综合应用，考查数形结合，计算能力判断图象问题，一般借助：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、以及函数的
12、图象的变化趋势等等8已知f（x）=3sinxx，命题p：x（0，），f（x）0，则（）Ap是假命题，p：x（0，），f（x）0Bp是假命题，p：x0（0，），f（x0）0Cp是真命题，p：x（0，），f（x）0Dp是真命题，p：x0（0，），f（x0）0【考点】复合命题的真假；命题的否定【专题】应用题【分析】由三角函数线的性质可知，当x（0，）时，sinxx可判断p的真假，根据全称命题的否定为特称命题可知p【解答】解：由三角函数线的性质可知，当x（0，）时，sinxx3sinx3xxf（x）=3sinxx0即命题p：x（0，），f（x）0为真命题根据全称命题的否定为特称命题可知p：x0（0，）
13、，f（x0）0故选D【点评】本题看出命题真假的判断，本题解题的关键是先判断出条件中所给的命题的真假，本题是一个基础题9设x，y满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（）Ax3By4Cx+2y80D2xy+10【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行判断即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则C（2，3），B（2，5），则x3，y4不成立，作出直线x+2y8=0，和2xy+1=0，由图象可知2xy+10不成立，恒成立的是x+2y80，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键10如图所示，两个非
14、共线向量，的夹角为，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，yR），则x2+y2的最小值为（）ABCD【考点】点到直线的距离公式；平面向量坐标表示的应用【分析】法一：特殊值法，当=90，|=|=1时，建立直角坐标系，得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有+=1，由M、N分别为OA与OB的中点，可得x+y=，下同法一【解答】解法一：特殊值法，当=90，|=|=1时，建立直角坐标系，=x+y得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有+=1，又因为M、N分别为O
15、A与OB的中点，所以=x+y=原题转化为：当x时，求x2+y2的最小值问题，y=x2+y2=结合二次函数的性质可知，当x=时，取得最小值为故选B【点评】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点C、M、N共线，所以，有+=1“的应用二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中横线上.11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为80【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是下部正方体，上部是四棱锥的组合体，求出它的体积即可【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是下部是楞长为4的正方体，
16、上部是高为3的四棱锥的组合体，该几何体的体积是V组合体=V正方体+V四棱锥=43+423=80故答案为：80【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求几何体的体积的应用问题，是基础题12设f（x）=xlnx，若f（x0）=2，则x0=e【考点】导数的运算【专题】计算题【分析】先根据乘积函数的导数公式求出函数f（x）的导数，然后将x0代入建立方程，解之即可【解答】解：f（x）=xlnxf（x）=lnx+1则f（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e故答案为：e【点评】本题主要考查了导数的运算，以及乘积函数的导数公式的运用，属于基础题之列13已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1
17、，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为【考点】几何概型【专题】计算题；规律型；数形结合；转化法；概率与统计【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积欲求取到的点P到M的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可【解答】解：根据几何概型得：取到的点到M的距离小1的概率：p=故答案为：【点评】本题主要考查几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型14已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2
18、，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），则第60个数对是（5，7）【考点】数列的应用【专题】规律型【分析】把握数对的规律如下：两个数之和为n的整数对共有n1个，在两个数之和为n的n1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n1起越来越小【解答】解：规律是：两个数之和为n的整数对共有n1个，在两个数之和为n的n1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n1起越来越小设两个数之和为2的数对为第1组，数对个数为1；两个数之和为3的数对为第二组，数对个数2；，两个数之和为n+1的数对为第n组，数对个数为 n又1+2+10=55，1+2+11=66第6
19、0个数对在第11组之中的第5个数，从而两数之和为12，应为（5，7）；故答案为（5，7）【点评】本题主要考查数列知识的拓展及应用15已知定义在R上的函数f（x）满足图象关于（1，0）点对称；f（1+x）=f（1x）；x1，1时，f（x）=，则函数y=f（x）（）|x|在区间3，3上的零点个数为5【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】由可得f（x）+f（2x）=0，求得x在1，3上的f（x）的解析式；再由求得x在3，1上的解析式，画出f（x）和y（）|x|在3，3的图象，通过图象观察，可得它们有5个交点，即可得到零点的个数【解答】解：由题意可得f（
20、x）+f（2x）=0，当1x2时，02x1，f（2x）=cos（2x）=cosx，则f（x）=f（2x）=cosx；当2x3时，1x0，f（2x）=1（2x）2，则f（x）=f（2x）=（2x）21由f（1+x）=f（1x），即为f（x）=f（x2），当3x2时，02x1，f（2x）=cos（2x）=cosx，则f（x）=f（2x）=cosx；当2x1时，12x0，f（2x）=1（2x）2，则f（x）=f（2x）=1（2x）2y=f（x）（）|x|在区间3，3上的零点即为y=f（x）和y=（）|x|在3，3的交点个数作出y=f（x）和y（）|x|在3，3的图象，通过图象观察，可得它们有5个交点
21、，即有5个零点故答案为：5【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数方程的转化思想，注意运用数形结合的思想方法，属于中档题三、解答题：本大题共6个小题.共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16在ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知向量=（cosA，cosB），=（a，2cb），且（）求角A的大小；（）若a=4，求ABC面积的最大值【考点】余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】解三角形【分析】（I）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinC不为0，求出cosA
22、的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（II）由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，整理后利用基本不等式求出bc的最大值，再由bc的最大值与sinA的值即可得到三角形ABC面积的最大值【解答】解：（I）向量=（cosA，cos B），=（a，2cb），且，acosB（2cb）cosA=0，利用正弦定理化简得：sinAcosB（2sinCsinB）cosA=0，sinAcosB+cosAsinB2sinCcosA=0，即sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，sinC0，cosA=，又0A，则A=；（II）由余弦定理a2=b2+c22bccosA，得：1
23、6=b2+c2bcbc，即bc16，当且仅当b=c=4时，上式取等号，SABC=bcsinA4，则ABC面积的最大值为4【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键17为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：睡眠时间（小时）4，5）5，6）6，7）7，8）8，9）人数15653男生睡眠时间（小时）4，5）5，6）6，7）7，8）8，9）人数24842女生（I）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰
24、有一人为“严重睡眠不足”的概率；（II）完成下面22列联表，并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？睡眠时间少于7小时睡眠时间不少于7小时合计男生女生合计（其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验【专题】计算题；概率与统计【分析】（I）睡眠时间不足6小时的女生共6人，其中“严重睡眠不足”的有2人，结合古典概型概率计算公式，可得答案（II）根据所给数据可完成22列联表，利用公式求出K2，与临界值比较，可得结论【解答】解：（I）睡眠时间不足6小时的女生共6人，其中“严重睡眠不足”的有2人，从中抽取3个，则共有C63=20种不同的抽取方法；其中恰有一人为“严重睡眠不足”抽取方法有：C4
25、2C21=12种，故此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率P=，（II）由题意可得满足条件的22列联表如下图所示：睡眠时间少于7小时睡眠时间不少于7小时合计男生12820女生14620合计261440=0.44，0.442.706没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”【点评】本题考查的知识点是古典概型，22列联表，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于基础题18已知三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，AB=AC，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点（I）求证：DE平面ABC；（II）求证：平面AEF平面BCC1B1【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【
26、专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（I）要证DE平面ABC，只需证明DE平行平面ABC内的直线DG（设G是AB的中点，连接DG）；（II）欲证平面AEF平面BCC1B1，根据面面垂直的判定定理可知，证AF平面BCC1B1即可【解答】证明：（I）设G是AB的中点，连接DG，FG则DGEC，所以四边形DECG是平行四边形，所以DEGC，从而DE平面ABC（II）三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，AFCC1，AB=AC，F为BC中点，AFBC又BCCC1=C，AF平面BCC1B1，又AF平面AEF，平面AEF平面BCC1B1【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位
27、置关系，以及线面关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查逻辑思维能力，是中档题19如图，菱形ABCD的边长为6，BAD=60，ACBD=O将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD，点M是棱BC的中点，（1）求证：OD面ABC；（2）求点M到平面ABD的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】（1）根据题意给出的条件得出ODACODOM，运用直线平面的垂直判定定理可证明（2）VMABD=VDMAB，运用等积法求解距离问题【解答】证明：（1）由题意，OM=OD=3，DM=3，DOM=90，ODOM，又菱形ABCD，OD
28、AC OMAC=O，OD平面ABC （2）由（1）知OD=3为三棱锥DABM的高 ABM的面积为SABM=sin120=，又 AB=AD=6，BD=3 所以SABD=，VMABD=VDMAB，d=3，d=【点评】本题考查了空间直线平面垂直问题，利用等积法求解空间距离，考查了学生的空间想象能力，计算能力20已知数列an的前n项和Sn=an+n21，数列bn满足3nbn+1=（n+1）an+1nan，且b1=3（）求an，bn；（）设Tn为数列bn的前n项和，求Tn，并求满足Tn7时n的最大值【考点】数列与不等式的综合【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】（）在已知数列递推式中取n=n1得另一
29、递推式，两式作差后整理得到an1=2n1，则数列an的通项公式可求，把an代入3nbn+1=（n+1）an+1nan，整理后求得数列bn的通项公式；（）由错位相减法求得数列bn的前n项和Tn，然后利用作差法说明Tn为递增数列，通过求解T3，T4的值得答案【解答】解：（）由，得（n2），两式相减得，an=anan1+2n1，an1=2n1，则an=2n+1由3nbn+1=（n+1）an+1nan，3nbn+1=（n+1）（2n+3）n（2n+1）=4n+3当n2时，由b1=3适合上式，；（）由（）知，得，=TnTn+1，即Tn为递增数列又，Tn7时，n的最大值3【点评】本题是数列与不等式的综合题
30、，考查了数列递推式，训练了利用数列的前n项和求通项公式，考查了错位相减法求数列的和，求解（）的关键是说明数列Tn为递增数列，是中高档题21设函数f（x）=（x1）2+alnx，aR（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线x+2y1=0垂直，求a的值；（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）有两个极值点x1，x2且x1x2，求证：f（x2）ln2【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】导数的综合应用【分析】（）先求出函数f（x）的导数，根据导函数f（1）=2，从而求出a的值；（）令g（x）=2x22x+a，通
31、过讨论函数g（x）的判别式，从而得到函数f（x）的单调区间；（）问题转化为求h（x）=（x1）2+（2x2+2x）lnx，x（，1）的单调性，得到h（x）h（）=ln2，从而证出结论【解答】解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=2x2+=，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线x+2y1=0垂直，f（1）=a=2 （）令g（x）=2x22x+a，则=48a当0，即a时，g（x）0，从而f（x）0，故函数f（x）在（0，+）上单调递增； 当0，即a时，g（x）=0的两个根为x1=，x2=，当，即a0时，x10，当0a时，x10故当a0时，函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+）单调递增；当0a时，函数f（x）在（0，），（，+）单调递增，在（，）单调递减 （）当函数f（x）有2个极值点时，0a，01，此时x2=（，1），且g（x2）=0，即a=2+2x2，f（x2）=+alnx2=+（2+2x2）lnx2，设h（x）=（x1）2+（2x2+2x）lnx，其中x（，1），则h（x）=（4x+2）lnx，由于x（，1）时，h（x）0，故函数h（x）在（，1）单调递增，故h（x）h（）=ln2，f（x2）ln2【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查分类讨论思想，考查函数恒成立问题，本题有一定难度
