1、四川省成都外国语学校2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设全集，集合，则集合中元素的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】先求解集合A，然后根据补集的定义写出，从而求出集合中元素的个数.【详解】解：由题意可知：，又全集，所以，所以所求集合元素的个数是.故选：A.【点睛】本题考查补集的定义和运算，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题.2.若复数是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ）A. -2B. -1C. 1D.
2、 2【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的除法运算化简复数,再根据实部为0且虚部不为0求解即可.【详解】为纯虚数，即，故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数茎叶图，则下列说法错误的是（ ）A. 甲所得分数的极差为22B. 乙所得分数的中位数为1
3、8C. 两人所得分数的众数相等D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为，乙的平均分为 ，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.4.已知实数，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断的大小范围，然后判断三个数的大小关系【详解】解：因
4、为所以12，2+2ln22，01， cab 故选A【点睛】本题考查了有关对数式的大小比较5.在如图的程序框图中，为的导函数，若，则输出的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，f1(x)=cosx，f2(x)=sinx，f3(x)=cosx，f4(x)=sinx，f5(x)=cosx.题目中的函数为周期函数，且周期T=4，f2018(x)=f2(x)= sinx.故选C.点睛：法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，
5、是求和还是求项.6.中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析： 当时，由余弦定理得，故，即，所以是等腰三角形，反之，当是等腰三角形时等腰三角形时，不一定有，故“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件考点：1、余弦定理；2、充分必要条件.7.若等差数列和等比数列满足，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意可得，选A8.直角坐标系中，是原点，动点在直线上运动，若从动点向点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值是（ ）A. B.
6、 4C. 5D. 【答案】D【解析】【分析】由可知点的轨迹为圆心为，半径为1的圆，设出的坐标，切线长为，根据直线与圆相切时，切线长、半径、圆心到圆外点的距离成直角三角形，根据勾股定理列出等式，利用二次函数求最小值的方法求出的最小值即可【详解】设点，所以，所以点的轨迹为圆心为，半径为1的圆，设，切线长为，则点到圆心的距离根据直线与圆相切时，切线长、半径、圆心到圆外点的距离成直角三角形，根据勾股定理得：即，当时，的最小值为24，得到的最小值为故选：D【点睛】本题主要考查学生会根据条件得到动点的轨迹方程，考查直线和圆的位置关系，考查二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.赵爽是我国
7、古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可【详解】在中，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率
8、计算问题，是基础题10.在平行四边形ABCD中， ，若将其沿BD折成直二面角A-BD-C，则ABCD的外接球的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据，可得，又二面角A-BD-C为直二面角，所以AB，BD，DC两两垂直，故ABCD的外接球和以BD，DC，AB为长宽高的长方体的外接球相同，由此可计算出外接球半径，得到其表面积【详解】在平行四边形ABCD中，又因为，即有，根据二面角A-BD-C为直二面角，所以AB，BD，DC两两垂直，故三棱锥ABCD的外接球和以BD，DC，AB为长宽高的长方体的外接球相同，所以，解得，故，选C【点睛】本题主要考查了直三棱锥的几何特征以及其
9、外接球的表面积计算，意在考查学生的直观想象能力、计算能力和转化与化归能力11.直线过抛物线的焦点且与抛物线交于，两点，若线段的长分别为，则的最小值是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】【分析】由抛物线性质得，再利用基本不等式可求得最小值【详解】抛物线的焦点为，准线为，如图，过作于，过作于，过作于，交轴于点，准线与轴交于点，则，由得，当且仅当，即时等号成立故选：B【点睛】本题考查抛物线的焦点弦性质，考查基本不等式求最值解题关键是由抛物线的性质得出满足的关系，然后用凑配法配出基本不等式所需定值12.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.
10、 【答案】B【解析】【分析】原不等式化为，函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，要使得恒成立，只需恒成立，即恒成立，利用导数求出的最小值即可得结果.【详解】函数的定义域为，由，得，函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，所以要使得恒成立，只需恒成立，即恒成立，设，则，在上递减，在递增，可知当时，取得最小值，所以，又因为，所以的取值范围是，故选B【点睛】本题主要考查反函数的性质、不等式恒成立问题以及利用导数求函数的最值，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛
11、选出符合题意的参数范围.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在题后横线上.13.已知菱形的边长为，则_.【答案】【解析】【分析】作出图形，利用平面向量数量积的定义可求得的值.详解】如下图所示：由于，则，所以，向量与的夹角为，由于菱形的边长为，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，要明确两向量间的夹角，考查计算能力，属于基础题.14.已知实数，满足，其中，则实数的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据函数的积分公式求出的值，然后作出不等式组对应的平面区域，根据直线斜率的公式进行求解即可.【详解】，则不等式组为， 作出不等式组
12、对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点的斜率，由图像可知的斜率最小，由 ，可得，即，此时的斜率.故答案为：【点睛】本题考查了定积分、简单的线性规划问题，解题的关键是作出不等式组的可行域，理解目标函数表示的几何意义，属于基础题.15.函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）xf（x）0的解集为 【答案】【解析】【详解】试题分析：在x0时,xf（x）递减，所以的解集是考点：构造函数研究单调性，解抽象不等式.16.过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为_【答案】.【解析】【分析】先设， ， ，由且得整理得：，同理分析出：，由于A, B在椭圆上，则可
13、以分析出，则Q点的轨迹是直线，利用点到线得距离求得OQ得最小值【详解】设， ， 则于是，同理，于是我们可以得到 .即，所以Q点的轨迹是直线， 即为原点到直线的距离，所以【点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(2)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或
14、演算步骤.17.已知函数，且是函数的一个极小值点.（）求实数的值；（）求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2)当或时，有最小值；当或时，有最大值.【解析】分析】（）先求函数的导函数，因为是函数的一个极小值点，所以，即可求得的值（）由（）知，求导，在令导数等于0，讨论导数的正负可得函数的单调区间，根据函数的单调区间可求其最值【详解】（）. 是函数的一个极小值点，.即，解得. 经检验，当时，是函数的一个极小值点.实数的值为.（）由（）知，.令，得或.当在上变化时，的变化情况如下： 当或时，有最小值当或时，有最大值.18.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特
15、色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.（1）根据下图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数（精确到小数点后一位）；（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会.现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求小组中至少有1
16、人发言的概率？【答案】（1）平均时长为6.8，中位数为6.7；（2）在和两组中分别抽取30人和20人，.【解析】【分析】（1）结合题中数据，按照中位数的平均数的概念计算即可；（2）根据分层抽样的定义先计算出和两组抽取的人数，然后利用列举法计算小组中至少有1人发言的概率的概率即可.【详解】（1）设抽查人员利用“学习强国”的平均时长为，中位数为，设抽查人员利用“学习强国”的中位数为，解得.即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为6.7；（2）的人数为人，设抽取的人数为，组的人数为人，设抽取的人数为，则，解得，所以在和两组中分别抽取30人和20人，在抽取5人，两组分别抽取3人和2人，将
17、组中被抽取的工作人员标记为，将中的标记为，设事件表示从小组中至少抽取1人，则抽取的情况如下：，共10种情况，其中在中至少抽取1人有7种，则.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查平均数和中位数的计算，考查分层抽样，考查概率的计算，考查分析和解决问题的能力，考查计算能力，属于常考题.19.如图，在四面体中，E是线段的中点，.（1）证明：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取线段的中点，连接，证明推出平面，然后证明（2）解法一：令，点为原点，射线、分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示求出平面、平面的法向量，利用空间向
18、量的数量积求解平面与平面所成锐二面角的余弦值解法二：令，取中点，则，说明为二面角的平面角，利用余弦定理转化求解，平面与平面所成锐二面角的余弦值即可【详解】（1）取线段的中点F，连接、.因为E是线段的中点，所以.又，所以.因为，F是的中点，所以.因为平面，平面，所以平面，而平面，所以.（2）解法一：令，则，那么，所以，所以.又，故可以以点F为原点，射线、分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.则，所以，.设平面、平面的法向量分别为，由，得，取，则.由，得，取，则.所以.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.解法二：令，由已知及（1）可得：，所以，均为棱长为a的正三角形.取中点G
19、，则，故为二面角的平面角，在中，由余弦定理可得：，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题综合考查立体几何的基本知识、基本思想和基本方法，通过空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，通过二面角的概念及计算考查学生的运算求解能力.20.已知椭圆：的右顶点，且点在椭圆上，、分别是椭圆的左、右焦点.（）求椭圆的标准方程；（）过原点的直线交圆于、，直线、分别交椭圆于、，求与的面积之比的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）根据题意可得，然后将点代入椭圆方程即可求解.（）由，分别设直线方程，与圆和椭圆联立，再结合函数单调性即可求出与的面
20、积之比的取值范围【详解】（）由题意，将点代入椭圆方程可得.（），设：.联立与圆得：，联立与椭圆得：，同理得，令，.所以当，.【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的面积问题，考查了考生的计算求解能力，属于中档题.21.已知函数.（）若，求实数取值的集合；（）证明：.【答案】（） （）证明见解析【解析】【分析】（1）当时，不满足题意，当时，求的最小值，即可得到本题答案；（2）要证，只需证当时，求得的最小值，即可得到本题答案.【详解】（）由已知，有当时，与条件矛盾,当时，若，则，单调递减若，则，则单调递增.所以在上有最小值，由题意，所以.令，所以，当时，单调递增；当时
21、，单调递减，所以在上有最大值，所以，综上，当时，实数取值的集合为；（）证明：由（）可知：时，即在时恒成立.要证，只需证当时，令，令，则，令，解得，所以，函数在内单调递减，在上单调递增.即函数在内单调递减，在上单调递增.而.存在，使得当时，单调递增；当时，单调递减.当时，单调递增，又，对恒成立，即，综上可得：成立.【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题以及利用导数证明不等式.22.在平面直角坐标系，曲线，曲线（为参数），以坐标原点为 极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）射线分别交，于，两点，求的最大值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值【详解】（1）因为 ，所以 的极坐标方程为 ，因为 的普通方程为 ，即 ，对应极坐标方程为 （2）因为射线，则 ，则，所以又 ，所以当 ，即 时， 取得最大值 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用
