1、第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程 学 习 目 标核 心 素 养 1理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题(难点)1通过双曲线的学习，培养学生直观想象的素养.2.借助双曲线标准方程的推导，提升数学运算的素养.自 主 预 习 探 新 知 1双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距两焦点间的距离差的绝对值两个定点思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”
2、改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，若|MF1|MF2|2a(常数)，且2a0，即(m1)(m2)(m2)0，解得2m2.(2)依题意有m240，m10，解得2m1.(3)依题意有m240，解得1m0；2表示焦点在x轴上的双曲线的条件是m0，n0；3表示焦点在y轴上的双曲线的条件是m0，n0，n0.跟进训练1(1)已知双曲线 x2a3 y22a1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于()A32 B5C7D12(2)在方程mx2my2n中，若mn0，则方程所表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆B焦点在x轴上的双曲线C焦点在y轴上
3、的双曲线D焦点在y轴上的椭圆(1)D(2)C(1)根据题意可知，双曲线的标准方程为y22a x23a 1.由其焦距为4，得c2，则有c22a3a4，解得a12.(2)方程mx2my2n可化为x2nmy2nm1.由mn0知 nm0，b0)，将点A(4，5)代入双曲线方程得 25a216b21，又a2b29，解得a25，b24.法二(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，3)，F2(0,3)且A(4，5)在双曲线上，则2a|AF1|AF2|20 80|2 5，a 5，b2c2a2954.即双曲线的标准方程为y25x241.(2)法一 若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为x2a2y2b21
4、(a0，b0)因为M(1,1)，N(2,5)在双曲线上，所以 1a2 1b21，22a252b21，解得a278，b27.若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)同理有 1a2 1b21，52a222b21，解得a27，b278(不合题意，舍去)所以所求双曲线的标准方程为x278y271.法二 设所求双曲线的方程为mx2ny21(mn0)将点M(1,1)，N(2,5)代入上述方程，得 mn1，4m25n1，解得m87，n17.所以所求双曲线的标准方程为x278y271.1求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；(2)求出a2，b2的值 2当双曲
5、线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2By21(AB0，b0)，由题意得 4a2 1b21，c2a2b23，解得a22，b21，所以所求双曲线方程为x22y21.(2)由双曲线的焦点可知c5，线段PF1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为F2，则有PF2x轴，且PF24，点P在双曲线右支上所以PF12 5242 36 6，所以PF1PF26422a，所以a1，b2c2a24，所以双曲线的方程为x2 y24 1，选B双曲线定义的应用 探究问题1到两定点F1，F2的距离之差是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双
6、曲线的两支还是一支？提示：一支 2若P点是双曲线 x2a2 y2b2 1(a0，b0)上的一动点，F1，F2为其左、右焦点，设F1PF2，则SF1PF2如何用表示？提示：SF1PF2b2tan 2(可借助双曲线的定义及余弦定理推导)【例3】(1)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_(2)已知F1，F2分别是双曲线 x29 y216 1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32.试求F1PF2的面积思路点拨(1)由两圆外切得等量关系双曲线定义轨迹方程(2)双曲线的定义及余弦定理F1PF2面积公式求
7、SF1PF2.(1)x2y281(x1)如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a1，c3，则b28，动圆圆心M的轨迹方程为x2y281(x1)(2)解 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|PF1|6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，所以|PF1|2|PF2|23
8、62|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|1001002|PF1|PF2|0，所以F1PF290，所以SF1PF212|PF1|PF2|123216.把本例(2)的条件“|PF1|PF2|32”换成“F1PF260”，求SF1PF2.解 由x29y2161得，a3，b4，c5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|PF1|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，所以SF1PF21
9、2|PF1|PF2|sinF1PF21264 32 16 3.1求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系，化简得到方程(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程提醒：双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴 检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支 2求双曲线中的焦点三角形PF1F2面积的方法(1)根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想方法求出|PF1|PF2|的值；利用公式SPF1F212|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积(2)利用公式SPF1F212|F1F2|yP|求得面积课 堂 小 结 提 素 养 1双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立要注意与椭圆中a，b，c的区别在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0，b0)，则有a2b2c28，9a210b21，解得a23，b25.故所求双曲线的标准方程为x23y251.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
