1、2017年北京市丰台区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1如果集合A=xZ|2x1，B=1，0，1，那么AB=（）A2，1，0，1B1，0，1C0，1D1，02在平面直角坐标系xOy中，与原点位于直线3x+2y+5=0同一侧的点是（）A（3，4）B（3，2）C（3，4）D（0，3）3执行如图所示的程序框图，则输出的i的值是（）A3B4C5D64设命题p：x0，+），ex1，则p是（）Ax00，+），Bx0，+），ex1Cx00，+），Dx0，+），ex15如果，那么（）AcbaBcabCabcDacb6由一个正方体截
2、去一个三棱锥所得的几何体的直观图如图所示，则该几何体的三视图正确的是（）ABCD7已知函数，点A（m，n），B（m+，n）（|n|1）都在曲线y=f（x）上，且线段AB与曲线y=f（x）有五个公共点，则的值是（）A4B2CD8某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛该校高一年级有1，2，3，4四个班参加了比赛，其中有两个班获奖比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是（）A乙，丁B甲，丙C
3、甲，丁D乙，丙二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9在复平面内，复数z=12i对应的点到原点的距离是10抛物线y2=2x的准线方程是11设a+b=M（a0，b0），M为常数，且ab的最大值为2，则M等于12如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，AD=2，BC=CD=1，P是AB的中点，则=13已知点A（1，0），B（3，0），若直线y=kx+1上存在点P，满足PAPB，则k的取值范围是14已知函数（1）若a=0，x0，4，则f（x）的值域是；（2）若f（x）恰有三个零点，则实数a的取值范围是三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15在ABC中，角A
4、，B，C对应的边长分别是a，b，c，且，c=4（）若，求a；（）若ABC的面积等于，求a，b16已知an是各项均为正数的等比数列，a11=8，设bn=log2an，且b4=17（）求证：数列bn是以2为公差的等差数列；（）设数列bn的前n项和为Sn，求Sn的最大值17如图1，平行四边形ABCD中，ACBC，BC=AC=1，现将DAC沿AC折起，得到三棱锥DABC（如图2），且DABC，点E为侧棱DC的中点（）求证：平面ABE平面DBC；（）求三棱锥EABC的体积；（）在ACB的角平分线上是否存在点F，使得DF平面ABE？若存在，求DF的长；若不存在，请说明理由18某校学生营养餐由A和B两家配餐
5、公司配送学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分根据收集的80份问卷的评分，得到如图A公司满意度评分的频率分布直方图和如表B公司满意度评分的频数分布表：满意度评分分组频数50，60）260，70）870，80）1480，90）1490，1002（）根据A公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数；（）从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A公司评分的概率；（）请从统计角度，对A、B两家公司做出评价19已知P（0，1）是椭圆C： =1（ab0）上一点，点P到椭圆C的两个焦点的距离之和为2（）求椭圆C的方程；（）设A
6、，B是椭圆C上异于点P的两点，直线PA与直线x=4交于点M，是否存在点A，使得SABP=？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由20已知函数，A（x1，m），B（x2，m）是曲线y=f（x）上两个不同的点（）求f（x）的单调区间，并写出实数m的取值范围；（）证明：x1+x202017年北京市丰台区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1如果集合A=xZ|2x1，B=1，0，1，那么AB=（）A2，1，0，1B1，0，1C0，1D1，0【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定
7、义能求出AB【解答】解：集合A=xZ|2x1=2，1，0，B=1，0，1，AB=1，0故选：D2在平面直角坐标系xOy中，与原点位于直线3x+2y+5=0同一侧的点是（）A（3，4）B（3，2）C（3，4）D（0，3）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【分析】二元一次不等式的表示的平面区域表示的点的特点判断即可【解答】解：当x=0，y=0时，0+0+50，对于A：当x=3，y=4时，9+8+50，故满足，对于B：当x=3，y=2时，94+50，故不满足，对于C：x=3，y=4，98+50，故不满足，对于D：x=3，y=2时，06+50，故不满足，故选：A3执行如图所示的程序框图，则输出的i
8、的值是（）A3B4C5D6【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，S=2，不满足退出循环的条件，i=2；再次执行循环体后，S=6，不满足退出循环的条件，i=3；再次执行循环体后，S=14，不满足退出循环的条件，i=4；再次执行循环体后，S=30，满足退出循环的条件，故输出的i值为4，故选：B4设命题p：x0，+），ex1，则p是（）Ax00，+），Bx0，+），ex1Cx00，+），Dx0，+），ex1【考点】命题的否定【分析】利用全称命题的否定是特
9、称命题，可以求出p【解答】解：因为命题p是全称命题，所以利用全称命题的否定是特称命题可得：p：x00，+），故选：C5如果，那么（）AcbaBcabCabcDacb【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a=21.22，1，c=2=log23（1，2）acb故选：D6由一个正方体截去一个三棱锥所得的几何体的直观图如图所示，则该几何体的三视图正确的是（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等依此画出该几何体的三视图【解答】解：根据三视图的画法，可得俯视图、侧视图，故选D7已知函数，点
10、A（m，n），B（m+，n）（|n|1）都在曲线y=f（x）上，且线段AB与曲线y=f（x）有五个公共点，则的值是（）A4B2CD【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义【分析】由题意，2T=，利用周期公式可得结论【解答】解：由题意，2T=，T=，=4，故选A8某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛该校高一年级有1，2，3，4四个班参加了比赛，其中有两个班获奖比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”已知这四人中有且只有两人的说法是
11、正确的，则这两人是（）A乙，丁B甲，丙C甲，丁D乙，丙【考点】进行简单的合情推理【分析】根据题意，假设乙的说法是正确的，分析可得丁也是正确的，那么甲丙的说法都是错误的，分析可得乙的说法相矛盾，即可得假设乙的说法是正确是错误的，从而可得丁的说法也是错误的，从而可得说法正确的是甲、丙，即可得答案【解答】解：根据题意，由于甲乙丙丁四人中有且只有两人的说法是正确的，假设乙的说法是正确的，则丁也是正确的，那么甲丙的说法都是错误的，如果丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”是错误的，那么1班、4班都获奖或1班、4班都没有获奖，与乙的说法矛盾，故乙的说法是错误，则丁同学说：“乙说得对”也是错误的；故说
12、法正确的是甲、丙，故选：B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9在复平面内，复数z=12i对应的点到原点的距离是【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的几何意义、两点之间的距离公式即可得出【解答】解：复数z=12i对应的点（1，2）到原点的距离d=故答案：10抛物线y2=2x的准线方程是【考点】抛物线的简单性质【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案【解答】解：抛物线y2=2x，p=1，准线方程是x=故答案为：11设a+b=M（a0，b0），M为常数，且ab的最大值为2，则M等于2【考点】基本不等式【分析】由基本不等式，ab（）2=可求ab的最大值，结合
13、已知即可求解M【解答】解：a+b=M（a0，b0），由基本不等式可得，ab（）2=，ab的最大值为2，=2，M0，M=2，故答案为：12如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，AD=2，BC=CD=1，P是AB的中点，则=1【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得BCD为等腰直角三角形，求得BD的长，运用中点的向量表示和向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值【解答】解：在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，AD=2，BC=CD=1，可得BCD为等腰直角三角形，则BD=，且P是AB的中点，可得=（+），=（+）（）=（22）= （）222=1故答案
14、为：113已知点A（1，0），B（3，0），若直线y=kx+1上存在点P，满足PAPB，则k的取值范围是【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】以AB为直径圆的方程为：（x1）（x3）+y2=0，把y=kx+1代入上述方程可得：（1+k2）x2+（2k4）x+4=0，根据直线y=kx+1上存在点P，满足PAPB，可得0，解出即可得出【解答】解：以AB为直径圆的方程为：（x1）（x3）+y2=0，把y=kx+1代入上述方程可得：（1+k2）x2+（2k4）x+4=0，直线y=kx+1上存在点P，满足PAPB，=（2k4）216（1+k2）0，化为：3k2+4k0解得0，则k的取值范围是故
15、答案为：14已知函数（1）若a=0，x0，4，则f（x）的值域是1，1；（2）若f（x）恰有三个零点，则实数a的取值范围是（，0）【考点】函数零点的判定定理；函数的值【分析】（1）求出f（x）在4，4上的单调性，利用单调性求出最值即可得出值域；（2）对x讨论，分别求出f（x）的零点，令其零点分别在对应的定义域上即可【解答】解：（1）a=0时，f（x）=，f（x）在0，1上单调递减，在（1，4上单调递增，f（0）=0，f（1）=1，f（4）=1，f（x）在0，1上的值域是1，0，在（1，4上的值域是（0，1，f（x）在0，4上的值域是1，1（2）当x1时，令f（x）=0得x=2a或x=a，当x1
16、时，令f（x）=0得=1a，x=（1a）2（1a1），f（x）恰好有三个解，解得a0故答案为：1，1；（，0）三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15在ABC中，角A，B，C对应的边长分别是a，b，c，且，c=4（）若，求a；（）若ABC的面积等于，求a，b【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）由已知及正弦定理即可计算得解a的值（）由已知及三角形面积公式可求ab=16，利用余弦定理可得，16=a2+b2ab，联立即可解得a，b的值【解答】（本小题共13分）解：（）由正弦定理可知：，从而求得（）由ABC的面积等于，可知，从而ab=16，由余弦定理c2=a2+b22a
17、bcosC可得，16=a2+b2ab，联立得a=b=416已知an是各项均为正数的等比数列，a11=8，设bn=log2an，且b4=17（）求证：数列bn是以2为公差的等差数列；（）设数列bn的前n项和为Sn，求Sn的最大值【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（）利用等比数列以及对数的运算法则，转化证明数列bn是以2为公差的等差数列；（）求出数列的和，利用二次函数的性质求解最大值即可【解答】（本小题共13分）解：（）证明：设等比数列an的公比为q，则bn+1bn=log2an+1log2an=log2q，因此数列bn是等差数列又b11=log2a11=3，b4=17，又等差数列bn的公差
18、，即bn=252n即数列bn是以2为公差的等差数列（）设等差数列bn的前n项和为Sn，则n=（24n）n=（n12）2+144，于是当n=12时，Sn有最大值，最大值为14417如图1，平行四边形ABCD中，ACBC，BC=AC=1，现将DAC沿AC折起，得到三棱锥DABC（如图2），且DABC，点E为侧棱DC的中点（）求证：平面ABE平面DBC；（）求三棱锥EABC的体积；（）在ACB的角平分线上是否存在点F，使得DF平面ABE？若存在，求DF的长；若不存在，请说明理由【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（）证明AECD；结合ACBC，ADBC，
19、推出BC平面ACD得到AEBC；证明AE平面BCD，即可推出平面ABE平面BCD（）利用VEABC=VBACE，结合BC是三棱锥的高，求解（）取AB中点O，连接CO并延长至点F，使CO=OF，连接AF，DF，BF说明射线CO是角ACB的角分线正面OEDF，推出DF平面ABE然后最后求解DF即可【解答】（本小题共14分）解：（）证明：在平行四边形ABCD中，有AD=BC=AC，又因为E为侧棱DC的中点，所以AECD；又因为ACBC，ADBC，且ACAD=A，所以BC平面ACD又因为AE平面ACD，所以AEBC；因为BCCD=C，所以AE平面BCD，又因为AE平面ABE，所以平面ABE平面BCD（
20、）解：因为VEABC=VBACE，BC平面ACD，所以BC是三棱锥的高，故，又因为BC=1，所以，所以有（）解：取AB中点O，连接CO并延长至点F，使CO=OF，连接AF，DF，BF因为BC=AC，所以射线CO是角ACB的角分线又因为点E是的CD中点，所以OEDF，因为OE平面ABE，DF平面ABE，所以DF平面ABE因为AB、FC互相平分，故四边形ACBF为平行四边形，有BCAF又因为DABC，所以有AFAD，又因为AF=AD=1，故18某校学生营养餐由A和B两家配餐公司配送学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分根据收集的80份问卷的评
21、分，得到如图A公司满意度评分的频率分布直方图和如表B公司满意度评分的频数分布表：满意度评分分组频数50，60）260，70）870，80）1480，90）1490，1002（）根据A公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数；（）从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A公司评分的概率；（）请从统计角度，对A、B两家公司做出评价【考点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式【分析】（）设出中位数，根据频率分布直方图求出中位数的值即可；（）意度高于9的问卷共有6份，其中4份评价A公司，设为a1，a2，a3，a4，2份评价B公司，设为b1，b2，求出满足条件的个数
22、，求出满足条件的概率即可；（）根据A公司得分的中位数低于B公司得分的中位数，A公司得分的平均数数低于B公司得分的平均数，得出结论即可【解答】解：（）设A公司调查的40份问卷的中位数为x，则有0.01510+0.02510+0.03（x70）=0.5解得：x73.3所以，估计该公司满意度得分的中位数为73.3 （）满意度高于9的问卷共有6份，其中4份评价A公司，设为a1，a2，a3，a4，2份评价B公司，设为b1，b2从这6份问卷中随机取2份，所有可能的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，
23、b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2），共有15种其中2份问卷都评价A公司的有以下6种：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4）设两份问卷均是评价A公司为事件C，则有（）由所给两个公司的调查满意度得分知：A公司得分的中位数低于B公司得分的中位数，A公司得分集中在70，80）这组，而B公司得分集中在70，80）和80，90）两个组，A公司得分的平均数数低于B公司得分的平均数，A公司得分比较分散，而B公司得分相对集中，即A公司得分的方差高于B公司得分的方差19已知P（0，1）是椭圆
24、C： =1（ab0）上一点，点P到椭圆C的两个焦点的距离之和为2（）求椭圆C的方程；（）设A，B是椭圆C上异于点P的两点，直线PA与直线x=4交于点M，是否存在点A，使得SABP=？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由【考点】圆锥曲线的存在性问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系【分析】（）由椭圆C：过点P（0，1）可得b=1，然后求解a，即可求解椭圆的方程（）设A（m，n），直线PA的方程为：，求出M，通过等价于且点A在y轴的右侧，党的，求出A（，），可得结果【解答】（本小题共14分）解：（）由椭圆C：过点P（0，1）可得b=1，又点P到两焦点距离和为，可得，所以椭圆C的方程（）
25、设A（m，n），依题意得：直线PA的斜率存在，则直线PA的方程为：，令x=4，即M，又等价于且点A在y轴的右侧，从而，因为点A在y轴的右侧，所以，解得，由点A在椭圆上，解得：，于是存在点A（，），使得20已知函数，A（x1，m），B（x2，m）是曲线y=f（x）上两个不同的点（）求f（x）的单调区间，并写出实数m的取值范围；（）证明：x1+x20【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到m的范围即可；（）问题转化为证f（x1）f（x1），只需证（x1（1，0），令h（x）=（x1）e2x+x+10，则h（x）=（2x1）e2x+1
26、，根据函数的单调性证明即可【解答】解：f（x）的定义域为R（），由f（x）=0得，x=0，由f（x）0得，x0，由f（x）0得，x0，所以f（x）的单调增区间为（，0），单调减区间为（0，+），m的取值范围是（0，1）（） 由（）知，x1（1，0），要证x2x10，只需证f（x2）f（x1）因为f（x1）=f（x2）=m，所以只需证f（x1）f（x1），只需证，只需证（x1（1，0）令h（x）=（x1）e2x+x+10，则h（x）=（2x1）e2x+1，因为（h（x）=4xe2x0，所以h（x）在（1，0）上单调递减，所以h（x）h（0）=0，所以h（x）在（1，0）上单调递增，所以h（x）h（0）=0，所以，故x1+x202017年4月15日
