1、四川省成都外国语学校2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题 理（含解析）1. 设且，“z是纯虚数”是“”（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件条件D. 即非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义，结合“z是纯虚数”“”二者关系，即可求解.【详解】z纯虚数,则成立，当时，即，z不一定是纯虚数，“z是纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查纯虚数的特征，属于基础题.2. 随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题，某市创新性的采用“公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心”，既
2、吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理，计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统（等距）抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有5号23号和29号，则下面号码中可能被抽到的号码是（ ）A. 9B. 12C. 15D. 17【答案】D【解析】【分析】根据等距抽样的特点，求得抽样距离，即可列出抽取的号码，从而判断.【详解】由等距抽样的方法可知，23号和29号差6，则可以抽到5号，11号，17号，23号，29号，故选：D【点睛】本题考查系统抽样的特点，属基础题.3. 已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则A. ，B. ，C. ，
3、D. ，【答案】A【解析】【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解即可【详解】解：某7个数的平均数为，方差为，则这8个数的平均数为，方差为故选：【点睛】本题考查了平均数和方差的计算应用问题，属于基础题4. 命题“，使”的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定直接判定即可.【详解】命题“,使”的否定为“,”.故选：A【点睛】本题主要考查了全称命题的否定,属于基础题.5. 若复数z，则复数z在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】运用虚数单位的幂运算的性质和复数除法运
4、算法则化简复数z，最后进行判断即可.【详解】因为，所以复数z在复平面内对应的点在第四象限.故选：D【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了虚数单位的幂运算的性质，考查了复数对应点的特征，考查了数学运算能力.6. 执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据程序框图，顺着流程线依次代入循环结构，得到结果.【详解】第一次循环：，：第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，；第五次循环：，此时循环结束，可得.选A.【点睛】本题考查了循环结构，顺着结构图，依次写出循环，属于简单题型.7. 若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（ ）A. 9B.
5、4C. D. 【答案】A【解析】【分析】圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得的最小值【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，又，当且仅当，即时等号成立的最小值是9故选A【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得的关系，然后用“1”的代换法把凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值8. 若方程 有两个相异的实根，则实数k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得，曲线与直线有2个交点，数形结合求得k的范围.【详解】如图所示
6、，化简曲线得到，表示以为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为，过定点，设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为，当，直线与半圆有两个交点，AD与半圆相切时，解得，所以.故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.9. 已知函数，则( )A. B. eC. D. 1【答案】C【解析】【分析】先求导，再计算出，再求.【详解】由题得，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查导数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力，属基础题.10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线分别与两条渐近线交于、两点，若，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】易知，可得，再结
7、合双曲线的渐近线，可得为正三角形，且，从而可知为线段的中点.【详解】由，可知，则，因为双曲线的渐近线为，所以，故为正三角形，且，所以为的中位线，为线段的中点，即，故.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的性质、三角形的性质、平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.11. 已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，延长 交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由为等腰三角形，可知，可求出，设，结合椭圆的定义可求得，过点作轴的垂线，交轴于点，易知，可求出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程，进而可求出离心率.【详解】在直角三角形中，且，易知，
8、故等腰中，.设，则，由椭圆的定义知，则，解得，所以，过点作轴的垂线，交轴于点，易知，所以，故点的坐标为，将点的坐标代入椭圆方程得，解得，故.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的性质，考查离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12. 已知圆M:x2+(y1)2=1，圆N:x2+(y+1)2=1，直线l1l2分别过圆心MN，且l1与圆M相交于AB，l2与圆N相交于CD，P是椭圆上的任意一动点，则的最小值为（ ）A. B. C. 3D. 6【答案】D【解析】【分析】由已知分别为中点，且为椭圆的焦点，根据向量的加法以及数量积的运算公式，可得，而，结合基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，圆心
9、M(0，1)，N(0，1)即为椭圆的焦点.，同理，|PM|+|PN|=4，2()=16，当且仅当|PM|=|PN|=2时取等号.8，.故选:D.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其性质、圆的标准方程及其性质、向量的线性关系以及数量积的计算、基本不等式的应用，考查了推理能力和计算能力，属于较难题.二、填空题13. 某市有中外合资企业160家，私营企业320家，国有企业240家，其他性质的企业80家，为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这800家企业中抽取一个容量为的样本，已知从国有企业中抽取了12家，那么_.【答案】40【解析】【分析】由题意可知，计算结果.【详解】由题意可知，解得：.故答
10、案为：40【点睛】本题考查分层抽样，意在考查基本公式和基本计算能力，属于简单题型.14. 在区间上任取两个数，则函数无零点的概率为_【答案】【解析】【分析】，由无零点，可知，从而可得.作出不等式组对应的图形，结合几何概型的概率公式，可求出答案.【详解】由题意可知，又因为无零点，所以，故只需即可.作出不等式组对应的图形，如下图阴影部分，其中是边长为1的正方形，为的中点，所以，根据几何概型的概率公式可得，函数无零点的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查几何概型问题，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于中档题.15. 过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是_【答案】【解析】【
11、分析】由题意可知，该直线斜率存在，设直线与椭圆交于两点，进而分别将两点坐标代入椭圆方程并相减，再结合的中点为，可求出该直线的斜率，进而可求出直线方程.【详解】由题意知，该直线斜率存在，设直线与椭圆交于两点，斜率为，则，两式相减得，即，所以，所以所求直线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查“中点弦”问题，利用“点差法”是解决本题的常见方法，属于中档题.16. 若函数f（x），恰有2个零点，则实数的取值范围是_.【答案】，1）2e，+）【解析】【分析】分四种情况讨论当a0时，当0a2时，当a2时，当a2时，图象使得符合函数f（x）有两个零点【详解】当a0时，不满足题意，当0a2时，要使函数函数
12、f（x）恰有2个零点，即，当a2时，ex2=0，得到x=ln2满足x1，此时得到x=4，共有2个零点，满足题意，当a2时，a22a4，要使函数f（x）恰有2个零点，即ea0所以ae，综上所述：实数a的取值范围是，1）2e，+）故答案为：，1）2e，+）【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题三、解答题17. 已知，.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是充分条件，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将代入中的不等式，并解出该不等式，再解出中的不等式，由为真可知、均为真命题，再将两个不等式的解集
13、取交集即可得出实数的取值范围；（2）求出和中的取值范围，根据题中条件转化为两集合的包含关系，可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，中的不等式为，解得，即.解不等式，解得，即.因为为真，则、均为真命题，因此，的取值范围是；（2），解不等式，即，解得，即.所以，或，或.因为是充分条件，则或或，所以，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数，同时也考查了利用充分条件求参数，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.18. 某电动车售后服务调研小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶
14、里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求续驶里程在的车辆数；（2）求续驶里程的平均数；（3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在内的概率.【答案】（1）5辆；（2）170；（3）.【解析】【分析】（1）根据所有长方形面积之和为1，求得未知数，计算出区间长方形的面积之和即为概率，用此数据乘以样本容量即可；（2）用每个长方形的面积乘以所在区间底边中点值，再求和即可得到结果；（3）先计算出在中的车辆数量，再列举出所有的抽取可能性，找出满足题意的可能性，用古典概型的概率计算公式即可求得.【详解】由题意可知，故续驶
15、里程在的车辆数为：（2）由直方图可得：续航里程的平均数为：.（3）由（2）及题意可知，续驶里程在的车辆数为3，分别记为，续驶里程在的车辆数为2，分别记为，事件“其中恰有一辆汽车的续驶里程为”从该5辆汽车中随机抽取2辆，所有的可能如下：共10种情况，事件包含的可能有共 6种情况，则.【点睛】本题考查频率分布直方图中参数的计算，平均数的求解，涉及古典概型概率的计算，属综合基础题.19. 已知.（1）若，求函数的单调递增区间；（2）若，且函数在区间上单调递减，求的值.【答案】（1）单调递增区间为（2）【解析】【分析】(1)求导分析函数单调性即可.(2)由题可知在区间上恒成立可得,即可得再结合即可.【
16、详解】解：（1）由,得函数的单调递增区间为.（2）若函数在区间上单调递减,则,则,因为,所以,又,所以.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间问题,同时也考查了利用函数的单调区间求解参数范围的问题,需要利用恒成立问题求最值,属于基础题.20. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示：第x天14916253649高度y/cm0479111213作出这组数的散点图如下(1)请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归
17、方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第144天这株幼苗的高度(结果保留1位小数).附：，参考数据：1402856283【答案】(1) 更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型；(2) ；预测第144天幼苗的高度大约为24.9cm.【解析】【分析】（1）根据散点图，可直接判断出结果；（2）先令，根据题中数据，得到与的数据对，根据新的数据对，求出，再由最小二乘法求出，即可得出回归方程，从而可求出预测值.【详解】解：(1)根据散点图，更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型； (2)令，则构造新的成对数据，如下表所示：x
18、149162536491234567y0479111213容易计算，.通过上表计算可得：因此 回归直线过点(，)，故y关于的回归直线方程为 从而可得：y关于x的回归方程为令x=144，则， 所以预测第144天幼苗的高度大约为24.9cm.【点睛】本题主要考查非线性回归方程，先将问题转化为线性回归方程，根据最小二乘法求出参数的估计值，即可得出结果，属于常考题型.21. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴中，两个坐标系取相等的长度单位，圆的方程为，射线的极坐标方程为.（1）求曲线和的极坐标方程；（2）当时，若射线与曲线和圆分别交于异于点的、两点，且，求的面
19、积.【答案】（1）：，：；（2）【解析】【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再表示成极坐标方程即得，由，代入圆的普通方程，整理即得极坐标方程；（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得。【详解】（1）曲线的普通方程为：，又，代入：，曲线的极坐标方程：，曲线的极坐标方程：.（2）已知，且，解得：，.点到的距离.的面积为：.【点睛】本题考查参数方程，普通方程和极坐标方程间的互化，通过极径的几何意义最终求三角形面积，是常考题型。22. 己知椭圆上动点，点为原点.（1）若，求证：为定值；（2）点，若，求证：直线过定点；（3）若，求证：直线为定圆的切线.【答案】（1）；（2）证明见解析；（
20、3）证明见解析【解析】【分析】（1）设，可求得，进而由在椭圆上，代入椭圆方程并整理可得，进而由，整理可得为定值；（2）易知，直线的斜率存在，设其方程为，与椭圆方程联立并消去，得到关于的一元二次方程，由，且直线的斜率均存在，可得到，将其展开并结合韦达定理，可用表示，进而可知直线过定点；（3）当斜率都存在时，设出两直线的方程，分别与椭圆方程联立，可得到、的表达式，进而可设到直线的距离为，则，整理可得，即到直线的距离为定值；当的斜率有一个不存在时，可求得直线的方程，进而可求出圆心到直线的距离也为相同定值.【详解】证明：（1）由题意，设，则，由在椭圆上，则，代入得，整理得，因为，所以，则，定值；（2）易知，直线的斜率存在，设其方程为，联立，消去得，则，由，且直线的斜率均存在，整理得，因为，所以，整理得，所以，整理得，即，所以，或，因为，所以，所以直线恒过定点；（3）当斜率都存在时，设方程为，则方程为，联立，可得，所以，同理可得，设到直线的距离为，即为斜边上的高，则，故当斜率都存在时，到直线的距离为定值.当的斜率有一个不存在时，此时直线为连接长轴和短轴端点的一条直线，方程为或，点到直线的距离为.综上，原点到直线的距离为定值，即直线为定圆的切线.【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查垂直直线的性质，考查直线过定点问题，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.
