1、课时作业(四十五)1已知AB(2,4,5)，CD(3，x，y)，若ABCD，则()Ax6，y15 Bx3，y152Cx3，y15 Dx6，y152答案 D解析 ABCD，32x4y5，x6，y152.2已知 A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面 ABC 的一个单位法向量是()A(33，33，33)B(33，33，33)C(33，33，33)D(33，33，33)答案 D解析 AB(1,1,0)，AC(1,0,1)，设平面 ABC 的一个法向量 n(x，y，z)，xy0 xz0，令 x1，则 y1，z1，n(1,1,1)，单位法向量为：n|n|(33，33，33)3设点
2、C(2a1，a1,2)在点 P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1,4)确定的平面上，则 a 等于()A16 B4C2 D8答案 A解析 PA(1，3,2)，PB(6，1,4)根据共面向量定理，设PCxPAyPB(x、yR)，则(2a1，a1,2)x(1，3,2)y(6，1,4)(x6y，3xy,2x4y)，2a1x6y，a13xy，22x4y，解得 x7，y4，a16.4已知AB(1,5，2)，BC(3,1，z)，若ABBC，BP(x1，y，3)，且 BP平面 ABC，则实数 x，y，z 分别为()A.337，157，4 B.407，157，4C.407，2,4 D4，407，15答
3、案 B解析 ABBC，ABBC0，即 352z0，得 z4，又BP平面 ABC，BPAB，BPBC，BC(3,1,4)，则x15y60，3x1y120，解得x407，y157.5(2011中山模拟)ABC 的顶点分别为 A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则 AC 边上的高 BD 等于()A5 B.41C4 D2 5答案 A解析 设ADAC，D(x，y，z)，由ACBD0，得 45，BD(4，95，125)，|BD|5.6(2011江苏扬州)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别在 A1D、AC 上，且 A1E23A1D，AF13AC，则()AEF 至
4、多与 A1D、AC 之一垂直BEF 是 A1D，AC 的公垂线CEF 与 BD1 相交DEF 与 BD1 异面答案 B解析 设 AB1，以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DD1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系则 A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(13，0，13)，F(23，13，0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A1D(1,0，1)，AC(1,1,0)，EF(13，13，13)，BD1(1，1，1)，EF13BD1，A1DEFACEF0，从而 EFBD1，EFA1D，EFAC.7设平面 与向量 a(1
5、,2，4)垂直，平面 与向量 b(2,3,1)垂直，则平面 与 位置关系是_答案 垂直解析 由已知 a，b 分别是平面，的法向量ab2640，ab，.8若|a|17，b(1,2，2)，c(2,3,6)，且 ab，ac，则 a_.答案(185，2，15)或(185，2，15)解析 设 a(x，y，z)，ab，x2y2z0.ac，2x3y6z0.|a|17.x2y2z217.联立得 x18z，y10z，代入得 425z217，z15.a(185，2，15)或(185，2，15)9设 a(1,2,0)，b(1,0,1)，则“c(23，13，23)”是“ca，cb 且 c 为单位向量”的_(将正确的序
6、号填上)充要条件充分不必要条件必要不充分条件既非充分条件也非必要条件答案 解析 当 c(23，13，23)时，ca，cb 且 c 为单位向量，反之则不成立10棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，在棱 DD1 上是否存在一点 P 使 B1D平面 PAC?解析 以 D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，设存在点 P(0,0，z)，AP(a,0，z)，AC(a，a,0)，DB1(a，a，a)B1D平面 PAC，DB1AP0，DB1AC0.a2az0.za，即点 P 与 D1 重合存在一点 P，即点 P 与 D1 重合时，DB1平面 PAC.11.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中
7、，E 是棱 BC 的中点，试在棱 CC1上求一点 P，使得平面 A1B1P平面 C1DE.解析 如图所示，以 D 为原点，直线 DA、DC、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 1，CPa，则 P(0,1，a)、A1(1,0,1)、B1(1,1,1)、E(12，1,0)、C1(0,1,1)，A1B1(0,1,0)，A1P(1,1，a1)，DE(12，1,0)，DC1(0,1,1)设平面 A1B1P 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1)，则n1A1B10，n1A1P0即y10，x1y1a1z10.令 z11，得 x1a1，n1(a1,0,1)设平面 C1D
8、E 的一个法向量为 n2(x2，y2，z2)，则n2DE0，n2DC1012x2y20，y2z20.令 x22，y21，z21，n2(2,1，1)面 A1B1P面 C1DE，n1n202(a1)10，得 a12.当 P 为 C1C 的中点时，平面 A1B1P平面 C1DE.12如右图所示，正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1的中点求证：AB1平面 A1BD.解析 解法一 设平面 A1BD 内的任意一条直线 m 的方向向量为 m.由共面向量定理，则存在实数，使 mBA1BD.令BB1a，BCb，BAc，显然它们不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它们为
9、空间的一组基底，则BA1ac，BD12ab，AB1ac，mBA1BD(12)abc，AB1m(ac)(12)abc4(12)240.故AB1m，结论得证解法二 基向量的取法同上AB1BA1(ac)(ac)|a|2|c|20，AB1BD(ac)(12ab)12|a|2ab12acbc0，AB1BA1，AB1BD，即 AB1BA1，AB1BD，由直线和平面垂直的判定定理，知 AB1平面 A1BD.解法三 取 BC 的中点 O，连接 AO.ABC 为正三角形，AOBC.在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，平面 ABC平面 BCC1B1，AO平面 BCC1B1.取 B1C1 的中点 O1，以 O 为原
10、点，OB，OO1，OA的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示，则 B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)设平面 A1BD 的法向量为n(x，y，z)，BA1(1,2，3)，BD(2,1,0)则 nBA1，nBD，故nBA10，nBD0 x2y 3z0，2xy0，令 x1，则 y2，z 3，故 n(1,2，3)为平面 A1BD 的一个法向量，而AB1(1,2，3)，AB1n，即AB1n，AB1平面 A1BD.13.(2012西城区)如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE
11、 与平面 ABCD 所成角为 60.(1)求证：AC平面 BDE；(2)设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定 M 的位置，使得 AM平面 BEF，并证明你的结论解析(1)因为 DE平面 ABCD，所以 DEAC.因为 ABCD 是正方形，所以 ACBD，从而 AC平面 BDE.(2)因为 DA，DC，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系 Dxyz 如图所示因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 60，即DBE60，所以EDDB 3.因为正方形 ABCD 的边长为 3，所以 BD3 2，所以 DE3 6，AF 6.则 A(3,0,0)，F(3,0，3)，E(0,0,3 6)，B(3,3,
12、0)，C(0,3,0)，所以BF(0，3，6)，EF(3,0，2 6)，设平面 BEF 的法向量为 n(x，y，z)，则nBF0nEF0，即3y 6z03x2 6z0，令 z 6，则 n(4,2，6)点 M 是线段 BD 上一个动点，设 M(t，t,0)则AM(t3，t,0)，因为 AM平面 BEF，所以AMn0，即 4(t3)2t0，解得 t2.此时，点 M 为(2,2,0)，BM13BD，符合题意1.如右图所示，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，E、F 分别是 PC、PD 的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面 PAB；(2)求证：平面 PAD平面 PDC
13、.思路 建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明EFAB即可证明第(1)问，第(2)问根据向量的垂直关系证明线线垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直解析 以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线分别为 x轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如右图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E为(12，1，12)，F 为(0,1，12)，EF(12，0,0)，PB(1,0，1)，PD(0,2，1)，AP(0,0,1)，AD(0,2,0)，DC(1,0,0)，AB(1,0,0)(1)因为EF12AB，所以EFAB，即 EFAB.又
14、 AB平面 PAB，EF平面 PAB，所以 EF平面 PAB.(2)因为APDC(0,0,1)(1,0,0)0，ADDC(0,2,0)(1,0,0)0，所以APDC，ADDC，即 APDC，ADDC.又 APADA，AP平面 PAD，AD平面 PAD，所以 DC平面PAD.因为 DC平面 PDC，所以平面 PAD平面 PDC.2.(2009天津)如图，在五面体 ABCDEF 中，FA平面 ABCD，ADBCFE，ABAD，M 为 EC 的中点，AFABBCFE12AD.证明：平面 AMD平面 CDE.解析 方法一 因为 DCDE 且 M 为 CE 的中点，所以 DMCE.取 AD中点为 P，连
15、接 MP，则 MPCE.又 MPDMM，故 CE平面 AMD.而 CE平面 CDE，所以平面 AMD平面 CDE.方法二 如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点设AB1，依题意得 B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M(12，1，12)由AM(12，1，12)，CE(1,0,1)，AD(0,2,0)，可得CEAM0，CEAD0.因此，CEAM，CEAD.又 AMADA，故 CE平面 AMD.而 CE平面CDE，所以平面 AMD平面 CDE.3如下图，已知直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，AB1，BC2，CD1 3，过 A
16、 作 AECD，垂足为 E，G、F 分别为 AD、CE 的中点，现将ADE 沿 AE 折叠，使得 DEEC.(1)求证：BC平面 CDE；(2)求证：FG平面 BCD；(3)在线段 AE 上找一点 R，使得平面 BDR平面 DCB，并说明理由解析(1)证明：由已知得 DEAE，DEEC，AEECE，AE、EC平面 ABCE，DE平面 ABCE，DEBC.又 BCCE，CEDEE，BC平面 CDE.(2)证明：取 AB 中点 H，连接 GH、FH，如右图，GHBD，FHBC，GH平面BCD，FH平面 BCD，平面 FHG平面 BCD，GF平面 BCD.(3)分析可知，R 点满足 3ARRE 时，
17、平面 BDR平面 DCB.证明：取 BD 中点 Q，连接 DR、BR、CR、CQ、RQ，如下图容易计算 CD2，BR 52，CR 132，DR 212，CQ 2，在BDR 中，BR 52，DR 212，BD2 2，可知 RQ 52，在CRQ 中，CQ2RQ2CR2，CQRQ.又在CBD 中，CDCB，Q 为 BD 中点，CQBD，CQ平面 BDR，平面 BDC平面 BDR.(说明：若设 ARx，通过分析，利用平面 BDC平面 BDR 推算出 x12亦可，不必再作证明)4如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，B1C1A1C1，AC1A1B，M、N 分别是 A1B1、AB 的中点(1)求证：
18、C1M平面 A1ABB1；(2)求证：A1BAM；(3)求证：平面 AMC1平面 NB1C；(4)求 A1B 与 B1C 所成的角思路(1)考虑使用线面垂直的判定定理；(2)利用三垂线定理或逆定理；(3)利用两平面平行的判定定理；(4)由于题目中未给出相关的线段长，因此该角一定是特殊角，从90，60，45，30入手考虑解析(1)方法一：由直棱柱性质可得 AA1平面 A1B1C1，又C1M平面 A1B1C1，AA1MC1.又C1A1C1B1，M 为 A1B1 中点，C1MA1B1.又 A1B1A1AA1，C1M平面 B1BA.方法二：由直棱柱性质得：面 AA1B1B平面 A1B1C1，交线为 A
19、1B1，又C1A1C1B1，M 为 A1B1 的中点，C1MA1B1 于 M.由面面垂直的性质定理可得 C1M面 AA1B1B.(2)由(1)知 C1M平面 A1ABB1，C1A 在侧面 AA1B1B 上的射影为 MA.AC1A1B，A1BAM.(3)方法一：由棱柱性质知 AA1B1B 是矩形，M、N 分别是 A1B1、AB 的中点，AN 綊 B1M.AMB1N 是平行四边形AMB1N.连接 MN，在矩形 AA1B1B 中有 MB1 綊 BN，BB1MN 是平行四边形BB1 綊 MN.又由 BB1 綊 CC1，知 MN 綊 CC1.MNCC1 是平行四边形C1M 綊 CN.又 C1MAMM，C
20、NNB1N，平面 AMC1平面 NB1C.方法二：由(1)知 C1M平面 AA1B1B，A1B平面 AA1B1B，C1MA1B.又A1BAC1，而 AC1C1MC1，A1B平面 AMC1.同理，可以证明 A1B平面 B1NC.平面 AMC1平面 B1NC.(4)方法一：由(2)知 A1BAM，又由已知 A1BAC1，AMAC1A，A1B平面 AMC1又平面 AMC1平面 NB1C.A1B平面 NB1C.又 B1C平面 NB1C，A1BB1C.A1B 与 B1C 所成的角为 90.方法二：由棱柱性质有面 ABC平面 AA1B1B，交线为 AB，又 CACBC1A1，N 为 AB 的中点，CNAB
21、.CN面 AA1B1B.CB1 在侧面 AA1B1B 上的射影是 NB1.又由(2)知 A1BAM，由(3)知 B1NAM，A1BB1N.由三垂线定理知 B1CA1B.A1B 与 B1C 所成的角为 90.1在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是底面 ABCD 的中心，M、N 分别是棱 DD1、D1C1 的中点，则直线 OM()A是 AC 和 MN 的公垂线B垂直于 AC，但不垂直于 MNC垂直于 MN，但不垂直于 ACD与 AC、MC 都不垂直答案 A解析 建立空间直角坐标系，通过向量运算可得2.(2008全国卷理 19 改编)如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA12A
22、B4，点 E 在 CC1 上，且 C1E3EC.证明：A1C平面 BED.解析 以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系 Dxyz.依题设 B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)DE(0,2,1)，DB(2,2,0)，A1C(2,2，4)，DA1(2,0,4)因为A1CDB0，A1CDE0，故 A1CBD，A1CDE.又 DBDED，所以 A1C平面 BED.3如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H 为 BC 的中点(1)求证：FH平面 EDB；(
23、2)求证：AC平面 EDB.解析(1)解法一 设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点，连EG，GH，又 H 为 BC 的中点，GH 綊12AB.又 EF 綊12AB，EF 綊 GH，四边形 EFHG 为平行四边形，EGFH.而 EG平面 EDB，FH平面 EDB.(2)由四边形 ABCD 为正方形，有 ABBC.又 EFAB，EFBC.而 EFFB，EF平面 BFC，EFFH，ABFH.又 BFFC，H 为 BC 的中点，FHBC.FH平面 ABCD.FHAC.又 FHEG，ACEG.又 ACBD，EGBDG，AC平面 EDB.4.如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形
24、 ABEF 所在平面互相垂直，ABE 是等腰直角三角形，ABAE，FAFE，AEF45.(1)求证：EF平面 BCE；(2)设线段 CD 的中点为 P，在直线 AE 上是否存在一点 M，使得PM平面 BCE？若存在，请指出点 M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由解析 解法一：(1)如图，因为平面 ABEF平面 ABCD，BC平面 ABCD，BCAB，平面 ABEF平面 ABCDAB，所以 BC平面ABEF.所以 BCEF.因为ABE 为等腰直角三角形，ABAE，所以AEB45.又因为AEF45，所以FEB454590，即 EFBE.因为 BC平面 BCE，BE平面 BCE，BCBE
25、B，所以 EF平面 BCE.(2)存在点 M，当 M 为线段 AE 的中点时，PM平面 BCE.取 BE 的中点 N，连接 CN、MN，则 MN 綊12AB 綊 PC，所以四边形 PMNC 为平行四边形，所以 PMCN.因为 CN 在平面 BCE 内，PM不在平面 BCE 内，所以 PM平面 BCE.解法二：(1)因为ABE 为等腰直角三角形，ABAE，所以 AEAB.又因为平面 ABEF平面 ABCD，AE平面 ABEF，平面 ABEF平面 ABCDAB.AE平面 ABCD，所以 AEAD.因此，AD、AB、AE 两两垂直以 A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系 Axyz.不妨设 AB
26、1，则 AE1，B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)因为 FAFE，AEF45，所以AFE90，从而 F0，12，12.所以EF0，12，12，BE(0，1,1)，BC(1,0,0).EFBE012120，EFBC0.所以 EFBE，EFBC.因为 BE平面 BCE，BC平面 BCE，BCBEB，所以 EF平面 BCE.(2)存在点 M，当 M 为 AE 中点时，PM平面 BCE.M0，0，12，P1，12，0.从而PM1，12，12，于是PMEF1，12，12 0，12，12 0.所以 PMFE，又 EF平面 BCE，直线 PM 不在平面 BCE 内，故PM
27、平面 BCE.5.已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，BAD90，2AB2ADCD，侧面 PAD 是正三角形且垂直于底面 ABCD，E 是 PC 的中点(1)求证：BE平面 PCD；(2)在 PB 上是否存在一点 F，使 AF平面 BDE?解析(1)证明 以 AD 的中点 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设 ABAD2，则有 B(1,2,0)，C(1,4,0)，D(1,0,0)，P(0,0，3)，E(12，2，32)，BE(32，0，32)，PC(1,4，3)，CD(0，4,0)，BEPC(32，0，32)(1,4，3)0，BECD(32，0，32)(0，4,
28、0)0.即 BEPC，BECD.又 PCCDC，BE平面 PCD.(2)解析 设平面 BDE 的法向量为 n(x，y，z)，nBE，nDE，nBE0，nDE0，32x 32 z012x2y 32 z0，令 y1，则 x1，z 3.平面 BDE 的一个法向量为(1，1，3)取 PB 中点 F，则有 F(12，1，32)又 A(1,0,0)，AF(12，1，32)，AFn(12，1，32)(1，1，3)121320，AFn.又 n 是平面 BDE 的法向量，且 AF平面 BDE，AF平面 BDE.故存在 PB 中点 F 使 AF平面 BDE.6已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC 为等腰直
29、角三角形，BAC90，且 ABAA1，D、E、F 分别为 B1A、C1C、BC 的中点(1)求证：DE平面 ABC；(2)求证：B1F平面 AEF.【证明】方法一 如图建立空间直角坐标系 Axyz，令 ABAA14，则 A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)(1)取 AB 中点为 N，则 N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，DE(2,4,0)，NC(2,4,0)，DENC，DENC，又 NC 在面 ABC 内，故 DE面 ABC.(2)B1F(2,2，4)，EF(2，2，2)，AF(2,2,0)B1FEF(2)22(2)(4
30、)(2)0，则B1FEF，B1FEF，B1FAF(2)222(4)00.B1FAF，即 B1FAF，又AFFEF，B1F平面 AEF.方法二(1)连接 A1B、A1E，并延长 A1E 交 AC 的延长线于点 P，连接 BP.由 E 为 C1C 的中点且 A1C1CP，可证 A1EEP.D、E 分别是 A1B、A1P 的中点，所以 DEBP.又BP平面 ABC，DE平面 ABC，DE平面 ABC.(2)ABC 为等腰三角形，F 为 BC 的中点，BCAF，又B1BAF，B1BBCB，AF平面 B1BF，而 B1F平面 B1BF，AFB1F.设 ABA1Aa，则 B1F232a2，EF234a2，B1E294a2，B1F2EF2B1E2，B1FFE.又 AFFEF，综上知 B1F平面 AEF.高考资源网w w 高 考 资源网
