1、阶段提升课 第二课 解三角形 思维导图构建网络 考点整合素养提升 题组训练一 由正、余弦定理解三角形 1.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos(B-).(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.6【解析】(1)在ABC中,由正弦定理 ,可得bsin A=asin B.又由bsin A=acos(B-),得asin B=acos(B-),即sin B=cos(B-),sin B=cos Bcos +sin Bsin ,得sin B=cos B,tan B=,又因为B(0,),可得B=.absin Asin B6666633
2、3(亦可由sin B=cos(B-),得cos(-B)=cos(B-),可得 -B=B-,解得B=.)626236(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=.由bsin A=acos(B-),可得sin A=.因为ac,故cos A=.因此sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=2cos2A-1=.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=.37637274 37174 31133 37272142.(2020宜春高一检测)如图,在平面四边形ABCD中,ABC=,BAC=DAC,CD=2AB
3、=4.(1)若AC=2 ,求ABC的面积;(2)若ADC=,求AC.3456【解析】(1)因为ABC=,AB=2,AC=2 ,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC,所以20=4+BC2+4BC ,所以BC2+2 BC-16=0,所以BC=2 或BC=-4 (舍去),SABC=ABBCsinABC=22 =2.345222221212222(2)设BAC=CAD=,则0 ,BCA=-,在ABC中,即 ,所以AC=.在ACD中,即 ,所以AC=.由 解得2sin=cos,又0 ,所以sin=,所以AC=2 .44ACABsin ABCsin BCAAC23sinsin()4
4、4 2sin()4 ACCDsin ADCsin CADAC4sinsin 62sin22sinsin()4 4552sin5【方法技巧】解三角形常见类型及解法 在三角形的六个元素中要知三个(除三角外)才能求解,常见类型及其解法见下表:已知条件 应用定理 一般解法 一边和二角(如a,B,C)正弦定理 由A+B+C=180,求A;由正弦定理求出b与c 两边和夹角(如a,b,C)余弦定理 由余弦定理求第三边c;由正弦定理求出一边所对的角,再由A+B+C=180求出另一角 已知条件 应用定理 一般解法 三边(a,b,c)余弦定理 由余弦定理求出A,B,再利用A+B+C=180求出C 两边和其中一边的
5、对角(如a,b,A)正弦定理 由正弦定理求出B,由A+B+C=180求出C;再利用正弦定理求出c边 题组训练二 三角形中的最值或取值范围 1.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求ABC的面积的最大值.【解析】(1)由正弦定理知,a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,得2Rsin A=2Rsin Bcos C+2Rsin Csin B,即sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又A=-(B+C),所以sin-(B+C)=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B,即
6、sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+sin Csin B,所以cos Bsin C=sin Csin B.因为sin C0,所以cos B=sin B,又B为三角形的内角,所以B=.4(2)SABC=acsin B=ac,由正弦定理得a=sin A=2 sin A,同理得c=2 sin C,所以SABC=sin A2 sin C=2 sin Asin C=2 sin Asin =1224bsin A2sin B222222 24 2223(A)4 332 2sin A(sin cosAcos sin A)44=2(sin Acos A+sin2A)=sin 2A+
7、1-cos 2A=sin +1,所以当2A-,即A=时,SABC有最大值 +1.2(2A)4423822.(2020开封高一检测)在锐角三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且 a-2csin A=0.(1)求角C的大小;(2)若c=2,求a+b的取值范围.3【解析】(1)由正弦定理得 sin A-2sin Csin A=0,因为ABC为锐角三角形,所以A ,C ,所以sin A0,所以 -2sin C=0,即sin C=,所以C=.3(0)2，3323(0)2，(2)由正弦定理得 ,所以a+b=(sin A+sin B)=sin A+sin(A+C)=(sin A+sin Ac
8、os C+cos Asin C)=.因为ABC为锐角三角形,C=,所以A ,所以A+,abc24 3sin Asin Bsin C3sin 34 334 334 334 3 33(sin Acos A)4sin(A)32263(,)6 2 2(,)633所以sin ,所以4sin (2 ,4,即a+b(2 ,4.3(A)(,162(A)633【方法技巧】三角形中最值与取值范围的解题技巧(1)利用正弦定理或余弦定理实现边角的转化,将问题转化为三角函数问题.(2)结合角的值或范围,求三角函数的最大值、最小值或值域.(3)三角形中常用的等式或不等式:A+B+C=;0A,B,C;a0,sin B0,所
9、以cos C=0,即C=,故该三角形为直角三角形.2【方法技巧】1.确定三角形的形状主要的途径及方法 途径一:化边为角 途径二:化角为边 主 要 方 法(1)通过正弦定理实现边角互化(2)通过余弦定理实现边角互化(3)通过三角变换找出角之间的关系(4)通过三角函数值的符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论 2.解三角形时的常用结论(1)在ABC中,ABabsin Asin Bcos Acos B.(2)在ABC中,A+B+C=,A+B=-C,则cos(A+B)=-cos C,sin(A+B)=sin C,sin =cos .ABC222 AB2C2 题组训练四 解三角形的实际应用 1.(202
10、0广州高一检测)如图,为了测量某湿地A,B两点之间的距离,观察者找 到在同一条直线上的三点C,D,E.从D点测得ADC=67.5,从C点测得 ACD=45,BCE=75,从E点测得BEC=60.若测得DC=2 ,CE=(单位:百米),则A,B两点之间的距离为()A.百米 B.2 百米 C.3百米 D.2 百米 32623【解析】选C.在ADC中,ACD=45,ADC=67.5,则DAC=180-45-67.5=67.5,所以AC=DC=2 .在BCE中,BCE=75,BEC=60,则EBC=180-75-60=45,由正弦定理 CEBCsin EBCsin BEC得BC=.在ABC中,AC=2
11、 ,BC=,ACB=180-ACD-BCE=60,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=9,所以AB=3.32CEsin BEC23sin EBC22332.如图所示,某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室,已知已有的两面墙的夹角为60(即C=60且两面墙的长度足够大),现有可供建造第三面围墙的材料6米(即AB长为6米),记ABC=.当=105时,求所建造的三角形露天活动室的面积.【解析】在ABC中,=,化简得AC=4 sin(米),BC=4 sin(+60)(米).当=105时,AC=4 sin=4 sin 105=4 cos 15(米),BC=4 sin(+60)=4 sin 165=4 sin 15(米),所以SABC=ACBCsin 60=3 (平方米).ACABsinsin 60BCsin60（）33333312333【方法技巧】应用正、余弦定理解三角形应用题的一般步骤(1)理解题意,分清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角形).(2)构建三角形,把实际问题中的长度、角度看作三角形相应的边和角,把实际问题转化为数学问题.(3)应用正弦定理、余弦定理等数学知识解三角形.(4)对所解的数学问题得出结论,给出实际问题的答案.
