1、第十节 变化率与导数、导数的计算 【知识梳理】1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x0处导数的定义 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 _=为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0)或 即f(x0)=_.00 x0f(xx)f(x)limx x0ylimx 00 x0f(xx)f(x)limx 0 x xy|,x0ylimx(2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点P(x0,y0)处的_(瞬时速度就是 位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为 _ 切线的斜率 y-y0=f(x0)(x-x0).(3)函数f
2、(x)的导函数 称函数f(x)=_为f(x)的导函数.x0f(xx)f(x)limx 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数)f(x)=_ f(x)=x(Q*)f(x)=_ f(x)=sinx f(x)=_ f(x)=cosx f(x)=_ 0 x-1 cosx-sinx 原函数 导函数 f(x)=ax(a0,且a1)f(x)=_ f(x)=ex f(x)=_ f(x)=logax(a0,且a1)f(x)=_ f(x)=lnx f(x)=_ axlna ex 1xln a1x3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)=_.(2)f(x)g(x)=_.(3)=_.f(x
3、)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)g(x)2f(x)g(x)f(x)g(x)(g x0).g(x)【特别提醒】1.函数在点P处的切线与过点P的切线的区别 曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是以点P(x0,y0)为切点,以f(x0)为斜率的直线,而曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P(x0,y0)不一定是切点.2.f(x)的符号及大小的意义 函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢,|f(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.【小题快练】链接教材 练一练 1.(选修1-1
4、P86习题3.2B组T1改编)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.-9 B.-3 C.9 D.15【解析】选C.因为y=x3+11,所以y=3x2,所以y|x=1=3,所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1).令x=0,得y=9.2.(选修1-1P85习题3.2A组T5改编)已知函数f(x)=10-4x+3x2,且f(a)=2,则a=.【解析】f(x)=-4+6x,所以f(a)=-4+6a=2,得a=1.答案:1 感悟考题 试一试 3.(2016威海模拟)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为 .【解析】因为y=
5、3x2-1,所以y=x3-x+3在点(1,3)处的切线的斜率k=2,所以切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.答案:2x-y+1=0 4.(2015天津高考)已知函数f(x)=axlnx,x(0,+),其中a为实数,f(x)为f(x)的导函数,若f(1)=3,则a的值为 .【解析】因为f(x)=a(1+lnx),所以f(1)=a=3.答案:3 5.(2015全国卷)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.【解析】y=1+,则曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线 斜率为k=y =1+1=2,故切线方程为y=2x-1.因为 y=
6、2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,联立 得ax2+ax+2=0,显然a0,所以由=a2-8a=0a=8.答案:8 1x0 x1|2y2x 1,yaxa2 x1,考向一 导数的计算【典例1】求下列函数的导数.(1)y=lnx+.(2)y=(2x2-1)(3x+1).(3)y=x-sin cos .(4)y=.1xx2x2xcos xe【解题导引】(1)直接求导.(2)(3)化简后再求导.(4)利用商的导数运算法则求解.【规范解答】(1)y=(2)因为y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,所以y=(6x3+2x2-3x-1)=(6x3)+(2x2)-(3x)-(1
7、)=18x2+4x-3.1ln xx()2111ln x.xxx()【一题多解】解答本题,还有以下方法:y=(2x2-1)(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)=4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.(3)因为y=x-sin cos=x-sinx,所以 =x-=1-cosx.x2x2121yxsin x2()1 sin x2()12(4)y=xcos xe()xx2xxcos x ecos x eesin xcos x.e【规律方法】导数计算的原则和方法(1)原则:先化简解析式,使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商,再求导.(2)方
8、法:连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;对数形式:先化为和、差的形式,再求导;根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.【变式训练】求下列函数的导数.(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).(2)y=(x2+2x-1)ex.【解析】(1)y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,所以y=3x2+12x+11.(2)y=(x2+2x-1)ex+(x2+2x-1)(ex)=(x2+4x+1)ex.【加固训练】求下列函数的导数.(1)y=exl
9、nx.(2)y=(3)y=11.1x1x3sin x.x1【解析】xxx111 ye ln xee(ln x).xx 221x1x1122y1x1x1x1x1x2 1x22y).1x1x1x因为，所以(332333223sin xx1sin x x1sin x3 y()x1x1cos x x13x sin x.x1 考向二 导数几何意义的应用【考情快递】命题方向命题视角与切线方程有关的问题求点的坐标或切线方程及曲线方程,主要考查导数的几何意义,属中档题求参数的值或取值范围以不等式、函数为载体,利用导数的几何意义求解参数值或取值范围,属较难题【考题例析】命题方向1:与切线方程有关的问题【典例2】
10、(1)(2015全国卷)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a=.(真题溯源:本题源自A版选修1-1P85习题3.2A组T6)(2)(2014江西高考)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 .【解题导引】(1)解决曲线的切线问题直接利用导数的几何意义求解.(2)由于在点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则在点P处的切线斜率为2.【规范解答】(1)因为f(x)=3ax2+1,所以图象在点(1,f(1)处的切线的斜率k=3a+1,所以切线方程为y-7=(3a+1)(x-2),即y=(3a+1)x-6a+5,又切
11、点为(1,f(1),所以f(1)=3a+1-6a+5=-3a+6,又f(1)=a+2,所以-3a+6=a+2,解得a=1.答案:1(2)设切点P的坐标为(x0,y0),因为y=lnx+1,所以切线的斜率为k=lnx0+1,由题意知k=2,得x0=e,代入曲线方程得y0=e.故点P的坐标是(e,e).答案:(e,e)【母题变式】1.在本例(2)中,若曲线y=xlnx上点P处的切线与直线x+y+1=0垂直,则该切线的方程为 .【解析】设切点为(x0,y0),因为y=lnx+1,由题意,得lnx0+1=1,所以lnx0=0,x0=1,即点P(1,0),所以切线方程为y=x-1,即x-y-1=0.答案
12、:x-y-1=0 2.试求本例(2)中曲线上与直线y=-x平行的切线方程.【解析】设切点为(x0,y0),因为y=lnx+1,所以切线的斜率为k=lnx0+1,由题意知k=-1,得 故所求的切线方程为 即:e2x+e2y+1=0.02212xy0ee，2221y(x),ee 命题方向2:求参数的值或取值范围【典例3】(2013全国卷)已知函数f(x)=若|f(x)|ax,则a的取值范围是()A.(-,0 B.(-,1 C.-2,1 D.-2,0 2x2x,x0,ln x1,x0,【解题导引】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象,利用|f(x)|在(0,0)处的切线为制定参数的标准.【规范解
13、答】选D.画出函数 y=|f(x)|的大致图象如图所示,当x0时,g(x)=|f(x)|=x2-2x,g(x)=2x-2,g(0)=-2,故a-2.当x0时,g(x)=|f(x)|=ln(x+1),g(x)=由于g(x)上任意点处切线的斜率都要大于a,所以a0,综上-2a0.1,x1【技法感悟】1.与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A(x0,y0)求斜率k,即求该点处的导数值,k=f(x0).(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1),即解方程f(x1)=k.(3)求过某点M(x1,y1)的切线方程时,需设出切点A(x0,f(x0),则切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0),再
14、把点M(x1,y1)代入切线方程,求x0.2.根据导数的几何意义求参数的值的思路 一般是利用切点P(x0,y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.【题组通关】1.(2016济宁模拟)曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为()A.y=3x-1 B.y=-3x-1 C.y=3x+1 D.y=-2x-1【解析】选A.由题意得y=(x+1)ex+2,则曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线的斜率为(0+1)e0+2=3,故曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为y+1=3x,即y=3x-1.2.(2016济南模拟)若曲线y=x2+ax+b在点P(0,b)处的切
15、线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1【解析】选A.y=2x+a,所以 所以 2 0ab,0b 10,a1,b1.1.(2016烟台模拟)直线y=x+b与曲线y=-x+lnx 相切,则b的值为()A.2 B.-1 C.-D.1 121212【解析】选B.设切点坐标为(x0,y0),则 得x0=1,切点坐标为 又切点 在直线y=x+b上,故 得b=-1.11y2x ，0 x x0011111y|2x2x2，由112(，)，112(，)1211b22，4.(2016长春模拟)若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为()A.1 B.C.D.2223【解析】选B.过点P作y=x-2的平行直线,且与曲线y=x2-lnx相切,设P(x0,-lnx0),则k=y =2x0-,所以2x0-=1,所以x0=1或x0=-(舍去).所以P(1,1),所以d=20 x0 xx|01x01x1222|1 12|2.11
