1、北京市东城区高考数学模拟试题 _班 姓名_ _号 1998.5一、选择题：本大题共15个小题,110小题各4分,1115小题各5分,共65分.题号123456789101112131415答案1. 设全集IR,Mx|lgx0,Nx|1,则(A)MN(B)MN(C)MN(D)MNR2. 过点(2,0)且与圆x2y21相切的直线斜率为(A)(B)(C)(D)3. 在等差数列an中,已知a32,则前5项的和为(A)10(B)16(C)20(D)324. 正方体的外接球的表面积为12,这个正方体的全面积是(A)6(B)18(C)24(D)485. 函数ycos2xsin2x的最小正周期是(A)(B)(
2、C)2(D)46. (2展开式中的常数项为(A)20(B)20(C)160(D)1607. 在极坐标系内过曲线的中心,且与极轴垂直的直线方程是(A)cos1(B)sin1(C)cos2(D)sin28. 在下列四个选项的每对图象中,有可能同时成立的是(A) y (B) y (C) y (D) y yax yaxb yax yaxb yax2bxc 1 yxa 0 x 0 x 0 x 0 x yxa ylogax9. 从5男4女中选4位代表,其中至少有2位男同志,且至少有1位女同志,然后分别到四个不同的工厂去调查,则不同的分派方式有(A)100种(B)400种(C)480种(D)2400种10.
3、 圆台上、下底面圆半径之比为1:2,体积为7,高为1,该圆台的侧面积为(A)3(B)2(C)6(D)411. 函数yarcsin(x2x)的值域为(A)(B)arcsin(C)arcsin,0(D)arcsin12. 曲线1关于点A(1,2)对称的曲线方程为(A)1(B)1(C)1(D)113. 已知直线m，l和平面,有以下四个条件：,；m,l，m,l;内有不共线的三点到的距离相等;m,l异面,且m,m,l,l. 其中能使的是(A)(B)(C)和(D)和14. a,bR,那么“a2b21”是“ab1ab”的(A)充要条件(B)必要不充分条件(C)充分不必要条件(D)既不充分也不必要条件15.
4、函数yf(x)在(0,2)上是减函数,且关于x的函数yf(x2)是偶函数,那么(A)f(0.5)f(2.5)f(3)(B)f(3)f(2.5)f(0.5)(C)f(3)f(0.5)f(2.5)(D)f(2.5)f(3)f(0.5)二、填空题:本大题共4个小题,每小题4分,共16分,请将最简结论填入题后括号内.16. 函数ylog2(x21)(x0)的反函数是_.17. 抛物线(y1)24x经过点P(m,3),则点P到抛物线准线的距离为_.18. AD是边长为2的正三角形ABC的BC边上的中线,若沿AD把ABC折成直二面角,则点B到AC的距离为_.19. 给出下列命题:存在实数x,使sinxco
5、sx1;存在实数x,使sinxcosx;ysin(2x)是偶函数;x是函数ysin(2x)的一条对称轴;若x,y是一象限的角,且xy,则tgxtgy.其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题:本大题共6个小题,共69分.解答要求写出文字说明,证明过程和推演步骤.20.(10分)求值:sin(6021.(11分)已知z是虚数,是实数,设zz0求复数的模及辐角主值.22.(12分)如图,四棱锥PABCD的底面为一直角梯形,BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面ABCD,E为PC中点. P证明:平面PDC平面PAD;证明:EB平面PAD;若PAAD,证明:BE平面PDC;
6、E设二面角EBDC的大小为,当PAADDC时,求tg的值. D C A B23.(12分)一船由甲地逆水匀速行驶到乙地,甲乙两地相距S(千米),水速为常量p(千米/时),船在静水中的最大速度为q(千米/时)(qp),已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为k.把全程燃料费用y(元)表示为静水速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少?24.已知数列an的前n项和为Sn,又有数列bn,它们满足关系:b1a1,对nN,有anSnn, bn1an1an,求证:bn是等比数列,并写出它的通项公式;
7、求an.25.(12分)中心在坐标原点的椭圆Q上有三个不同的点A,B,C,其中B点的横坐标为4,它们到焦点F(4,0)的距离|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,记线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T,若直线BT的斜率为,试确定椭圆Q的方程.北京市东城区高考数学模拟试题参考答案(1998.5)一.CBACB DADDC BABCD二.(16)y 2x1 (x0) (17)2 (18) 7 /2 (19)三.(20)原式 4 7 1021.设zr(cosisin),sin0 1 z2/zz3/|z|2r(cos3isin3)R 5 sin30,且sin0 即3k,k(kZ) 7 sin2 3
8、/2,cos21/2 9 z/zcos2isin21/2 3 i/2 故复数的模为1,辐角主值为2/3或4/3 1122.PA平面ABCD,CD平面ABCD,PACD,又CDAD,ADPAA, CD平面PAD, 平面PDC平面PAD. 3取CD中点F,连结EF,BF,EFPD,EF平面PAD;BFAD,BF平面PAD, 平面EBF平面PAD,EB平面PAD. 6平面EBF平面PAD,又CD平面PAD,CD平面EBF,CDEB PA平面ABCD,PAAB,BFAD,CDAD,CFBF. 又PAADBF,ABDFFC,PABBFC,PBCB,又E为PC中点,BEPC. 由,得BE平面PDC. P
9、9连结AC交BF于G,作GHBD于H,连结EG,EH, ABFC且ABFC,G为AC中点,又E是PC中点, E EGPA.PA平面ABCD,EG平面ABCD. 由三垂线定理知EHDB,EHG,不妨设AB2, D F C 则PAADDC4,EGPA/22,DF2,DB2 5 ,BG2, sinDBFHG/BGDF/DB,HGBGDF/DB2 5 /5, H G tgEG/HG 5 . 12 A B23.依题意知船由甲地匀速驶往乙地所用时间为s/(vp),全程燃料费用为ykv2s/(vp) 故所求函数及其定义域为ykv2s/(vp) v(p,q 4由题意知,k,v,s,p,q均为正数,故有: yk
10、s(vp)p2/(vp)2pks2p2p4ksp 当且仅当vps/(vp),即v2p时上式取等号. 7 若2pq,则当v2p时全程燃料费用y最小; 8 若2pq,当v(p,q时,有 ksv2/(vp)ksq2(qp)ks(qv)(pqpvqv)/(vp)(qp) 9 pvq2p,vp0,qp0,qv0 又pqpvqvpvpvqv(2pq)v0 ksv2/(vp)ksq2(qp),且仅当vq时等号成立,即当vq时,全程燃料费用最小. 11 当2pq时,船的实际前进速度应为p;当2pq时,船的实际前进速度应为qp.1224.n1时,a1S1,可得b1a11/2, 2 当n2时,由anSnn,an1
11、Sn1n1,两式相减得:2anan11 4 同理2an1an1 5 以上两式再相减得:2bn1bn,即bn1/bn1/2 7 由a2S22得a23/4,b21/4,于是qb2/b11/2 8 即bn是首项、公比均为1/2的等比数列,bn1/2n. 9 注:本题也可以先猜测,然后用数学归纳法证明.an(anan1)(an1an1)(an2an3).(a2a1)a1 bnbn1bn2.b2b1.11/2n. 11 an1 1225.依题意设椭圆方程为x2/a2y2/b21.且c4,A,B,C三点坐标分别为(x1,y1),(4,y0), (x2,y2),相应于F(4,0)的准线方程为xa2/c. 3 且|AF|CF|2|BF|,整理可得 x1x28,AC中点为(4,(y1y2)/2) 5 AC的垂直平分线方程为y(x4) 另y0,得T点横坐标x04. 7 由b2x12a2y12a2b2 b2x22a2y22a2b2 两式相减得a2(y22y12)b2(x22x12) 代入x0,整理得x04c2/a2. 9 点B(4,y0)在椭圆Q上,16/a2y02/b21 又kBT5/40 y0(b/a) a216 10 由kBT 得a2(a216)25b2 又a2b216,a225,b29,故所求椭圆方程为x2/25y2/91 12
