1、第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词 学 习 目 标核 心 素 养 1通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2掌握全称命题与特称命题真假性的判定(重点、难点)3能正确地对含有一个量词的命题进行否定(重点、易混点)1通过学习全称命题及特称命题的概念，培养数学抽象素养.2借助含有一个量词的命题的否定，提升逻辑推理素养.自 主 预 习 探 新 知 1全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做，并用符号“”表示(2)含有的命题叫做全称命题，通常将含有变量 x 的语句用 p(x)，q(x)，r(x)，表示，变量 x 的取
2、值范围用 M 表示，那么全称命题“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为 xM，p(x)全称量词全称量词2存在量词与特称命题(1)短 语“存 在 一 个”“至 少 有 一 个”在 逻 辑 中 通 常 叫做，并用符号“”表示(2)含有的命题，叫做特称命题，特称命题“存在 M 中的元素 x0，使 p(x0)成立”，可用符号简记为“”x0M，p(x0)存在量词存在量词思考：(1)“一元二次方程ax22x10有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式(2)“不等式(m1)x2(m1)x3(m1)0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式 提示(
3、1)是特称命题，可改写为“存在x0R，使ax 202x010”(2)是全称命题，可改写成：“xR，(m1)x2(m1)x3(m1)0”3含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称命题 p：xM，p(x)，它的否定p：；特称命题 p：x0M，p(x0)，它的否定p：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题xM，p(x)x0M，p(x0)1命题p：“存在实数m，使方程x2mx10有实数根”，则“p”形式的命题是()A存在实数m，使方程x2mx10无实根B不存在实数m，使方程x2mx10无实根C对任意的实数m，方程x2mx10无实根D至多有一个实数m
4、，使方程x2mx10有实根答案 C2下列四个命题中的真命题为()Ax0Z,14x00D 当xR时，x2x2x122740，故选D3(1)命题“有些长方形是正方形”中含有的量词是_，该量词是_量词(填“全称”或“存在”)，该命题是_命题(填“全称”或“特称”)(2)命题“负数没有对数”中省略的量词是_，这是一个_命题(填“全称”或“特称”)答案(1)有些 存在 特称(2)一切(所有的等)全称合 作 探 究 释 疑 难 全称(特称)命题的概念及真假判断【例1】指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假(1)xN,2x1是奇数；(2)存在一个x0R，使1x010；(3)能被5整除的整数末位
5、数是0；(4)有一个角，使sin 1.解(1)是全称命题因为xN,2x1都是奇数，所以该命题是真命题(2)是特称命题因为不存在x0R，使1x010成立，所以该命题是假命题(3)是全称命题因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题(4)是特称命题因为R，sin 1,1，所以该命题是假命题 1判断命题是全称命题还是特称命题的方法(1)分析命题中是否含有量词；(2)分析量词是全称量词还是存在量词；(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断 2全称命题与特称命题真假的判断方法(1)要判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到
6、一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题(2)要判定特称命题“x0M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题跟进训练1以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A锐角三角形的内角是锐角或钝角B至少有一个实数x，使x20C两个无理数的和必是无理数D存在一个负数x，使1x2B A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x0时，x20，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3(3)0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有 1x 2x1CxR，x2x1Dx2，
7、tan xsin xB 对于选项A，sin xcos x 2sinx4 2，此命题不成立；对于选项B，x22x1(x1)22，当x3时，(x1)220，此命题成立；对于选项C，x2x1x122340，x2x1对任意实数x都不成立，此命题不成立；对于选项D，当x2，时，tan x0，命题显然不成立故选B含有一个量词的命题的否定【例2】(1)命题“xR，x2x”的否定是()AxR，x2x BxR，x2xCxR，x2xDxR，x2x(2)写出下列命题的否定，并判断其真假：p：xR，x2x140；p：所有的正方形都是菱形；p：至少有一个实数x0，使x3010.思路点拨 先判定命题是全称命题还是特称命题
8、，再针对不同的形式加以否定(1)D 原命题的否定为xR，x2x，故选 D(2)解 p：x0R，x20 x014f(x)恒成立，只需a满足什么条件？若x0R使af(x)成立，只需a满足什么条件？提示：前者a满足af(x)max；后者a满足af(x)min.【例3】若命题“x1，)，x22ax2a”是真命题，求实数a的取值范围思路点拨 法一：令fxx22ax2对x1，fxa fxmina 法二：令fxx22ax2a对x1，fx0fxmin0 解 法一：由题意，x1，)，f(x)x22ax2a恒成立，所以f(x)(xa)22a2a可转化为x1，)，f(x)mina恒成立，而x1，)，f(x)min2
9、a2，a1，1a22a2，a0，a1，f10，即2a1或3a0成立”为真，试求参数a的取值范围解 由已知得p：x1,2，x22ax2a0成立，所以设f(x)x22ax2a，则 f10，f20，所以12a2a0，44a2a0，解得a3，因为p为假，所以a3，即a的取值范围是(3，)应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型 1全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决.2特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答
10、这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.课 堂 小 结 提 素 养 1判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断2对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等(4)无量词的全称命题要先
11、补回量词再否定3通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算1判断正误(1)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”()(2)同一个特称命题的表达形式是唯一的()(3)全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题()(4)特称命题的否定是对“量词”和“p(x)”的同时否定()(5)全称命题与其否定的真假可以相同()答案(1)(2)(3)(4)(5)2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是()A所有不能被2整除的数都是偶数B所有能被2整除的数都不是偶数C存在一个不能被2整除的数是偶数D
12、存在一个能被2整除的数不是偶数D 全称命题的否定为相应的特称命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定3命题p：x0R，x202x050是_(填“全称命题”或“特称命题”)，它是_命题(填“真”或“假”)，它的否定为p：_.特称命题 假 xR，x22x50 命题p：x0R，x202x050是特称命题因为x22x5(x1)240恒成立，所以命题p为假命题 命题p的否定为：xR，x22x50.4若命题“存在xR，使得x2mx2m30”为假命题，则实数m的取值范围是()A2,6B6，2C(2,6)D(6，2)A 该命题的否定“对任意的xR，都有x2mx2m30”为真命题，即m24(2m3)0，得m2,6点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
