1、1.3.2 函数的单调性和奇偶性【学习导航】学习要求：1、熟练掌握函数单调性，并理解复合函数的单调性问题。2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。3、学会对函数单调性，奇偶性的综合应用。【精典范例】一、利用函数单调性求函数最值例1、已知函数y=f(x)对任意x,yR均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x0时，f(x)0,f(1)= .(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；(2)求f(x)在3，3上的最大、小值。思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。解：(1)令x=y=0，f(0)=0，令x=y可得：f(x)= f(x)，在R上任取x10，所以f(x2) f(x1)=f(x
2、2)+f(x1)=f(x2x1).因为x10。又因为x0时f(x)0，所以f(x2x1)0，即f(x2)f(x1).由定义可知f(x)在R上是减函数.(2)因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在3,3上也是减函数.所以f(3)最大，f(3)最小。所以f(3)= f(3)=2即f(x)在3，3上最大值为2，最小值为2。二、复合函数单调性例2、求函数y=的单调区间，并对其中一种情况证明。思维分析：要求出y=的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断.解：设u=x22x3，则y=.因为u0，所以x22x30.所以x3或x1.因为y=在u0时是增函数，又当x3时，u是增函数，所以当
3、x3时，y是x的增函数。又当 x1时，u是减函数，所以当x1时，y是x的减函数。所以y=的单调递增区间是3,+ )，单调递减区间是(，1。证明略三、利用奇偶性，讨论方程根情况例3、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( )A.4B.2C.0D.不知解析式不能确定思维分析：因为f(x)是偶函数且图象与x轴有四个交点，这四个交点每两个关于原点一定是对称的，故x1+x2+x3+x4=0.答案：C四、利用奇偶性，单调性解不等式例4、设f(x)是定义在2，2上的偶函数，当x0时，f(x)单调递减，若f(1m)f(m)成立，求m的取值范围。思维分析：要求m的取
4、值范围，就要列关于m的不等式，由f(1m)0时的情况，从而使问题简单化。解：因为函数f(x)在2,2上是偶函数，则由f(1m)f(m)可得f(|1m|)f(|m|).又x0时，f(x)是单调减函数，所以。解之得：1m.追踪训练1、函数f(x)=的值域是( )A.，+)B.(，C.(0,+)D.1,+ )答案：A2、下列函数中，在区间(，0)上为增函数的是( )A.y=1+B.y=(x+1)2C.y=D.y=x3答案：D3、设f(x)在R上是偶函数，在区间(，0)上递增，且有f(2a2+a+1)f(3a22a+1)，求a的取值范围。答案：0a34、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们的定义域均为x|xR且x1，若f(x)+g(x)=，则f(x)=_,g(x)=_答案：f(x)=，g(x)=.5、函数f(x)=是定义在(1，1)上的奇函数，且f()=.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(1，1)上是增函数；(3)解不等式f(t1)+f(t)0；答案：(1)f(x)=(2)证明略 (3)0t
