1、课时素养评价八数 学 证 明 (20分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.论语子路篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是()A.类比推理B.归纳推理C.演绎推理D.一次三段论【解析】选C.这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次三段论,属演绎推理形式.2.诗歌是一种抒情言志的文学体裁,用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感,诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律,人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋,使抽象理性的数学问题
2、诗词化,比如诗歌:“十里长街闹盈盈,庆祝祖国万象新;佳节礼花破长空,长街灯笼胜繁星;七七数时余两个,八个一数恰为零;三数之时剩两盏,灯笼几盏放光明”,则此诗歌中长街上灯笼最少有_盏()A.70B.128C.140D.150【解析】选B.由七七数时余两个,可知灯笼数除以7余2,则A,C,D错.3.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.在数列an中,a1=1,an=(n2),由此归纳出an的通项公式B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质C.某校高二共有10个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班都超过50人D.两条直线平行,同旁内角互补,如果A和B是两条平行直线的同旁内角,
3、则A+B=180【解析】选D.A选项,在数列an中,a1=1,an=(n2)由此归纳出an的通项公式,属于归纳推理;B选项,由平面三角形的性质,推测空间四面体性质,属于类比推理;C选项,某校高二共有10个班,1班51人,2班53人,3班52人,由此推测各班都超过50人,也属于归纳推理;D选项,具有明显的大前提,小前提,结论,属于典型的演绎推理的三段论形式.综上,可知,只有D选项为演绎推理.4.“在ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,求证:ADE=ABC”中,包含了_层三段论推理()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.三角形的中位线平行于底边,(大前提)AD=DB,AE=CE,(小前提)所
4、以DEBC,(结论)两直线平行,同位角相等,(大前提)ADE与ABC为同位角,(小前提)所以ADE=ABC,(结论)故含有两层三段论推理.【补偿训练】 下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()y=cos x(xR)是三角函数;三角函数是周期函数;y=cos x(xR)是周期函数.A.B.C.D.【解析】选B.因为“三段论”的结构是“若S是P,Q是S,则Q是P”,所以该“三段论”应是“三角函数是周期函数,y=cos x(xR)是三角函数,y=cos x(xR)是周期函数.”二、填空题(每小题5分,共10分)5.若有一段演绎推理:“大前提:整数是自然数.小前提:-3是整数.结论:-3是自然数
5、.”这个推理显然错误,则推理错误的是_(填“大前提”“小前提”或“结论”).【解析】整数不全是自然数,还有负整数,故大前提错误.答案:大前提6.甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队,老师要安排他们四人的出场顺序,以下是他们四人的要求.甲:我不跑第一棒和第二棒;乙:我不跑第一棒和第四棒;丙:我也不跑第一棒和第四棒;丁:如果乙不跑第二棒,我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话,安排了一种合理的出场顺序,满足了他们的所有要求,据此我们可以断定,在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是_.【解析】由题意知乙、丙均不跑第一棒和第四棒,则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个,当丙跑第三棒时,乙只能跑第二
6、棒,这时丁是第一棒,甲是第四棒,符合题意,当乙跑第三棒时,丙只能跑第二棒,丁只能跑第四棒,甲跑第一棒,不符合题意,故跑第三棒的人是丙.答案:丙三、解答题(每小题10分,共20分)7.用三段论证明通项公式为an=cqn(c,q为常数,且cq0)的数列an是等比数列.【证明】等比数列中为常数(大前提),因为an=cqn(cq0),所以an-1=cqn-1,所以=q(常数)(小前提),所以数列an是等比数列(结论).8.已知f(x)=,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.【解析】因为f(x)=,所以f(0)+f(1)=+=+=.
7、同理可得f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=.猜想f(x)+f(1-x)=.设x1+x2=1,则f(x1)+f(x2)=+=. (15分钟30分)1.(5分)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A.是无限不循环小数,无限不循环小数是无理数,所以是无理数B.是无限不循环小数,是无理数,所以无限不循环小数是无理数C.无限不循环小数是无理数,是无理数,所以是无限不循环小数D.无限不循环小数是无理数,是无限不循环小数,所以是无理数【解析】选D.根据三段论推理的标准形式,逐一分析四个答案中的推导过程,可得出结论.对于A,小前提与大前提间逻辑错误,不符合演绎推理三段论形式;对
8、于B,大小前提及结论颠倒,不符合演绎推理三段论形式对于C,小前提和结论颠倒,不符合演绎推理三段论形式;对于D,符合演绎推理三段论形式且推理正确.2.(5分)中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图是利用算筹表示1-9的一种方法.则据此,3可表示为“”,26可表示为“=”,现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1-9这9个数字表示的两位数的个数为()A.9B.13C.16D.18【解析】选C.根据题意,现有6根算筹,可以表示的数字组合为1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、3,3、7,7、7;数字组合1、5,1、9
9、,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7中,每组可以表示2个两位数,则可以表示27=14个两位数;数字组合3、3,7、7,每组可以表示1个两位数,则可以表示21=2个两位数;则一共可以表示14+2=16个两位数.3.(5分)0,幂函数y=x在区间(0,+)上是减少的,y=x-2是幂函数,由“三段论”可得结论_.【解析】“三段论”的结论是蕴涵于前提下的特殊事实,结合大前提,小前提可得答案.答案:y=x-2在区间(0,+)上是减少的4.(5分)已知推理:“因为ABC的三边长依次为3,4,5,所以ABC是直角三角形”.若将其恢复成完整的三段论,则大前提是_.【解析】大前提:一条边的平方等于其他两条边
10、的平方和的三角形是直角三角形;小前提:ABC的三边长依次为3,4,5,满足32+42=52.结论:ABC是直角三角形.答案:一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形5.(10分)如图A,B,C,D为空间四点,在ABC中,AB=2,AC=BC=.等边三角形ADB以AB为轴旋转.(1)当平面ADB平面ABC时,求CD.(2)当ADB转动时,是否总有ABCD?证明你的结论.【解析】(1)如图,取AB的中点E,连接CE,DE.因为AC=BC=,AB=2,所以ABC为等腰直角三角形,所以CEAB.因为ADB是等边三角形,所以DEAB.又平面ADB平面ABC,且平面ADB平面ABC=AB,D
11、E平面ADB,所以DE平面ABC,所以DECE.由已知,得DE=AB=,CE=1.所以在RtCDE中,CD=2.(2)当ADB以AB为轴转动时,总有ABCD.证明如下:当D在平面ABC内时,因为BC=AC,AD=BD,所以C,D都在AB的垂直平分线上,所以ABCD.当D不在平面ABC内时,由(1)知,ABDE,ABCE,又DECE=E,所以AB平面CDE.又CD平面CDE,所以ABCD.综上所述,当ADB转动时,总有ABCD.1.中国古代近似计算方法源远流长,早在八世纪,我国著名数学家张遂在编制大衍历中发明了一种二次不等距插值算法:若函数y=f(x)在x=x1,x=x2, x=x3(x1x2x
12、3)处的函数值分别为y1=f(x1),y2=f(x2),y3=f(x3),则在区间x1,x3上f(x)可以用二次函数来近似代替:f(x)y1+k1(x-x1)+k2(x-x1)(x-x2),其中k1=,k=,k2=.若令x1=0,x2=,x3=,请依据上述算法,估算sin 的值是()A.B.C.D.【解析】选C.设y=f(x)=sin x,x1=0,x2=,x3=,则有y1=0,y2=1,y3=0,则k1=,k=-,k2=-,由f(x)y1+k1(x-x1)+k2(x-x1)(x-x2)=-x2+x,可得sin x-x2+xsin .2.如图所示,三棱锥A-BCD的三条侧棱AB,AC,AD两两
13、互相垂直,O为点A在底面BCD上的射影.(1)求证:O为BCD的垂心.(2)类比平面几何的勾股定理,猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系,并给出证明.【证明】(1)因为ABAD,ACAD,ABAC=A,所以AD平面ABC,所以ADBC,又因为AO平面BCD,所以AOBC,因为ADAO=A,所以BC平面AOD,所以BCDO,同理可证CDBO,所以O为BCD的垂心.(2)猜想:+=.证明:连接DO并延长交BC于E,连接AE,BO,CO,由(1)知AD平面ABC,AE平面ABC,所以ADAE,又AOED,所以AE2=EOED,=,所以=SBOCSBCD,同理可证:=SCODSBCD,=SBODSBCD.所以+=SBCD(SBOC+SCOD+SBOD)=SBCDSBCD=.
