1、导数与函数的单调性 (教案) 教学目标：(1)知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多观察、多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。教学方法：“诱思探究”法教学手段：多媒体课件等辅助手段教学过程：一、回顾与思考提问：1到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？（引导学生回答“定义法”，“图象法”。） 2比如，要
2、判断的单调性，如何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。）3还有没有其它方法？那如果遇到函数： 我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？（让学生短时间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。）4有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到我们今天要学的另外一种判断函数单调性的方法导数法。这时，老师板书课题导数与函数的单调性。以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：像上述这种三次函数，判断它的单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。二、观察与表达借助
3、多媒体，出示表格1（见下页），所给函数都是学生特别熟悉的一次函数（初中已经学过）。让学生自己填写表格中的相关内容，目的是让学生探索函数的单调性和导数正负的关系。老师问：通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？学生很自然的就回答出：当导数为正时，函数在整个定义域上是增加的，当导数为负时，函数在整个定义域上是减少的。（该回答很切入本节课的教学重点）。填表（表格1）函数解析式定义域图像(草) 单调性导数导数的正负紧接着，利用多媒体出示表格2，所给函数比较表格1中的稍微复杂，是学生高一所学的指数函数和对数函数，客观原因：由于我们的大多数学生对高一所学内容印象已经模糊，所以在上本节课之前老师引
4、导学生已经复习了相关知识点。估计学生也很容易地填写出表格中的相关内容。出示该表格的目的同表格1中的一样。通过这些函数再次让学生总结出函数的单调性与导数正负之间的关系，很自然地又切入本节课的教学重点。 填表（表格2）函数解析式定义域图像(草) 单调性导数导数的正负最后，借助多媒体又出示一个与前两个表格中单调区间所不同的函数，前两个表格中的函数单调区间都是在整个定义域上，而这个函数的单调区间是定义域内的某个区间，通过所给问题，让学生自己发现，结合前两个表格的总结，顺势总结出本节课的教学重点：（老师板书）如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是增加的。如果在某个区间内，函数的导数，则在这
5、个区间上，函数是减少的。得出结论后，老师要特别强调结论中的“某个区间”的含义，它必须是定义域的一个子集。通过结论，学生明白了用导数也可以判断一个函数的单调性。下面出示一个例题，目的是在应用结论的同时，让学生也体验一下用导数法求函数单调区间的步骤。例1：求函数 的递增区间与递减区间。解： 由导数公式表和求导法则可得 令 得：或 令 得：所以，函数 的递增区间为和；递减区间为。由例题的书写再结合本节课的教学重点，在老师的引导下让学生总结出用导数法求函数单调区间的一般步骤：(多媒体出示)（1） 求导数（2） 在函数的定义域内解不等式或（3） 根据（2）的结果确定函数的单调区间。练习（见课本页，叫学生
6、板演，目的是检测本节课学生理解情况）求下列函数的单调区间：（1） （2） 由本节课的教学重点我们知道了函数的单调性与导数的正负有密切关系，而函数的单调性决定了函数图像的大致形状，所以如果我们知道了一个函数它在某个区间的导数的正负时，我们能否把这个函数的大致图像画出来呢？下面我们看一个例题（多媒体出示）该例题的目的：是利用导数信息确定函数图像的大致形状例2 已知导函数的下列信息：试画出函数的大致形状该问题的解决方法是：老师引导，学生借助于本节课的教学重点很容易回答出函数图像在这个范围内是减少的，在x3或x0，则f(x)在(a，b)上是增函数；若f (x)0，得函数单调递增区间，令f (x)0，得
7、函数单调递减区间 下结论）变式1：求函数y=3x33x2的单调区间。（竞赛活动：将全班同学分成两大组指定分别用单调性的定义，和用求导数的方法解答，每组各推荐一位同学的答案进行投影。）求单调区间是导数的一个重要应用，也是本节重点，为此，设计了例1及三个变式：设计例1可引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤设计变式1及竞赛活动可以激发学生的学习热情，让他们学会比较,并深刻体验导数法的优越性。 巩固提高变式2：求函数y=3e x 3x单调区间。（学生上黑板解答）变式3：求函数 的单调区间。设计变式2且让学生上黑板解答可以规范解题格式，同时使学生了解用导数法可以求更复杂的函数的单调区间。设计变式3是可使学生体会考虑定义域的必要性例1及三个变式，依次涉及二次，三次函数，含指数的函数、反比例函数，这样一题多变，逐步深化，从而让学生领会：如何应用及哪类单调性问题该应用“导数法”解决。附件
