1、第四讲函数的奇偶性与周期性A组基础巩固一、单选题1函数f(x)x的图象关于(C)Ay轴对称B直线yx对称C坐标原点对称D直线yx对称解析f(x)xf(x)，且定义域为(，0)(0，)，f(x)为奇函数f(x)的图象关于坐标原点对称2(2021西藏山南二高模拟)下列函数中，是偶函数且在区间(0，)上单调递减的函数是(D)Ay2xByCy|x|Dyx21解析A选项，根据y2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B选项，由y的定义域为0，)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x(0，)时，y|x|x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项；由(x)21x21，可知该函数为偶函数，根据其图象可看
2、出该函数在(0，)上单调递减，可知D正确故选D.3已知函数f(x)，则下列结论正确的是(D)Af(x)是偶函数Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数Df(x)的值域为1，)解析因为yx41(x0)的值域为(1，)，且ycos 2x(x0)的值域为1,1，所以，f(x)的值域为(1，)1,11，)故选D.4已知函数yf(x)x是偶函数，且f(2)1，则f(2)(B)A1B5C1D5解析令g(x)f(x)x，由题意可得g(2)g(2)f(2)23.又g(2)f(2)2，故f(2)g(2)25.5(2019全国，6)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)(D)Aex1B
3、ex1Cex1Dex1解析f(x)是奇函数，f(x)f(x)当x0，f(x)ex1f(x)，即f(x)ex1.故选D.6已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0，f(x1)f(x1)0，且当x(1,0)时，f(x)log2(x)，则f(B)A1BCD1解析f(x)f(x)0，f(x)f(x)，函数f(x)是奇函数，f(x1)f(x1)0，f(x1)f(x1)，令xx1，则f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，ffff，又当x(1,0)时，f(x)log2(x)，flog21，f，故选B.7(2021甘肃天水一中阶段测试)已知
4、函数f(x)e|x|x2，(e为自然对数的底数)，且f(3a2)f(a1)，则实数a的取值范围是(C)A.BC.D解析显然f(x)为偶函数且在0，)上单调递增，f(3a2)f(a1)|3a2|a1|(3a2)2(a1)2a或a0f(4)Bf(2)0f(4)0Df(2)f(4)0f(2)，所以f(4)0f(2)，即f(2)0f(4)故选B、C、D.10(2021吉林长春质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x) f(2x)0，则下列结论正确的是(ABD)Af(x)的图象关于点(1,0)对称Bf(x2)f(x)Cf(3x)f(x1)Df(x2)f(x)解析本题考查函数图象的对称性对于A，由f
5、(x)f(2x)0得f(x)的图象关于点(1,0)对称，选项A正确；对于B，用x替换f(x)f(2x)0中的x，得f(x)f(2x)0，所以f(x2)f(x)f(x)，选项B正确；对于C，用x1替换f(x)f(2x)0中的x，得f(3x)f(x1)，选项C错误；对于D，用x2替换f(x2)f(x)中的x，得f(x2)f(x)，选项D正确三、填空题11若函数f(x1)为偶函数，则函数f(x)的图象的对称轴方程为 x1 .解析解法一：由已知得f(x1)f(x1)，所以yf(x)关于x1对称解法二：将yf(x1)右移1个单位，得到yf(x)图象，关于x1对称12设f(x)是周期为3的函数，当1x3时
6、，f(x)2x3，则f(8) 7 .2x0时，f(x) 2x9 .解析因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)f(2)2237.当2x0时，f(x)f(x3)2(x3)32x9.13已知定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)内单调递增，且f0，则f(x)0的解集为.解析由已知可构造yf(x)的示意图象，所以f(x)0的解集为.14(2018课标全国，16)已知函数f(x)ln(x)1，f(a)4，则f(a) 2 .解析本题考查函数的奇偶性易知f(x)的定义域为R，令g(x)ln(x)，则g(x)g(x)0，g(x)为奇函数，f(a)f(a)2，又f(a)4，f(a)2.B组能力提升1(多选题
7、)(2020陕西西安中学模拟改编)设f(x)x2g(x)，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可能为(BC)Ag(x)x3Bg(x)cos xCg(x)x21Dg(x)xex解析因为f(x)x2g(x)，且f(x)为偶函数，所以有(x)2g(x)x2g(x)，即g(x)g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B、C中的函数为偶函数，故选B、C.2(2020全国，10)设函数f(x)x3，则f(x)(A)A是奇函数，且在(0，)单调递增B是奇函数，且在(0，)单调递减C是偶函数，且在(0，)单调递增D是偶函数，且在(0，)单调递减解析本题考查函数的奇偶性与单调性由题意，知函数f
8、(x)的定义域为(，0)(0，)因为f(x)(x)3x3f(x)，所以函数f(x)为奇函数又易知yx3和y在(0，)都单调递增，所以函数f(x)x3在(0，)单调递增，故选A.3已知函数f(x)asin xb4，若f(lg 3)3，则f(C)A3B5C5D0解析由f(lg 3)asin(lg 3)b43得asin(lg 3)b1，而ff(lg 3)asin(lg 3)b4asin(lg 3)b4145.故选C.4(2021黑龙江哈尔滨六中高三月考)若f(x)exaex为奇函数，则f(x1)e的解集为(A)A(，2)B(，1)C(2，)D(1，)解析f(x)exaex为奇函数，f(0)0，即f(
9、0)1a0.则a1，即f(x)exex，则函数f(x)在(，)上为增函数，又f(1)e，则不等式f(x1)e等价于f(x1)f(1)，即x11，解得x2，即不等式的解集为(，2)故选A.5(2021长春市质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为(B)A6B7C8D9解析因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0x2时，f(x)x3xx(x1)(x1)，所以当0x2时，f(x)0有两个根，即x10，x21.由周期函数的性质知，当2x4时，f(x)0有两个根，即x32，x43；当4x6时，f(x)0有三个根，即x54，x65，x76，故f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为7.
