1、第2课时 椭圆标准方程及性质的应用内 容 标 准学 科 素 养1.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合思想2.了解椭圆的简单应用3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.利用直观想象发展逻辑推理提高数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 点与椭圆的位置关系思考并完成以下问题点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示：三种已知点 P(x0，y0)，圆 C：(xa)2(yb)2r2(r0)点 P 在圆上(x0a)2(y0b)2r2，点 P 在圆内(x0a)2(y0b)2r2.判断下列各点与椭圆x24 y231 的位置
2、关系：P11，32；P21，34；P3(1,2)；P41，23.提示：直线 x1 与椭圆的交点为1，32，323432，322332，点 P1 在椭圆上，P2、P4 在椭圆内，P3 在椭圆外，如图所示 知识梳理 点 P(x0，y0)与椭圆x2a2y2b21(ab0)的位置关系：点 P 在椭圆上x20a2y20b21；点 P 在椭圆内部x20a2y20b21.知识点二 直线与椭圆的位置关系思考并完成以下问题直线与圆的位置关系是怎样判断的？提示：几何方法：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r.则 dr直线与圆相离代数方法：直线方程与圆的方程联立方程组：0相交，0相切，b0)的位置关系：联立 y
3、kxm，x2a2y2b21，消 y 得一个关于 x 的一元二次方程.位置关系解的个数 的取值相交0相切0相离0两解一解无解(2)直 线 与 椭 圆 相 交 弦 的 长 度：l 1k2|x1 x2|1k2 x1x224x1x2 1 1k2 y1y224y1y2，其中 x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根(3)弦的中点 P0(x0，y0)与弦所在直线的斜率 k 的关系(点差法)设弦 AB 的端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2y21b21x22a2y22b21x21x22a2y21y22b20，即x1x2x1x2a2y1y2y1y2b20，即2x0 x1x2a22y0
4、kx1x2b20，即x0a2y0kb2 0.自我检测1已知点(3,2)在椭圆x2a2y2b21 上，则A点(3，2)不在椭圆上B点(3，2)不在椭圆上C点(3,2)在椭圆上D无法判断点(3，2)、(3，2)、(3,2)是否在椭圆上答案：C2直线 yx1 与椭圆 x2y221 的位置关系是()A相离 B相切C相交D无法确定答案：C3直线 yx1 被椭圆x24 y221 所截得的弦的中点坐标是()A.23，53B.43，73C.23，13D.132，172答案：C探究一 直线与椭圆的位置关系的判断例 1(1)已知直线 l 过点(3，1)，且椭圆 C：x225y2361，则直线 l 与椭圆 C 的公
5、共点的个数为()A1 B1 或 2C2 D0解析 因为直线过定点(3，1)且32251236 b0)，所以依题意有 c 2，a3，所以 b2a2c232(2)27，所以所求的椭圆方程为x29 y271.由 x29 y271，yxm得 16x218mx9m2630，由(18m)2416(9m263)0 得 m216，则4m4，所以当 m4,4时，直线与椭圆 C 有公共点因为点 P 是椭圆x29 y271 上一点所以|PF1|PF2|6.又因为F1PF290，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|28，由得|PF1|PF2|14，所以PF1F2 的面积 S12|PF1
6、|PF2|7.方法技巧 代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则 0直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；b0)的离心率为 22，若直线 ykx 与椭圆的一个交点的横坐标 x0b，则 k 的值为()A.22B 22C.12D12解析：由题意得直线 ykx 与椭圆的一个交点坐标为(b，kb)，ca 22，a2b2c2，b2a2k2b2b2 1，解得 k 22，故选 B.答案：B2在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0，2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x22 y21 有两个不同的交点
7、 P 和 Q，求 k 的取值范围解析：由已知条件知直线 l 的方程为 ykx 2，代入椭圆方程得x22(kx 2)21，整理得12k2 x22 2kx10，直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 8k2412k2 4k220，解得 k 22，所以 k 的取值范围为，22 22，.探究二 弦长与弦的中点问题例 2 椭圆x24 y231 的左、右焦点分别为 F1，F2，一条直线 l 经过点 F1与椭圆交于A，B 两点(1)求ABF2 的周长；(2)若 l 的倾斜角为4，求弦长|AB|及 AB 的中点坐标解析(1)因为椭圆的方程为x24 y231，所以 a2，b 3，c1.由椭圆的定义
8、，得|AF1|AF2|2a4，|BF1|BF2|2a4，又|AF1|BF1|AB|，所以ABF2 的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a8.(2)由(1)可知，F1(1,0)，因为 AB 的倾斜角为4，所以 AB 的斜率为 1.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，故直线 AB 的方程为 yx1.联立yx1，x24 y231，整理得 7y26y90，由根与系数的关系，得 y1y267，y1y297.x1x2y1y2287.由 弦 长 公 式，得|AB|1 1k2|y1 y2|1 1k2 y1y224y1y2 2672497 247.AB 的中点为x1x22，y1y22，即47，37.
9、方法技巧 1.直线被椭圆截得的弦长的求解思路(1)求两交点坐标，转化为两点间距离(2)用公式来求设直线斜率为 k，直线与椭圆两交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1k2|x1x2|1 1k2|y1y2|.注意：在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时易忽视对所化一元二次方程判别式大于 0 的讨论2椭圆中点弦问题的两种解法(1)一元二次方程根与系数的关系法：利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式来构造(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率，基本步骤如下：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中
10、点 M(x0，y0)，则有 2x0 x1x2,2y0y1y2，又 kABy1y2x1x2.因为 A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，所以x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式相减得b2(x21x22)a2(y21y22)0，即y21y22x21x22b2a2，所以 kABy1y2x1x2b2a2x1x2y1y2b2a2x0y0.跟踪探究 3.已知椭圆 C 的焦点分别为 F1(2 2，0)，F2(2 2，0)，长轴长为 6，设直线 yx2 交椭圆 C 于 A，B 两点(1)求线段 AB 的中点坐标；(2)求OAB 的面积解析：(1)设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21，由
11、题意 a3，c2 2，于是 b1，所以椭圆 C 的方程为x29 y21.由yx2，x29 y21，得 10 x236x270.因为该一元二次方程的 0，所以点 A，B 不同，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2185，y1y2(x12)(x22)25，故线段 AB 的中点坐标为95，15.(2)设点 O 到直线 yx2 的距离为 d，则 d|002|2 2.又由(1)知 x1x22710，所以|AB|1k2 x1x224x1x2 21852427106 35，故 SAOB12 26 35 3 65.探究三 与椭圆有关的最值问题例 3 已知椭圆 4x2y21 及直线 yxm.(1
12、)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解析(1)由4x2y21，yxm得 5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以 4m220(m21)0，解得 52 m 52.(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x22mxm210，所以 x1x22m5，x1x215(m21)，所以|AB|x1x22y1y22 2x1x22 2x1x224x1x224m225 45m21 25 108m2.所以当 m0 时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为 yx.方法技巧 椭圆中的最值与范围问题的常见求法
13、(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解题(2)代数法：若题目条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而确定参数的取值范围；利用基本不等式求出函数的取值范围；利用函数值域的求法，确定参数的取值范围跟踪探究 4.已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1 和 F2，离心率
14、 e22，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为 4 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 A，B 是直线 l：x2 2上的不同两点，若AF1 BF2 0，求|AB|的最小值解析：(1)由题意得 eca 22，a2b2c2，S122a2b4 2，解得a2，b 2，c 2.所以椭圆的标准方程为x24 y221.(2)由(1)知，F1，F2 的坐标分别为 F1(2，0)，F2(2，0)，设直线 l：x2 2上的不同两点 A，B 的坐标分别为 A(2 2，y1)，B(2 2，y2)，则AF1(3 2，y1)，BF2(2，y2)由AF1 BF2 0，得 y1y260，即 y26y1.不妨设 y10
15、，则|AB|y1y2|y16y12 6，当 y1 6，y2 6时取等号，所以|AB|的最小值是 2 6.课后小结(1)直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭圆方程得到的一元二次方程，利用“”进行判定求弦长时可利用根与系数的关系，中点弦问题考虑，使用“点差法”(2)最值问题转化为函数最值或利用数形结合思想素养培优1建立目标函数求椭圆中的最值与范围问题如图，点 A，B 分别是椭圆x236y2201 长轴的左、右端点，点 F是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，PAPF.(1)求点 P 的坐标；(2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆
16、上的点到点 M 的距离 d 的最小值解析：(1)由已知可得 A(6,0)，F(4,0)，设点 P 的坐标是(x，y)，则AP(x6，y)，FP(x4，y)由已知得x236y2201，x6x4y20.消去 y 得 2x29x180，解得 x32或 x6.由于 y0，只能 x32，于是 y52 3.故点 P 的坐标是32，52 3.(2)直线 AP 的方程是 x 3y60.设点 M 的坐标是(m,0)，则点 M 到直线 AP 的距离是|m6|2，于是|m6|2|m6|.又6m6，解得 m2.设椭圆上的点(x，y)到点 M 的距离为 d，有 d2(x2)2y2x24x42059x249x92215.
17、由于6x6，因此当 x92时，d 取最小值 15.即椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值为 15.2运用“设而不求”法研究直线和椭圆的位置关系已知椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，过点 A(a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为6，原点到该直线的距离为 32.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过 D(1,0)与椭圆分别交于点 E，F，若ED 2DF，求直线 EF的方程；(3)对于 D(1,0)，是否存在实数 k，使得直线 ykx2 分别交椭圆于点 P，Q，且|DP|DQ|？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由解析：(1)由ba 33，12ab12 32 a2b2，得 a
18、 3，b1，所以椭圆的方程是x23 y21.(2)设 EF：xmy1(m0)，代入x23 y21，得(m23)y22my20.设 E(x1，y1)，F(x2，y2)由ED 2DF，得 y12y2，由 y1y2y2 2mm23，y1y22y22 2m23得 2mm2321m23，m1 或 m1(舍去)，直线 EF 的方程为 xy1，即 xy10.(3)记 P(x1，y1)，Q(x2，y2)将 ykx2 代入x23 y21，得(3k21)x212kx90(*)，x1，x2 是此方程的两个相异实根设 PQ 的中点为 M，则 xMx1x226k3k21，yMkxM223k21.由|DP|DQ|，得 DMPQ，kDM yMxM123k216k3k2111k，3k24k10，得 k1 或 k13.但 k1，k13均使方程(*)没有两相异实根满足条件的 k 不存在04 课时 跟踪训练
