1、第二章函数第一节函数及其表示 (1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.(3)了解简单的分段函数,并能简单应用.1.函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系f:AB按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应按某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f:AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f:AB为从集合A到集合B的
2、一个映射记法y=f(x),xA对应f:AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:若两个函数的定义域相同,且对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示法:表示函数的常用方法:解析法、图象法、列表法.提醒判断两个函数是否相同,抓住两点:定义域是否相同;对应关系是否相同,其中解析式可以化简,但要注意化简过程的等价性.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定
3、义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.提醒一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.知识拓展1.常见的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=ax(a0且a1),y=sinx,y=cosx的定义域均为R.(5)y=tanx的定义域为xxR且xk+2,kZ.(6)函数f(x)=x0的定义域为x|xR,且x0.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c
4、(a0)的值域:当a0时,值域为4ac-b24a,+,当a0且a1)的值域是(0,+).(5)y=logax(a0且a1)的值域是R.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个交点.()(2)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一函数.()(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.()(4)若A=R,B=x|x0,f:xy=|x|,则对应关系f是从A到B的映射.()(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集.()(6)对于函数f:AB,其值域是集合B.()答案(1)(2)(3)(4)(5
5、)(6)2.若函数y=f(x)的定义域为M=x|-2x2,值域为N=y|0y2,则函数y=f(x)的图象可能是()答案B3.下面各组函数中为相等函数的是()A.f(x)=(x-1)2,g(x)=x-1B.f(x)=x-1,g(t)=t-1C.f(x)=x2-1,g(x)=x+1x-1D.f(x)=x,g(x)=x2x答案B4.函数f(x)=2x-1+1x-2的定义域为()A.0,2)B.(2,+)C.0,2)(2,+)D.(-,2)(2,+)答案C5.已知f12x-1=2x-5,且f(a)=6,则a等于()A.74B.-74C.43D.-43答案A6.若函数f(x)=x2+1,x1,2x,x1
6、,则f(f(3)=.答案139函数、映射概念的理解典例1(1)给出下列四个对应:A=R,B=R,对应关系f:xy,y=1x+1;A=a|12aN*,B=b|b=1n,nN*,对应关系f:ab,b=1a;A=x|x0,B=R,对应关系f:xy,y2=x,xA,yB;A=x|x是平面内的矩形,B=y|y是平面内的圆,对应关系f:每一个矩形都对应它的外接圆.其中是从A到B的映射的为()A.B.C.D.(2)下列函数中,与函数y=x+1是相等函数的是()A.y=(x+1)2B.y=3x3+1C.y=x2x+1D.y=x2+1答案(1)B(2)B解析(1)对于,当x=-1时,y的值不存在,所以不是从A到
7、B的映射;对于,A,B是两个集合,分别用列举法表述为A=2,4,6,B=1,12,13,14,由对应关系f:ab,b=1a知,是从A到B的映射;不是从A到B的映射,如A中的元素1对应B中两个元素1;是从A到B的映射.(2)对于A,函数y=(x+1)2的定义域为x|x-1,与函数y=x+1的定义域不同,不是相等函数;对于B,两个函数的定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C,函数y=x2x+1的定义域为x|x0,与函数y=x+1的定义域不同,不是相等函数;对于D,两个函数的定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B.方法技巧1.定义域和值域都相同的两个函数不一定是同一函数.2.判断一个从
8、集合A到集合B的对应是不是一个函数(映射)的依据可归纳为可以一对一,也可以多对一,但不能一对多.1-1下列对应关系:A=1,4,9,B=-3,-2,-1,1,2,3,f:xx的平方根;A=R,B=R,f:xx的倒数;A=R,B=R,f:xx2-2;A=-1,0,1,B=-1,0,1,f:xx2.其中是A到B的映射的是()A.B.C.D.答案C1-2下列四组函数中,表示相等函数的一组是()A.f(x)=|x|,g(x)=x2B.f(x)=x2,g(x)=(x)2C.f(x)=x2-1x-1,g(x)=x+1D.f(x)=x+1x-1,g(x)=x2-1答案A函数的定义域命题方向一具体函数的定义域
9、考法一已知函数解析式,求函数定义域典例2(1)函数f(x)=x+1+lg(6-3x)的定义域为()A.(-,2)B.(2,+)C.-1,2)D.-1,2(2)函数f(x)=4-|x|+lgx2-5x+6x-3的定义域为()A.(2,3)B.(2,4C.(2,3)(3,4D.(-1,3)(3,6答案(1)C(2)C解析(1)要使函数f(x)=x+1+lg(6-3x)有意义,则x+10,6-3x0,即-1x0,即|x|4,(x-3)(x-2)x-30,解得2x3或3x4,故f(x)的定义域为(2,3)(3,4.方法技巧(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的,则它的定义域为各基本初等
10、函数的定义域的交集.(2)复合函数的定义域:先由外层函数的定义域确定内层函数的值域,从而确定对应的内层函数的自变量的取值范围,同时还需要确定内层函数的定义域,两者取交集即可.提醒(1)求函数的定义域时,先不要化简函数解析式;(2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.2-1求下列函数的定义域.(1)f(x)=2x-1-1;(2)f(x)=-x2+4x+1x-2;(3)f(x)=x-120x+2.答案(1)(1,3(2)0,2)(2,4(3)-2,1212,+考法二已知函数定义域,求参数的取值范围典例3(1)(2019河北衡水联考)若函数y=mx-1mx2+4mx+3的定义域为R,则实数
11、m的取值范围是()A.0,34B.0,34C.0,34D.0,34(2)若函数f(x)=ax2+abx+b的定义域为x|1x2,则a+b的值为.答案(1)D(2)-92解析(1)要使函数的定义域为R,则mx2+4mx+30恒成立,当m=0时,显然满足条件;当m0时,由=(4m)2-4m30,得0m34,由得0m34.(2)函数f(x)=ax2+abx+b的定义域是不等式ax2+abx+b0的解集.由题意知不等式ax2+abx+b0的解集为x|1x2,所以a0恒成立,则a=0或a0,=(-4a)2-4a20,解得0a12.命题方向二抽象函数的定义域典例4(1)已知函数y=f(x)的定义域是-2,
12、3,则y=f(2x-1)的定义域是()A.0,52B.-1,4C.-12,2D.-5,5(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为-3,3,则函数y=f(x)的定义域为.答案(1)C(2)-1,2解析(1)函数y=f(x)的定义域为-2,3,-22x-13,即-12x2,即函数y=f(2x-1)的定义域为-12,2.(2)因为y=f(x2-1)的定义域为-3,3,所以x-3,3,x2-1-1,2,所以y=f(x)的定义域为-1,2.方法技巧求函数y=f(g(x)的定义域:若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式ag(x)gf(x)的x的值是.(2)已知fx+1x=x2+1x2,求f(x)
13、的解析式.(3)已知f2x+1=lgx,求f(x)的解析式.(4)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1.求f(x)的解析式.(5)已知函数f(x)满足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x)的解析式.答案(1)1;2解析(1)fg(1)=f(3)=1.当x=1时,fg(1)=1,gf(1)=g(1)=3,不满足fg(x)gf(x),当x=2时,fg(2)=f(2)=3,gf(2)=g(3)=1,满足fg(x)gf(x).当x=3时,fg(3)=f(1)=1,gf(3)=g(1)=3,不满足fg(x)gf(x).故满足fg(x)gf(x)的x的值是2.(2)(配
14、凑法)由于fx+1x=x2+1x2=x+1x2-2,所以f(x)=x2-2,x2或x-2,故f(x)的解析式是f(x)=x2-2,x2或x-2.(3)(换元法)令2x+1=t,得x=2t-1,代入得f(t)=lg2t-1.又x0,所以t1,故f(x)的解析式是f(x)=lg2x-1,x1.(4)(待定系数法)设f(x)=ax2+bx+c(a0),由f(0)=0,知c=0,则f(x)=ax2+bx,又由f(x+1)=f(x)+x+1,得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,所以2a+b=b+1,a+b=1,解得a=b=12
15、,所以f(x)=12x2+12x.(5)(解方程组法)由f(-x)+2f(x)=2x,得f(x)+2f(-x)=2-x,2-,得3f(x)=2x+1-2-x,即f(x)=2x+1-2-x3.所以f(x)的解析式是f(x)=2x+1-2-x3.方法技巧求函数解析式的常用方法(1)配凑法:由已知条件f(g(x)=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的式子,然后以x替代g(x),即得f(x)的解析式.(2)换元法:已知函数f(g(x)的解析式,求f(x)的解析式时可用换元法,即令g(x)=t,从中解出x,代入已知解析式进行换元,此时要注意新元的取值范围.(3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次
16、函数、二次函数),则可用待定系数法.(4)解方程组法:已知关于f(x)与f1x或f(-x)的等式,可根据已知条件构造出等式,组成方程组,通过解方程组求出f(x)的解析式.3-1(1)已知函数f(x),g(x)与x的关系如下表,x123g(x)132f(x)231则方程f(g(x)=x+1的解集是()A.1B.1,2C.1,2,3D.(2)已知f(x+1)=x+1,则函数f(x)的解析式为()A.f(x)=x2B.f(x)=x2+1(x1)C.f(x)=x2-2x+2(x1)D.f(x)=x2-2x(x1)(3)若g(x+2)=2x+3,则g(x)的表达式为()A.g(x)=2x+1B.g(x)
17、=2x-1C.g(x)=2x-3D.g(x)=2x+7(4)已知f(x)满足2f(x)+f1x=3x,求f(x)的解析式.(5)已知y=f(x)为一次函数,ff(x)=4x+3,求f(x)的解析式.答案(1)A(2)C(3)B解析(4)2f(x)+f1x=3x,将中的x换成1x,得2f1x+f(x)=3x,2-,得3f(x)=6x-3x,f(x)=2x-1x.(5)因为f(x)是一次函数,所以设f(x)=ax+b(a0),则ff(x)=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3,根据对应项系数相等得a2=4,ab+b=3,解得a=2,b=1或a=-2,b=-3.所以f(x)
18、的解析式为f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.分段函数命题方向一分段函数的最值问题典例6已知函数f(x)=x2-2ax+9,x1,x+4x+a,x1,若f(x)的最小值为f(1),则实数a的取值范围是.答案a2解析当x1时,f(x)=x+4x+a4+a,当且仅当x=2时,等号成立.当x1时,f(x)=x2-2ax+9,为二次函数,要想在x=1处取最小值,则函数图象的对称轴要满足x=a1,并且f(1)4+a,即1-2a+9a+4,解得a2.命题方向二通过分段函数的图象解题典例7已知函数f(x)=-4x-122+1,0x1,若f(a)=f(b)=f(c)且a,b,c互不相等,则a+b+c的取
19、值范围是.答案(2,2018)解析作出函数f(x)=-4x-122+1,0x1的大致图象,当0x1时,函数f(x)=-4x-122+1,其图象的对称轴为直线x=12,当f(x)=1时,由log2017x=1,计算出x=2017,若a,b,c互不相等,不妨设abc.因为f(a)=f(b)=f(c),所以由图象可知,0a12,12b1,1c2017,且a+b2=12,即a+b=1,所以a+b+c=1+c,又21+c2018,即2a+b+c2018,所以a+b+c的取值范围是(2,2018).命题方向三已知函数值,求参数的值(或取值范围)典例8设函数f(x)=x2+2x,xf(a-1),则实数a的取
20、值范围是.答案-1;-12,+规律总结分段函数问题的求解策略(1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.4-1(1)已知函数f(x)=-|x+1|+1,x0,-12x,x0,则f(x)的最大值是.(2)已知函数f(x)=2x,x0,ax,x0,若f(-1)+f(1)=2,则a=.(3)已知f(x)=x-3,x9,ff(x+4),x3,则f(f(1)-f(5)的值为()A.1B.2C.3D.-3
21、答案A7.已知函数f(x)=1x2+mx+m的定义域是R,则实数m的取值范围是()A.0m4B.0m4C.0m0),若f(f(-1)=18,则实数a的值是()A.0B.1C.2D.3答案C9.设函数f:RR满足f(0)=1,且对任意x,yR都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(2017)=()A.0B.1C.2017D.2018答案D令x=y=0,则f(1)=f(0)f(0)-f(0)-0+2=11-1-0+2=2,令y=0,则f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2,将f(0)=1,f(1)=2代入,可得f(x)=1+x,所以f(2017)=2018,故选D.10
22、.已知函数y=f(x-2)的定义域是0,4,则y=f(x+1)x-1的定义域是.答案-3,1)11.已知函数f(x)满足f(2x)=2f(x),且当1x2时,f(x)=x2,则f(3)=.答案92解析f(2x)=2f(x),且当1x0,4-2x0,解得x1,x2,即x(-,0)(1,2,故选B.3.已知函数f(x)=(a-1)x+4-2a,x1,1+log2x,x1,若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是()A.(1,2B.(-,2C.(0,2D.2,+)答案A当x1时,f(x)=1+log2x1;当x0,a-1+4-2a1,解得a(1,2.4.(2019衡阳模拟)已知函数f(x)=axx
23、-1,若f(x)+f1x=3,则f(x)+f(2-x)=.答案6解析f(x)=axx-1,f(x)+f1x=3,f(x)+f1x=axx-1+ax1x-1=axx-1-ax-1=a(x-1)x-1=3,解得a=3,f(x)=3xx-1,f(x)+f(2-x)=3xx-1+6-3x2-x-1=6(x-1)x-1=6.5.已知函数f(x)=2x+12x-1,则f12017+f22017+f20162017=.答案2016解析f(x)=2x+12x-1,f(x)+f(1-x)=2x+12x-1+2(1-x)+12(1-x)-1=2,f12017+f22017+f20162017=10082=2016.
