1、2023年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟卷数学（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1已知集合，则（）ABC（0，1）D2已知复数为纯虚数，则实数（）ABC2D3在正方形ABCD中，M是BC的中点若，则（）ABCD4已知，则a，b，c的大小关系是（）ABCD5端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当这个蛋黄的表面积是时，则该正四面体的高的最小值为（）A4B6C8D106现有一组数据0，l，2，3
2、，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于4的概率为（）ABCD7在棱长为3的正方体中，O为AC与BD的交点，P为上一点，且，则过A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为（）ABCD8不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上存在一点M，使过点M所作的圆的两条切线相互垂直，则点M的纵坐标为（）A1BCD10已知函数的部分图象如图所示，若将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
3、则的值可以是（）ABCD11大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程已知大衍数列满足，则（）ABCD数列的前2n项和的最小值为212已知抛物线的准线为，焦点为F，点是抛物线上的动点，直线的方程为，过点P分别作，垂足为A，垂足为B，则（）A点F到直线的距离为BC的最小值为1D的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知，则_14函数的图象在点处的切线方程是_15名老师带着名学生去参加数学建模比赛，先要选人站成一排拍照，且名老师同时参加拍照时两人不能相邻则名老师至少有人参加拍照的排列方法有_种
4、（用数字作答）16已知A，B是双曲线上的两个动点，动点P满足，O为坐标原点，直线OA与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在中，角 的对边分别是 ，(1)求C；(2)若，的面积是，求的周长18已知数列满足，(1)求数列的通项公式；(2)若，记为数列的前n项和，求，并证明：当时，19如图，四棱锥中，平面平面，为正三角形，底面为等腰梯形，/，(1)求证：平面；(2)若点为线段上靠近点的三等分点，求二面角的大小20为落实体育总局和教育部发布的关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见，某校组织
5、学生参加100米短跑训练在某次短跑测试中，抽取100名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩X服从正态分布，其中近似为女生短跑平均成绩，近似为样本方差，经计算得，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在以外的人数为Y，求附参考数据：，随机变量X服从正态分布，则，21已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，离心率为，B为椭圆C上一动点，面积的最大值为(1)求椭圆C的方程；(2)经过F且不垂直于坐标轴
6、的直线l与C交于M，N两点，x轴上点P满足，若，求的值22已知函数(1)当时，判断函数的单调性；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围1B【分析】分别化简集合，根据并集的定义求解.【详解】不等式的解集是集合又因为又，所以满足函数中的范围就是集合所以所以故选：B2D【分析】根据复数乘法计算方法化简复数，结合纯虚数的概念求值即可.【详解】，因为复数为纯虚数，所以，即.故选：D3C【分析】作图，根据图像和向量的关系，得到和，进而利用，可得答案.【详解】如图，且在正方形中，故选：C4C【分析】利用指数函数，对数函数单调性，找出中间值，使其和比较即可.【详解】根据指数函数单调性和值域，在上递减，结合指数函
7、数的值域可知，；根据对数函数的单调性，在上递增，则，在上递减，故，即，C选项正确.故选：C5B【分析】根据题意分析可知，当该正四面体的内切球的半径为时，该正四面体的高最小，再根据该正四面体积列式可求出结果.【详解】由球的表面积为，可知球的半径为，依题意可知，当该正四面体的内切球的半径为时，该正四面体的高最小，设该正四面体的棱长为，则高为，根据该正四面体积的可得，解得.所以该正四面体的高的最小值为.故选：B6D【分析】先得到删去的两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为4，从而得到要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4，利用列举法得到其情况，结合组合知识
8、求出这组数据随机删去两个数总共的情况，求出概率.【详解】0，l，2，3，4，5，6，7删去的两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为，所以要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4，有四种情况符合要求，将这组数据随机删去两个数，共有种情况所以将这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4的概率为.故选：D7D【分析】根据正方体的性质结合条件作出过A，P，O三点的平面截正方体所得截面，再求周长即得.【详解】因为，即，取，连接，则，又，所以，所以共面，即过 ， ，三点的正方体的截面为 ，由题可知，所以过A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为.故选：D.
9、8C【分析】分离参数，将变为，然后构造函数，即将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.【详解】由不等式对任意恒成立，此时 ，可得 恒成立，令，从而问题变为求函数的最小值或范围问题；令 ，则，当 时，当时，故，即，所以， ，当且仅当 时取等号，令，则，当 时，当时，故 ，且当时，也会取到正值，即在 时有根，即 等号成立，所以，则，故 ，故选：C【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解法一般是分离参数，构造函数，将恒成立问题转化为求函数最值或范围问题，解答的关键是在于将不等式或函数式进行合理的变式，这里需要根据式子的具体特点进行有针对性的变形，需要一定的技巧
10、.9AC【分析】首先可根据圆的方程得出圆心与半径，然后根据题意得出点、圆心以及两个切点构成正方形，最后根据以及两点间距离公式即可得出结果.【详解】化为标准方程为：，圆心，半径为，因为过点M所作的圆的两条切线相互垂直，所以点M、圆心以及两个切点构成正方形，因为M在直线上，所以可设，则，解得：或，所以或，故点M的纵坐标为1或.故选：AC.10AD【分析】根据函数图象可确定和最小正周期，由此可得，结合可求得，从而得到的解析式，根据可构造方程求得，由此可得可能的取值.【详解】由图象可知：，最小正周期，解得：，又，解得：，当时，；当时，.故选：AD.11ACD【分析】当时，,当时，,联立可得，利用累加法
11、可得，从而可求得，在逐项判断即可.【详解】令且，当时，；当时，由联立得.所以，累加可得.令(且为奇数)，得.当时满足上式，所以当为奇数时，.当为奇数时，所以，其中为偶数.所以，故C正确.所以，故A正确.当为偶数时，故B错误.因为，所以的前2n项和，令，因为数列是递增数列，所以的最小项为，故数列的前2n项和的最小值为2，故D正确.故选:ACD.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和12ABD【分析】对于A，用点到直线的距离公式即可判
12、断；对于B，利用抛物线的定义即可判断；对于C，利用基本不等式即可判断；对于D，利用抛物线的定义可得到，接着求出的最小值即可【详解】由抛物线的准线为可得抛物线方程为，焦点为，对于A，点F到直线的距离为，故A正确；对于B，因为在抛物线上，所以利用抛物线的定义可得，即，故B正确；对于C，因为在抛物线上，所以，所以，当且仅当时，取等号，故C错误；对于D，由抛物线的定义可得，故，当且仅当三点共线时，取等号，此时，由选项A可得点F到直线的距离为，故的最小值为，故D正确，故选：ABD13#【分析】利用已知等式可求得，由二倍角正切公式可求得结果.【详解】由得：，.故答案为：.14【分析】求导函数，可得切线斜率
13、，求出切点坐标，运用点斜式方程，即可求出函数的图象在点处的切线方程.【详解】 ， ，则，又，切点为，函数的图象在点处的切线方程是 即.故答案为：.15【分析】分两种情况讨论：若只有名老师参与拍照；若名老师都拍照.利用计数原理、插空法结合分类加法计数原理可求得结果.【详解】分以下两种情况讨论：若只有名老师参与拍照，则只选名学生拍照，此时共有种排列方法；若名老师都拍照，则只选名学生拍照，先将学生排序，然后将名老师插入名学生所形成的空位中，此时，共有种排列方法.综上所述，共有种排列方法.故答案为：.16【分析】设,根据得到，根据点,在双曲线上则，代入计算得，根据双曲线定义即可得到为定值.【详解】设,
14、则由,得，则，点,在双曲线上,，则，设分别为直线,的斜率,根据题意,可知,即，即在双曲线上,设该双曲线的左、右焦点分别为，由双曲线定义可知|为定值，该定值为.故答案为：.17(1).(2).【分析】（1）将化为，由余弦定理即可求得角C.（2）根据三角形面积求得，再利用余弦定理求得，即可求得答案.【详解】（1）由题意在中，即，故 ，由于，所以.（2）由题意的面积是，即 ，由，得，故的周长为.18(1)(2)【分析】(1)利用递推式相减得出，并验证首项符合通项，最后得出答案；(2)错位相减法求前n项和【详解】（1），则，-得 ，则，当n=1时，由得 ，.（2）易得，-得，故，当时，19(1)证明见
15、解析；(2)【分析】（1）先用几何关系证明，然后根据余弦定理求出，结合勾股定理可得，最后利用面面垂直的性质定理证明；（2）过作，垂足为，结合面面垂直的性质先说明可以在处为原点建系，然后利用空间向量求二面角的大小.【详解】（1）取中点，连接，根据梯形性质和可知，/，且，于是四边形为平行四边形，故，则为等边三角形，故，在中，由余弦定理，故，注意到，由勾股定理，即，由平面平面，平面平面，平面，根据面面垂直的性质定理可得，平面.（2）过作，垂足为，连接，由平面平面，平面平面，平面，根据面面垂直的性质定理，平面，为正三角形，故（三线合一），由和中位线性质，/，由（1）知，平面，故平面，于是两两垂直，故以
16、为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由（1）知，平面，又/轴，故可取为平面的法向量，又，根据题意，设，则，解得，又，设平面的法向量，由，即，于是为平面的法向量，故，二面角大小的范围是，结合图形可知是锐二面角，故二面角的大小为20(1)17.4(2)【分析】(1)结合频率分布直方图中求平均数公式, 即可求解.(2)根据已知条件, 可知，即可求出，结合正态分布的对称性以及二项分布的概率公式, 即可求解.【详解】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为:；（2）该校女生短跑成绩 服从正态分布,由题可知，则，故该校女生短跑成绩在以外的概率为：，由题意可得, ,.21(1)；(2).
17、【分析】（1）由题意可得，再结合可求出，从而可求出椭圆的方程；（2）由题意设直线为（），设，将直线方程代入椭圆方程中化简利用根与系数的关系，然后由可得，再根据可求得结果.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，因为面积的最大值为，所以，因为，所以解得，所以椭圆C的方程为；（2），设直线为（），不妨设，设，由，得，则，所以，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，解得，因为，所以，所以，所以，化简得，解得，因为，所以.22(1)在上是单调递增的(2)【分析】（1）对求导，从而确实为正及的单调性；（2）令 ，然后分和两种情况讨论的单调性及最值，即可得答案.【详解】（1）当时， 定义域为，所以，所以在上是单调递增的.（2）当时，等价于，则，令，则，当时，则在上是单调递增的，则当时，在上是单调递增的，所以，满足题意当时，所以，使，因为在上是单调递增的所以当时，所以在上是单调递减的，又，即得当时，不满足题意综上可知：实数的取值范围.
