1、12 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件12.2 充要条件内 容 标 准学 科 素 养1.理解充分、必要、充要条件的意义2.能熟练判断条件与结论之间的充分(必要、充要)性3.掌握证明充要条件的一般方法.利用数学抽象提高逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 充分条件、必要条件与充要条件阅读教材P912，思考并完成以下问题对于“若 p，则 q”形式的命题，有的命题是真命题，有的命题是假命题，那么命题的条件和结论有什么关系呢？判断下列两个命题的真假：(1)若 xa2b2，则 x2ab；(2)若 ab0，则 a0.提示：命
2、题(1)为真命题，命题(2)为假命题也就是对于命题(1)，由条件 xa2b2可以推出结论 x2ab.对于命题(2)，由条件 ab0 推不出结论 a0.知识梳理(1)充分条件与必要条件命题真假“若 p，则 q”是真命题“若 p，则 q”是假命题推出关系p qp q条件关系p 是 q 的条件q 是 p 的条件p 不是 q 的条件q 不是 p 的条件充分必要充分 必要(2)充要条件的概念一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作 pq.此时，我们说 p 是 q 的条件，简称条件概括地说，如果 pq，那么 p 与 q条件充分必要充要互为充要自我检测1下列各条件中，p 是 q 的充要条件的是()Ap：a
3、b，q：1a1bBp：xy0，q：xy0Cp：直线 axy10 与 xay20 平行，q：a1Dp：m0，q：关于 x 的方程 x22xm0 没有实数根答案：B2用“充分条件”和“必要条件”填空：(1)若 p：x3，q：x29，则 p 是 q 的_，q 是 p 的_(2)若 p：2，q：cos 0，则 p 是 q 的_，q 是 p 的_(3)若 p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等，则 p 是 q 的_，q 是p 的_答案：(1)充分条件 必要条件(2)充分条件 必要条件(3)必要条件 充分条件探究一 充分条件、必要条件、充要条件的判断阅读教材 P911例 1、例 2、例 3题型：充分条
4、件、必要条件及充要条件的判断方法步骤：利用“若 p，则 q”为真命题或由 pq 时，p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p的必要条件利用“若 p，则 q”是假命题或 pq，则 p 是 q 的不充分条件，q 是 p 的不必要条件利用“若 p，则 q”的逆命题是真命题或 qp，则 q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件“若 p，则 q”为真命题，它的逆命题也为真命题或 pq，且 qp，则 p 是 q 的充要条件例 1 指出下列各题中，p 是 q 的什么条件：(在充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选出一种作答)(1)p：0 x2，q：x0，a1)在2,2上的最
5、大值等于 4，q：a2；(3)p：x3，12x，x 成等比数列，q：x4；(4)p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形；(5)p：mn，q：mn1.解析(1)当 0 x2 时，显然满足 x3，因此 pq；但当 x3 时，不一定有 0 x0，a1)在2,2上的最大值等于 4，当 a1 时，得 a24，所以a2，当 0a0，a1)在2,2上的最大值等于 4，可得 a2 或 a12，即q；但当 a2 时，函数 f(x)ax(a 0，a1)在2,2上的最大值等于 4，即 qp，故 p 是 q 的必要不充分条件(3)由 x3，12x，x 成等比数列可得12x 2(x3)x，解得 x4 或 x0，但当
6、 x0 时12xx0，不符合题意，舍去，即 x 的值等于 4，即 pq；当 x4 时，显然 x3，12x，x 成等比数列，即 qp，故 p 是 q 的充要条件(4)四边形的四条边相等，不一定得出该四边形为正方形，即 pq；但当四边形是正方形时，其四条边一定相等，即 qp，故 p 是 q 的必要不充分条件(5)当 mn 时不一定有mn1，例如 m2，n1，即 pq；当mn1 时，也不一定有 mb”是“ac2bc2”的充分不必要条件；直线 l1：axy3，l2：xbyc0，则“ab1”是“l1l2”的必要不充分条件；“m6”是“yx2mxm3 有两个不同零点”的充要条件正确的结论是_解析：中，当
7、a2 时有(a1)(a2)0，但(a1)(a2)0 时a1 或 a2，不一定有 a2，“a2 是(a1)(a2)0”的充分不必要条件，正确中 abac2bc2，但 ac2bc2ab“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件，错误中 ab1 且 ac3 时，l1 与 l2 重合，但 l1l2 时 ab1，“ab1”是“l1l2”的必要不充分条件，正确中 yx2mxm3 有两个不同零点0，即 m24(m3)0，m6，“m6”是“函数 yx2mxm3 有两个不同零点”的充要条件，正确答案：探究二 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围教材 P13习题 1.2B 组 1 题已知 Ax|x 满足条件 p
8、，Bx|x 满足条件 q(1)如果 AB，那么 p 是 q 的什么条件？(2)如果 BA，那么 p 是 q 的什么条件？(3)如果 AB，那么 p 是 q 的什么条件？解析：(1)p 是 q 的充分条件(2)p 是 q 的必要条件(3)p 是 q 的充要条件例 2 是否存在实数 p，使 4xp0 的充分条件？如果存在，求出 p的取值范围；否则，说明理由解析 由 x2x20 解得 x2 或 x2 或 x1由 4xp0，得 Bxxp4.当 BA 时，即p41，即 p4，此时 x0，当 p4 时，4xp0 的充分条件方法技巧 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：(1)记集合 Mx|p(x
9、)，Nx|q(x)；(2)根据以下表格确定集合 M 与 N 的包含关系：条件类别集合 M 与 N 的关系p 是 q 的充分不必要条件M Np 是 q 的必要不充分条件M Np 是 q 的充要条件MNp 是 q 的充分条件MNp 是 q 的必要条件MN(3)根据集合 M 与 N 的包含关系建立关于参数的不等式(组)；(4)解不等式(组)求出参数的取值范围跟踪探究 3.已知 Mx|(xa)21，Nx|x25x240，若 M 是 N 的充分条件，求 a 的取值范围解析：由(xa)21 得 x22ax(a1)(a1)0，a1xa1.又由 x25x240 得3x8.M 是 N 的充分条件，MN，a13，
10、a18，解得2a7.故 a 的取值范围是2,7探究三 充要条件的证明阅读教材 P11例 4 及解答已知：O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d.求证：dr 是直线 l 与O 相切的充要条件题型：充要性的证明方法步骤：充分性的证明，由 dr 得出直线 l 与圆 O 只有一个公共点，因此 l 与圆O 相切必要性的证明，由 l 与圆 O 相切，得出圆心到直线的距离 dr.例 3 求证：一元二次方程 ax2bxc0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0.证明 充分性(由 ac0 推证方程有一正根和一负根)，ac0，原方程一定有两不等实根，不妨设为 x1，x2，则 x1x2ca0，原方程的
11、两根异号，即一元二次方程 ax2bxc0 有一正根和一负根必要性(由方程有一正根和一负根推证 ac0)，一元二次方程 ax2bxc0 有一正根和一负根，不妨设为 x1，x2，由根与系数的关系得 x1x2ca0，即 ac0，满足原方程有两个不等实根综上可知，一元二次方程 ax2bxc0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0”的_条件易错分析 判断两个命题之间的条件关系要从两个方向判断，判断一个方向就下结论，忽视了对“ab0”成立时能否导出“向量 a 与向量 b 的夹角 为锐角”的判断考查直观想象和逻辑推理的学科素养自我纠正 若向量 a 与向量 b 的夹角 为锐角，则 cos ab|a|b|0，即
12、 ab0，故 p 是q 的充分条件ab0 时，由 cos ab|a|b|0 可得 0，2当 0 时，a 与 b 夹角 不是锐角，故 p 是 q 的充分不必要条件答案：充分不必要条件2对问题的设问形式理解不清致误使不等式 2x25x30 成立的一个充分不必要条件是()Ax0Bx2 或 x0Cx1,3,5Dx3 或 x12易错分析 没有弄清题中的条件和结论分别是哪个，从而充分性和必要性判断颠倒，考查逻辑推理的学科素养自我纠正 依题意，所选选项应是不等式 2x25x30 成立的充分不必要条件由于不等式 2x25x30 的解集为xx3或x12，正确的选项中变量 x 的取值范围应该比xx3或x12对应的范围要小一些，而1,3,5xx3或x12，故选 C.答案：C04 课时 跟踪训练