1、第6讲定点问题母题已知椭圆C：y21，点P(0,1)，设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为1，求证：l过定点思路分析l斜率k存在时写出l的方程联立l，C的方程，设而不求计算kPA，kPB并代入kPAkPB1分析直线方程，找出定点证明设直线PA与直线PB的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0，即(2k1)(m1)0，解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点
2、(2，1)子题1已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，O是坐标原点若点E(2,0)，直线l不与坐标轴垂直，且AEOBEO，求证：直线l过定点证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可设直线l的方程为xnyb(n0)，由得y24ny4b0，则y1y24n，y1y24b.由AEOBEO，得kEAkEB，即，整理得y1x22y1x1y22y20，即y1(ny2b)2y1(ny1b)y22y20，整理得2ny1y2(b2)(y1y2)0，即8bn4(b2)n0，得b2，故直线l的方程为xny2(n0)，所以直线l过定点(2,0)子题2(2020湖南四校联考)已知抛物
3、线C：y24x与过点(2,0)的直线l交于M，N两点，若，PQy轴，垂足为Q，求证：以PQ为直径的圆过定点证明由题意可知，直线l的斜率不为0，设其方程为xmy2(mR)，将xmy2代入y24x，消去x可得y24my80，显然16m2320，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y24m，y1y28，因为，所以P是线段MN的中点，设P(xP，yP)，则xP2m22，yP2m，所以P(2m22,2m)，又PQy轴，垂足为Q，所以Q(0,2m)，设以PQ为直径的圆经过点A(x0，y0)，则(2m22x0,2my0)，(x0,2my0)，所以0，即x0(2m22x0)(2my0)20，化简可得(
4、42x0)m24y0mxy2x00，令可得所以当x02，y00时，对任意的mR，式恒成立，所以以PQ为直径的圆过定点，该定点的坐标为(2,0)规律方法动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0)(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点跟踪演练1(2020北京东城区模拟)已知椭圆C：1的右焦点为F，直线l：ykxm(k0)过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P，求证：直线PQ过x轴
5、上的定点证明c2，F(2,0)，直线l：ykxm(k0)过点F，m2k，l：yk(x2)由得(3k21)x212k2x12k260.依题意0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.点P关于x轴的对称点为P，则P(x1，y1)直线PQ的方程可以设为yy1(xx1)，令y0，xx13.直线PQ过x轴上的定点(3,0)2已知P(0,2)是椭圆C：1(ab0)的一个顶点，C的离心率e.(1)求椭圆的方程；(2)过点P的两条直线l1，l2分别与C相交于不同于点P的A，B两点，若l1与l2的斜率之和为4，则直线AB是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由解(1)由题意
6、可得解得a，b2，c，椭圆的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxt(t2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并整理，可得(3k22)x26ktx3t2120，36(kt)24(3k22)(3t212)0，即24(6k2t24)0，则x1x2，x1x2，由l1与l2的斜率之和为4，可得4，又y1kx1t，y2kx2t，2k2k4，t2，化简可得tk2，ykxk2k(x1)2，直线AB经过定点(1，2)当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xm，A(m，y1)，B(m，y2)，4，又点A，B均在椭圆上，A，B关于x轴对称，y1y20，m1，故直线AB
7、的方程为x1，也过点(1，2)，综上直线AB经过定点，定点为(1，2)专题强化练1已知椭圆C：y21，设直线l与椭圆C相交于A，B两点，D(0，1)，若直线AD与直线BD的斜率之积为.证明：直线l恒过定点证明当直线l斜率不存在时，设l：xm，A(m，yA)，B(m，yA)，因为点A(m，yA)在椭圆y21上，所以y1，即y1，所以kADkBD，不满足题意当直线l斜率存在时，设l：ykxb(b1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得(12k2)x24kbx2b220，依题意得，0，所以x1x2，x1x2，则kADkBD.将x1x2，x1x2，代入上式化简得，kADkBD，即，解得b2
8、.所以直线l恒过定点(0，2)2已知点H为抛物线C：x24y的准线上任一点，过H作抛物线C的两条切线HA，HB，切点为A，B，证明直线AB过定点，并求HAB面积的最小值解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(t，1)，由C：x24y，即yx2，得yx，所以抛物线C：x24y在点A(x1，y1)处的切线HA的方程为yy1(xx1)，即yxxy1，因为y1x，所以yxy1，因为H(t，1)在切线HA上，所以1ty1，同理1ty2，综合得，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标满足方程1ty，即直线AB恒过抛物线的焦点F(0,1)，当t0时，此时H(0，1)，可知HFAB，|HF|2，|AB|4，SHAB244，当t0时，此时直线HF的斜率为，得HFAB，于是SHAB|HF|AB|，而|HF|，把直线yx1代入C：x24y中，消去x得y2(2t2)y10，|AB|y1y22t24，即SHAB(t24)4，综上所述，当t0时，SHAB最小，且最小值为4.
