1、5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像（基础知识+基本题型）知识点一 正弦函数的图象1.正弦曲线的几何作法正弦函数的图象如图，我们把正弦函数的图象叫做正弦曲线.如图，在直角坐标系的轴上取一点，以为圆心，单位长为半径作圆，从圆与轴的交点A起，把圆分成12等份（份数越多，画出的图象越精确）.过圆上各分点作轴的垂线，得到对应于等角的正弦线，相应地，再把轴上从0到这一段分成12等份，把角的正弦线向右平移，使它的起点与轴上的点重合，再把这些正弦线的终点用光滑曲线连接起来，即得的图象.2.用“五点法”作的简图在函数的图象上，起关键作用的点有五个：，.一般地，在精确度要求不高时，我们常常先找出这五个关键点，再
2、用光滑的曲线将它们连接起来，就得到正弦函数在上的简图.这种方法叫“五点法”.【提示】（1）“五点法”作三角函数图象的实质是分别找到函数图象的最高点、最低点及三个平衡点，这五个点大致确定了函数图象的位置与形状.（2）用“五点法”作的图象后，将其向左右平移(每次个单位长度)，可得出的图象.知识点二 余弦函数的图象1.利用图象变换作余弦函数的图象由诱导公式六，有.因此，将正弦函数的图象向右平移个单位长度，就得到函数的图象. 我们把余弦函数的图象叫做余弦曲线，如图所示. 2.用“五点法”作的简图在函数的图象上，起关键作用的点是它与轴的交点、函数图象的最高点和最低点，它们的坐标依次为：，.用光滑的曲线将
3、它们连接起来，就得到余弦函数在上的简图.【提示】（1）作余弦函数图象时，可通过正弦函数的图象平移得到，但要注意平移的单位长度.（2）作的余弦函数图象，可由的图象左右平移得到，也可由的图象向左平移个单位长度得到. 考点一 通过图象变换作函数的图象【例1】作函数的图象.解： 故的图象实际就是的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方后得到的图象，如图由于余弦函数的图象是利用诱导公式依据图象变换画出的，故掌握利用诱导公式化简三角函数式也是画三角函数图象的切入点。考点二 函数的定义域问题【例2】求函数的定义域.解：要使函数有意义，则必有，即.结合正弦曲线或单位圆，如图所示. 所以函数的定义域为.(1) 求与
4、三角函数有关的函数定义域，对于自变量必须满足： 使三角函数有意义； 分式形式的分母不等于零； 偶次根式的被开方数不小于零.(2) 求三角函数的定义域时，常常归结为解三角不等式组，这时可利用基本三角画数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集.考点三 函数的最值或值域问题【例3】(1) 求函数的值域；(2) 求函数, 的最大值和最小值.分析：(1) 可用常数分离法，也可用正弦函数的有界性求解.(2) 将函数的解析式化为同名函数，转化成二次函数闭区间上的最值问题求解.解：(1) 方法1： .因为，所以.所以当时，.所以函数的值域为.方法2：由，得，即，显然y1.故.因为，所以 即解得：，所以函数的值域为.(2) 因为，所以.令，则.所以函数，对称轴为，且开口向上.所以函数在上单调递增.故，此时；，此时，或.所以函数的最大值为5，最小值为.(1) 对于常规的求三角函数的值域或最值问题，一般情况下，只要注意到正弦函数、余弦函数的“有界性”即可解决.(2) 对于形如或的函数，可采用常数分离后利用图象或单调性求其最值或值域，也可利用正弦函数、余弦函数自身的有界性求解.(3) 对于形如或（或可化为此形式，其中A0）的函数，可用配方法求其值域. 注意当x有具体范围限制时，需考虑或的范围.
