1、第5讲指数与指数函数基础知识整合一、指数及指数运算1根式的概念2分数指数幂(1)a (a0，m，nN*，n1)；(2)a(a0，m，nN*，n1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)二、指数函数及其性质1指数函数的概念函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数说明：形如ykax，yaxk(kR且k0，a0且a1)的函数叫做指数型函数2指数函数的图象和性质1()na(nN*且n1)2.n
2、为偶数且n1.3底数对函数yax(a0，且a1)的函数值的影响如图(a1a2a3a4)，不论是a1，还是0a0，且a1时，函数yax与函数yx的图象关于y轴对称1化简4ab的结果为()A B C D6ab答案C解析原式46ab1，故选C.2(a2a2018)x11，x12，选D.3(2019德州模拟)已知a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbc，所以b，所以ac，所以bca.故选D.4若2x21x2，则函数y2x的值域是()A. B.C. D2，)答案B解析因2x21x2242x，则x2142x即x22x30，所以3x1，所以y2.5(2019蒙城月考)已知0a1，b0，且a1)的
3、值域为1，)，则f(4)与f(1)的关系是()Af(4)f(1) Bf(4)f(1)Cf(4)1，f(4)a3，f(1)a2，由指数函数的单调性知a3a2，f(4)f(1)核心考向突破考向一指数幂的化简与求值例1求值与化简：触类旁通 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.3化简：ab2(3ab1)(4ab3)(a0，
4、b0)解原式ab3(4ab3) ab3(ab)ab.4已知a3(a0)，求a2aa2a1的值解a3，a222a9211，而2a2213，a，a2aa2a111.考向二指数函数的图象及应用例2(1)(2019山西模拟)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0 D0a1，b0答案D解析由图象知f(x)是减函数，所以0a1，又由图象在y轴上的截距小于1可知ab0，所以b0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_答案解析当0a1时，y|ax1|的图象如图1.因为y2a与y|ax1|的图象有两个交点，所以02a1.所以0a1时，y|ax1
5、|的图象如图2，而y2a1不可能与y|ax1|有两个交点综上，0a0，且a1)的图象要抓住三个特殊点：(1，a)，(0，1)，.(2)与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象，利用数形结合求解.即时训练5.函数f(x)1e|x|的图象大致是()答案A解析将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有A满足上述两个性质6若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_答案1,1解析曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可
6、得，如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1，1考向三指数函数的性质及其应用角度1比较指数幂的大小例3(1)(2019南昌模拟)下列不等关系正确的是()A33432 B3233C2.602.622.6 D.2.62.6022.6答案D解析因为y3x是增函数，所以34332，33233，故排除A，B；因为y2x是增函数，所以2.622.6202.6022.6，故选D.(2)(2019金版创新)已知实数a，b满足等式2018a2019b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()A1个 B2个 C3个 D4个答案B解析在同一坐标系下画出y
7、2018x与y2019x的图象，结合图象可知正确，所以不可能成立的有2个，选B.触类旁通 比较指数式大小的方法比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小.即时训练7.(2019山东实验中学月考)已知mn1，则有()A0nm Bnm0 C0mn Dmn0答案A解析因为指数函数yx在R上递减，所以由mnn0，故选A.8已知0ay1，则下列各式中正确的是()Axaya Baxay Daxya答案B解析对于A，1，a01，xaya，A错误；0ay1，axay，B正确，C错误；对于D，axy01，axya，D错误故选B.角度2
8、解简单的指数不等式例4(1)(2019宜昌调研)设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(，3) B(1，)C(3,1) D(，3)(1，)答案C解析当a0时，不等式f(a)1为a71，即a8，即a3，因为03，此时3a0；当a0时，不等式f(a)1为1，所以0a1.故a的取值范围是(3,1)，故选C.(2)(2018洛阳模拟)若对于任意x(，1，都有(3m1)2x0，不等式(3m1)2x1对于任意x(，1恒成立，等价于3m1x对于任意x(，1恒成立x1，x12.3m12，解得mab的不等式，需借助函数yax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a1与0ab的不等式，需先将b转
9、化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数yax的单调性求解即时训练9.已知函数f(x)的值域是8,1，则实数a的取值范围是()A(，3 B3,0)C3，1 D3答案B解析当0x4时，f(x)8,1，当ax0时，f(x)，8，1，即81，即3a0的解集是()Ax|x2 Bx|x4Cx|x6 Dx|x5答案D解析当x0时，由f(x)3x90得x2，所以f(x)0的解集为x|x2或x0的解集为x|x5故选D.角度3与指数函数有关的复合函数问题例5已知函数f(x)ax24x3.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值解(1)当a
10、1时，f(x)x24x3，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，f(x)g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)令g(x)ax24x3，f(x)g(x)，由指数函数的性质知，要使yg(x)的值域为(0，)应使g(x)ax24x3的值域为R，因此只能a0(因为若a0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)
11、故f(x)的值域为(0，)时，a的值为0.触类旁通 研究指数型函数性质的策略求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断即时训练题借助于换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围即时训练11.(2019海口模拟)函数yxx1在x3,2上的值域为_答案解析令tx，则yt2t12，x3,2，t，当t时，ymin.当t8时，ymax57.所以函数的值域为.12已知函数y9xm3x3在区间2,2上单调递减，则m的取值范围为_答案(，18解析设t3x，则y9xm3x3t2mt3.因为x2,2，所以t.又函数y9xm3x3在区间2,2上单调递减，即yt2mt3在区间上单调递减，故有9，解得m18.所以m的取值范围为(，18
