1、1.(2014江苏卷)已知矩阵A，B，向量，x，y为实数.若AB，求xy的值.解由已知，得A )，B .因为AB，所以)，故解得所以xy.2.(2013江苏卷)已知矩阵A，B，求矩阵A1B.解设矩阵A的逆矩阵为，则，即，故a1，b0，c0，d，从而A的逆矩阵为A1，所以A1B .3.(2016泰州期末卷)已知矩阵A，B，若矩阵AB1对应的变换把直线l变为直线l：xy20，求直线l的方程.解因为B，所以B1，所以AB1 .设直线l上任意一点(x，y)在矩阵AB1对应的变换下为点(x，y)，则 ，所以代入l，得(x2y)2y20，化简后得x2.故直线l的方程为x2.4.(2016常州一模)已知矩阵
2、M满足：Miiai，其中i(i1，2)是互不相等的实常数，i(i1，2)是非零的平面列向量，11，2，求矩阵M.解由题意，1，2是方程f()2ab0的两根，因为11，所以ab1.又因为M222，所以 2，从而所以ab1.因为12，所以21.从而ab1.故矩阵M.5.(2015苏北四市期末)已知a，bR，矩阵A所对应的变换TA将直线xy10变换为自身，求a，b的值.解设直线xy10上任意一点P(x，y)在变换TA作用下变成点P(x，y)，由 ，得因为P(x，y)在直线xy10上，所以xy10，即(1b)x(a3)y10.又因为P(x，y)在直线xy10上，所以xy10.因此解得6.(2012江苏
3、卷)已知矩阵A的逆矩阵A1，求矩阵A的特征值.解因为AA1E，所以A(A1)1.因为A1，所以A(A1)1，于是矩阵A的特征多项式为f()234.令f()0，解得A的特征值11，24.7.(2015南通调研)已知二阶矩阵A，矩阵A属于特征值11的一个特征向量为a1，属于特征值24的一个特征向量为a2，求矩阵A.解由特征值、特征向量定义可知，Aa11a1，即1，得同理可得解得a2，b3，c2，d1.因此矩阵A.8.已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵M对应的变换将点(1，2)变换成(2，4).(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：xy10在矩阵M的作用下的直线l的方程.解(1)设M，则8，故因 ，故联立以上两方程组解得a6，b2，c4，d4，故M.(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f()(6)(4)821016，故其另一个特征值为2.设矩阵M的另一个特征向量是e2，则Me22，解得2xy0.(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x，y)，则，即xxy，yxy，代入直线l的方程后并化简得xy20，即xy20.
