1、在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,设a,b,c,则a(bc)的值为()A1B0C1 D2解析:选B.a(bc)abac0.(2012太原高二期末)设空间有四个互异的点A,B,C,D,已知(2)()0,则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形解析:选B.(2)()()()AB2AC20,|.ABC是等腰三角形已知i、j、k是两两垂直的单位向量,a2ijk,bij3k,则ab等于_解析:ab(2ijk)(ij3k)2i2j23k22.答案:2已知|a|2,|b|,且a与2ba互相垂直,则a与b的夹角大小为_解析:a与2ba互相垂直,a(2ba)0,aba2
2、|a|22.cosa,b,a,b.答案:A级基础达标设a,b,c是空间任意的非零向量,且它们互相不共线,则下列命题:(ab)c(ca)b0;|a|b|ab|;(ab)c(ca)b不与c垂直;(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的有()A BC D解析:选D.不正确,正确在如图所示的正方体中,下列各对向量的夹角为135的是()A.与B.与C.与D.与解析:选B.,45;,180,135;,90;,180.如图,已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点,则数量积是a2的是()A2B2C2D2解析:选B.22|cos,2a2cos60
3、a2,故选B.已知|a|3,|b|4,mab,nab,a,b135,mn,则_解析:由mn,得(ab)(ab)0,即a2b2(1)ab0.(3)242(1)34cos1350.解得.答案:已知空间向量a,b,c两两夹角都是60,其模都是1,则|ab2c|_解析:(ab2c)2a2b24c22ab4ac4bc1141225,|ab2c|.答案:已知正四面体OABC的棱长为1.求:(1);(2)()();(3)|.解:(1)|cosAOB11cos60.(2)()()()()()(2)1211cos60211cos6011cos6012211cos601.(3)| .B级能力提升在空间四边形OAB
4、C中,OBOC,AOBAOC,则cos,等于()A. B.C D0解析:选D.OBOC,AOBAOC,()|cos,|cos,0,故选D.设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足0,0,0,则BCD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定解析:选B.如图所示,设a,b,c,(ab)(cb)acbcabb2b20.同理0,0.BCD的各内角均为锐角,即BCD为锐角三角形在空间四边形ABCD中,_解析:如图,设b,c,d,则dc,db,cb,所以原式b(dc)d(cb)c(db)0.答案:0如图所示,在四棱锥PABCD中,侧棱PA底面ABCD,AB1,BC3,ABC60,PA2,求
5、AC与PB所成角的余弦值解:PA底面ABCD,PAAB,PABC,则0,0.又ABC60,|cos,3cos120.又()()|2|21.,| .|.cos,.AC与PB所成角的余弦值为.(创新题)如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别为正方形ABCD和AA1B1B的中心(1)求证:AC1平面A1BD;(2)求与夹角的余弦值解:(1)证明:设a,b,c,则abc.ba,ac,且abacbc0,则有(abc)(ba)b2a2bcac|b|2|a|20.同理,0.,即AC1BD,AC1A1B,又BDA1BB,AC1平面A1BD.(2)设正方体的棱长为a,c(ab),b(ca),|2a2a2a2a2,|a.同理|a.又|c|2|a|2|b|2a2,cos,.