1、2014年春亲情学校月考高二数学（理）试题(120分钟 150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数等于( )(A)-i (B)i (C)12-13i (D)12+13i2.若点P在曲线y=x3-x上移动，则过P点的切线的倾斜角的取值范围是( )(A)0,) (B)(0,),)(C)0,)(, (D)0,),)3.函数在定义域R内连续可导，若，且当时，设则（ ）AB CD4.若复数z2+2=0，则z3等于( )(A)2 (B)2 (C)2i (D)-2i5.若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减，则实
2、数a的取值范围是( )(A)a3 (B)a=3 (C)a3 (D)0a36.复数(3-i)m-(1+i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是( )(A)m (B)-1m (C)m1 (D)m-17.利用数学归纳法证明不等式:(n2，nN*)的过程，由n=k到n=k+1时，左边增加了( )(A)1项 (B)k项 （C)2k-1项 (D)2k项8.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形的面积为( )(A) (B) (C) (D)9.已知函数f(x)=xm+ax的导函数为f(x)=2x+1，则数列(nN*)的前n项和为( )(A) (B) (C) (D)10.已知在函数（）的图象上有一点，该函
3、数的图象与 x轴、直线x1及 xt围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（ ）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在题中的横线上)11.若等差数列an的首项为a1,公差为d，前n项和sn,则数列为等差数列,且通项为，类似地，若各项均为正数的等比数列bn的首项为b1,公比为q，前n项的积为Tn，则数列为等比数列，通项为_.12.用数学归纳法证明,n是正整数，假设n=k时，等式成立，则当n=k+1时，应推证的目标等式是_.13.满足条件z-i=1+i的复数z在复平面上对应的点(x,y)的轨迹方程为_.14.函数f(x)=x3+3ax2+3(a
4、+2)x+1有极大值又有极小值，则a的取值范围是_.15.给出以下命题：若，则；若函数为奇函数，则；函数的原函数为，且是以为周期的函数，则.其中正确命题是 （写出所有正确命题的编号）.三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(1)计算；(2)复数z=x+yi(x,yR)满足z+2i=3+i求复数z.18.(12分)已知抛物线C:y=-x2+2x,过点A(0,0),B(2,0)分别作抛物线的切线L1,L2.(1)求切线L1和L2的方程.(2)求抛物线C与切线L1和L2所围成的图形面积S.19.(12分)已知a为实数，且函数f(x)=(
5、x2-4)(x-a)(1)求导函数f(x)；(2)若f(-1)=0，求函数f(x)在-2,2上的最大值、最小值.20.(13分)已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1,Sn=n2an(nN*).(1)试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式.21.（14分）设函数f(x)=lnx-ax2-bx.(1)当a=b=时,求f(x)的最大值.(2)令F(x)=f(x)+ax2+bx+(02或a-1 15.416.解(1)原式=(2)(x+yi)+2i(x-yi)=3+i,即(x+2y)+(2x+y)i=3+i,即.解得,z=- i.17.解
6、：(1)y=-2x+2,A(0,0),B(2,0)都在抛物线上,设切线L1和L2的斜率分别为k1,k2,则k1=2,k2=-2,故切线L1的方程为y=2x,切线L2的方程为y=-2x+4.(2)设L1,L2交于点P,由得则P(1,2).S=2x-(-x2+2x)dx+(-2x+4)-(-x2+2x)dx=x2dx+(x2-4x+4)dx=+=.故抛物线C与切线L1和L2所围成的图形面积S为.18.解：(1)f(x)=(x2-4)(x-a)=x3-ax2-4x+4a得f(x)=3x2-2ax-4.(2)f(-1)=0,a=，f(x)=x3-x2-4x+2，f(x)=3x2-x-4.令f(x)=0
7、，3x2-x-4=0，解得x=或x=-1.当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当-1x时，f(x)0，f(x)单调递减.-0,f()f(2),函数f(x)在-2,2上的最大值、最小值分别为、-.20.解：(1)an=Sn-Sn-1(n2)，Sn=n2(Sn-Sn-1),Sn=(n2).a1=1,S1=a1=1.S2=,S3=,S4=,猜想Sn=(nN*).(2)证明当n=1时，S1=1成立.假设n=k(k1,kN*)时，等式成立，即Sk=,当n=k+1时，Sk+1=(k+1)2ak+1=ak+1+Sk=ak+1+,ak+1=,Sk+1=(k+1)2ak+1=,n=k+1时等式也成立，得证.根据、可知，对于任意nN*，等式均成立.an=Sn-Sn-1= (n2),当n=1时，a1=1符合上式，故an=(nN*).21.解：(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+).当a=b=时,f(x)=lnx-x2-x,f(x)=-x-=,令f(x)=0,解得x=1或x=-2(舍去).当0x0,f(x)是增加的;当x1时,f(x)0,f(x)是减少的.所以f(x)的极大值为f(1)=-,即f(x)的最大值是-.(2)F(x)=lnx+,x(0,3,则有k=F(x0)=在(0,3上恒成立,所以a(-+x0)max,当x0=1时,-+x0取得最大值,所以a.
