1、2021年高考真题和模拟题分类汇编数 学专题19 不等式选讲解答题1.(2021高考全国甲卷理T23)已知函数（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围【解析】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2），如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.2.(2021高考全国乙卷文T23)已知函数（1）当时，求不等式解集;（2）若，求a的取值范围【解析】（1）当时，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，故或，所以的解集为.（2）依题意，即恒成立，故，所以或，解得
2、.所以的取值范围是.3.(2021河南郑州三模理T23)已知函数f（x）|x+1|2x4|（）在平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（）若对xR，f（x）t恒成立，t的最小值为m，且正实数a，b，c满足a+2b+3cm，求的最小值【解析】（），图象如图所示，（）由（）知，f（x）max3，则t3，故m3，即a+2b+3c3，由柯西不等式有，的最小值为3，当且仅当a+cb+c1时等号成立4.(2021河南开封三模文理T23)已知函数，g（x）|x1|（1）求函数yf（x）+g（x）的最小值；（2）已知0，2），求关于的不等式的解集【解析】（1）由已知可得，当且仅当即时等号成立，所以函数yf（
3、x）+g（x）的最小值为（2）由已知，原不等式可化为，当时，原不等式化为sincos2，此时无解，当时，原不等式化为sin+cos1，即，所以，综上所述，不等式的解集为（，）5.(2021河南焦作三模理T23) 已知函数f（x）|x+1|+|2x5|7（）在如图所示的网格中画出yf（x）的图象；（）若当x1时，f（x）f（x+a）恒成立，求a的取值范围【解析】（）当x1时，f（x）x12x+573x3，当1x时，f（x）x+12x+57x1，当x时，f（x）x+1+2x573x11，综上f（x），则对应的图象如图：（）当a0时，不等式不成立，当a0时，yf（x）的图象向右平移a个单位得到yf（
4、x+a）的图象，此时对任意x1时，yf（x+a）总在yf（x）的上方，不满足条件当a0时，yf（x+a）的图象最多平移到与yf（x）的图象交于点（1，2）的位置，此时a2，此时a的取值范围是（0，2.6.(2021四川内江三模理T23)已知a0，b0，4a+b2ab（1）求a+b的最小值；（2）若a+b|2x1|+|3x+2|对满足题中条件的a，b恒成立，求实数x的取值范围【解析】（1）因为a0，b0，所以，所以a+b（a+b）（4+），当且仅当且，即a，a+b的最小值；（2）若a+b|2x2|+|3x+2|对满足题中条件的a，b恒成立，则，当x时，原不等式可化为2x1+4x+2，所以；当时，
5、原不等式可化为2x+4+3x+2，所以，当x时，原不等式可化为2x+83x2，所以，综上，x的取值范围7.(2021安徽蚌埠三模文T23)已知函数f（x）m|x|x1|，mR，且f（x）的最大值为1，（1）求实数m的值；（2）若a0，b0，a+bm，求证：【解析】（1）解：|x|+|x1|x（x1）|1，当x（x1）0时取到等号，f（x）maxm11，m2（2）证明：由a0，b0，a+b22，ab1，+4，当且仅当ab1时取等号8.(2021贵州毕节三模文T23)已知函数f（x）|x+1|+|x2|（）解不等式f（x）x+4；（）若k是f（x）的最小值，已知m0，n0，且（k+1）m+n1，求
6、证：k2mnm+n【解析】（）f（x）|x+1|+|x2|，故当x2时，f（x）x+42x1x+4，解得：x5，2x5当1x2时，f（x）x+43x+4，解得x1，1x2当x1时，f（x）x+42x+1x+4，解得x1，此时x无解综上，f（x）x+4的解集为x|1x5；证明：（）由（）知，f（x）3，k3由（k+1）m+n1，得4m+n1，要证k2mnm+n，即9mnm+n，即证，就是证，又m0，n0，当且仅当，即时取“”，k2mnm+n成立9.(2021河南济源平顶山许昌三模文T23)已知函数f（x）|x+2|m|x+1|（1）若m2，求不等式f（x）8的解集；（2）若关于x的不等式f（x）
7、m|x+3|对于任意实数x恒成立，求实数m的取值范围【解析】（1）当m2时，f（x）|x+2|+2|x+1|，当x2时，3x48，解得x4；当2x1时，不等式无解；当x1时，3x+48，解得x综上，不等式的解集为（4，+）（2）关于x的不等式f（x）m|x+3|对于任意实数x恒成立，即为|x+2|m（|x+1|+|x+3|），由于|x+1|+|x+3|x+1x3|2，当且仅当3x1时，等号成立，所以m，记g（x），当x1时，g（x）；当x3时，g（x）则g（x），所以g（x）0，所以m，所以实数m的取值范围为，+）10.(2021四川泸州三模理T23)已知函数f（x）|x+6|x22x+2|（
8、）求不等式f（x）6的解集；（）设函数f（x）的最大值为m，正数a，b，c满足a+b+c+，求证：【解析】（）x22x+2（x1）2+10，f（x）|x+6|x2+2x2，不等式f（x）6等价于|x+6|x2+2x26，即或，解得1x2或，不等式f（x）6的解集为1，2；（）证明：由（）可知，当时，又a，b，c为正实数，a+b+c4，当且仅当时等号成立，原命题得证11.(2021宁夏中卫三模理T23)设函数f（x）|12x|3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+Mab（）求M；（）是否存在a，b，使得a6+b6？并说明理由【解析】（1）分三类讨论如下：当x1时，f（x）x+4，单
9、调递增，f（x）3；当1x时，f（x）5x2，单调递减，f（x）maxf（1）3，当x时，f（x）x4，单调递减，f（x）f（），综合以上讨论得，f（x）的最大值M3；（2）假设存在正数a，b，使得a6+b622a3b3，所以，又因为+Mab3ab2，所以，显然相互矛盾，所以，假设不成立，即不存在a，b使得a6+b612.(2021江西南昌三模理T23)已知函数f（x）|x3|+2|x1|（）求f（x）的最小值m；（）已知a0，b0，若a+2bm时，正常数t使得ta+ab的最大值为2，求t的值【解析】（）因为，所以当x1时，f（x）minm2，（）因为m2，所以a+2b2，则a+2（b+t）2
10、t+2，又因为，所以，则，所以，则t1或t3（舍），当且仅当a2（b+1），即a2，b0时，等号成立13.(2021江西上饶三模理T23)已知函数f（x）|x+2|x2|（1）解不等式f（x）2；（2）若_，求a的最小值不等式f（x）a2+3a有解；不等式f（x）a2+5a恒成立请从上述两种情形中任选一种作答【解析】（1）f（x），因为f（x）2，当x2时，42不成立，解得x；当2x2时，由2x2，得1x2；当x2时，由42恒成立，解得当x2；综上，f（x）2解集为1，+）；（2）若选不等式f（x）a2+3a有解，则f（x）maxa2+3a，由（1）知，f（x）max4，所以a2+3a40，解
11、得4a1；所以amin4；若选不等式f（x）a2+5a恒成立，则f（x）mina2+3a，由（1）知，f（x）min4，所以a2+5a+40，解得4a1；所以amin414.(2021安徽宿州三模文理T23)已知函数f（x）|x2|x+1|（）求不等式f（x）1的解集；（）若函数f（x）的最大值为m，且正实数a，b满足2a+bm，求证：a2+4b2【解析】（）|x2|与|x+1|的零点分别是x2，x1，整个定义域被划分成3个区间，分别讨论如下：1）当x1时，f（x）x+2+x+13，f（x）1的解集为空集，2）当1x2时，f（x）x+2x12x+1，2x2x+11，x0，取交集得f（x）1的解
12、集为0，2，3）当2x时，f（x）x2x13，f（x）1的解集为2，+），对以上三种情况的结果取并集，不等式f（x）1的解集为0，+），（II）证明：分段函数的最值在分段点处取得，由此可以比较函数在三个分段区间上的最大值，取最大者得m3由2a+b3，原不等式等价于，即17（a2+4b2）4（2a+b）2，做差比较证明（a8b）20，这是显然的15.(2021安徽马鞍山三模文理T23)已知函数f（x）|2x+3|（1）解不等式f（x）+f（x3）8；（2）已知关于x的不等式f（x）+|x+a|x+5，在x1，1上有解，求实数a的取值范围【解析】（1）函数f（x）|2x+3|不等式f（x）5f（x
13、3），即|3x+3|+|3x3|5，等价于或或，解得：2x2，所以原不等式的解集为x|2x2；（2）当x1，1时，不等式f（x）+|x+a|x+5，即|x+a|2x，所以|x+a|2x在1，1上有解，即2a22x在1，1上有解，所以2a4实数a的取值范围：2，416.(2021江西九江二模理T23)已知函数f（x）|x+2|ax2|（aR）（）当a2时，解不等式f（x）1；（）当x2，2时，求证：f（x）+f（x）0【解析】（）当a2时，f（x）1即|x+2|2x2|1等价为或或，解得x或x1或1x3，所以原不等式的解集为，3；（）证明：当x2，2时，f（x）|x+2|ax2|x+2|ax2|
14、，f（x）2x|ax+2|，f（x）+f（x）4（|ax2|+|ax+2|），因为|ax2|+|ax+2|ax2（ax+2）|4，当（ax2）（ax+2）0时，取得等号，所以4（|ax2|+|ax+2|）0，即f（x）+f（x）017.(2021江西上饶二模理T23)设函数f（x）|2x1|x+1|+2ax，aR（1）若，求不等式f（x）0的解集；（2）若函数f（x）恰有三个零点，求实数a的取值范围【解析】（1）当a时，不等式f（x）0，即|2x1|x+1|+x0，则或或，解得x1或1x0或x1，不等式f（x）0的解集为（，0）（1，+）；（2）由f（x）|2x1|x+1|+2ax0，得|2x
15、1|x+1|2ax，设g（x）|2x1|x+1|，h（x）2ax，如图，要使yg（x）与y2ax有3个不同交点，则32a1，即a实数a的取值范围是（，）18.(2021江西鹰潭二模理T23)设x，y，zR，z（x+2y）m（1）若x2+2y2+3z2的最小值为4，求m的值；（2）若，证明：m1或m1【解析】（1）x2+2y2+3z2（x2+z2）+2（y2+z2）2xz+4yz2（xy+2yz），当且仅当xyz，上式取得等号，由题意可得2（xy+2yz）2m4，m2（2）证明：a2+b22|ab|，2（a2+b2）（a+b）2，|m|1，可得m1或m119.(2021吉林长春一模文T23) 已
16、知(I)求证:;()求证:.【解析】(1)证明:因为, 所以,(当且仅当时取等号)(5分)(2)因为,所以所以,当且仅当时取等号(10分)20.(2021新疆乌鲁木齐二模文T23)已知a，bR+，（ab）2（ab）3，a+b2ab（）求证：a+b2ab；（）求a与b的值【解析】（）证明：a，bR+，（ab）2（ab）3，（a+b）2（ab）2+4ab（ab）3+4ab，则a+b2ab；（）由（）知，a+b2ab，又a+b2ab，a+b2ab，又取等号时，（ab）34ab，即ab2，联立，解得或21.(2021安徽淮北二模文T23)设函数f（x）|2xa|+|x+|（a0）（）证明：f（x）2；
17、（）若f（1）4，求实数a的取值范围【解析】（）证明：f（x）|2xa|+|x+|，f（x）在（，）单调递减，在，单调递减，在（，+）上单调递减，f（x）minf（）+2，当且仅当x且a2时取最小值，f（x）2；（）f（1）|2a|+|1+|4（a0），|2a|3，30，解得：a，当a2时，有2a3，a2或a1，结合得：1a2，当a2时，有a23，2a，综上：实数a的取值范围是（1，）22.(2021宁夏银川二模文T 23)已知函数f（x）|x+a|2|xb|（a0，b0）（1）当ab1时，解不等式f（x）0；（2）若函数g（x）f（x）+|xb|的最大值为2，求的最小值【解析】（1）当ab1
18、时，f（x）|x+1|2|x1|，当x1时，f（x）（x+1）+2（x1）x30，x3，无解，当1x1时，f（x）（x+1）+2（x1）3x10，x1，当x1时，f（x）（x+1）2（x1）x+30，1x3，综上所述：不等式f（x）0的解集为（，3）（2）g（x）|x+a|2|xb|+|xb|x+a|xb|，|x+a|xb|（x+a）（xb）|a+b|，g（x）max|a+b|2，a0，b0，a+b2，+（+）（a+b）（+5）（2+5），当且仅当，即b2a时取等号，+的最小值为23.(2021山西调研二模文T23)(1)证明：a2+1a+12；(2)若a0，b0，求ab+ba2+b2+1的最
19、大值.【解析】(1)证明：a2+b22a+b2，当且仅当a=b时，等号成立，令b=1，则有a2+12a+12，当且仅当a=1时，等号成立，即a2+1a+12；(2)解：由(1)得a2+1a+12，即a2+1(a+1)22，当且仅当a=1时，等号成立，ab+ba2+b2+1=(a+1)b(a2+1)+b2(a+1)b(a+1)22+b2，又(a+1)22+b22(a+1)22b2=2(a+1)b，当且仅当(a+1)22=b时，等号成立，即a+1=2b，即a=1b=2时，等号成立，(a+1)b(a+1)22+b2(a+1)b2(a+1)b=22，即ab+ba2+b2+122，当a=1b=2时，ab
20、+ba2+b2+1取得最大值，且最大值为22.【解析】(1)由a2+b22a+b2，令b=1即可得证；(2)利用(1)的结论可得ab+ba2+b2+122，由此求得最大值本题考查不等式的证明，考查最值的求解，考查逻辑推理能力，属于中档题24.(2021河南郑州二模文T23)已知函数f（x）|2x4|+|x+a|（a0）（）若a1，求不等式f（x）5的解集；（）若f（x）a22a+4恒成立，求实数a的取值范围【解析】（）若a1，不等式f（x）5即为|2x4|+|x+15，等价为或或，解得x1或1x0或x4，所以原不等式的解集为（，04，+）：（）若f（x）a22a+4恒成立，即为（|2x4|+|x+a|）mina22a+4，a0，而|2x4|+|x+a|x2|+（|x2|+|x+a|）|22|+|x2xa|a+2|a+2，当x2时，上式取得等号，所以a22a+4a+2，即a23a+20，解得1a2，即a的取值范围是1，2
