1、专题突破练6热点小专题一、函数的零点及函数的应用一、单项选择1.(2020山东济南三模,2)函数f(x)=x3+x-4的零点所在的区间为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)2.(2019山东莱芜模拟)函数f(x)=ex+ln x的零点所在的大致区间是()A.(-1,0)B.0,12C.12,1D.1,323.(2020山东烟台模拟,6)函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)4.已知f(x)=|ex-1|+1,若函数g(x)=f(x)2+(a-2)f(x)-2a有三个零点
2、,则实数a的取值范围是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)5.若x1是方程xex=1的解,x2是方程xln x=1的解,则x1x2等于()A.eB.1C.1eD.-16.(2020河南实验中学4月模拟,12)已知函数f(x)=-x2+2x,x0,x2-2x,x0,若关于x的不等式f(x)2+af(x)0时,f(x)=2|x-1|-1,02,则函数g(x)=xf(x)-1在(-6,+)上的所有零点之和为()A.7B.8C.9D.10二、多项选择题8.已知函数f(x)=2x+log2x,且实数abc0,满足f(a)f(b)f(c)0,若实数x0是函数y=f(x)的一个
3、零点,那么下列不等式中可能成立的是()A.x0aC.x0bD.x00时,f(x)=2|x-1|-1,02.以下说法正确的是()A.当2x4时,f(x)=2|x-3|-1-12B.f(2n+1)=-12n(nN)C.存在x0(-,0)(0,+),使得f(x0)=2D.函数g(x)=4f(x)-1的零点个数为1010.已知函数f(x)=x2-3x,x0,-e-x+1,x0,给出下列命题,其中所有正确命题为()A.f(3)=0B.直线x=-3是函数y=f(x)的图象的一条对称轴C.函数y=f(x)在-9,-6上为增函数D.函数y=f(x)在-9,9上有四个零点三、填空题12.已知函数f(x)=ax2
4、+2x+a(x0),ax-3(x0)有且只有一个零点,则实数a的取值范围是.13.(2020江苏泰州中学三月模拟,8)已知函数f(x)=x+2,xa,3x,0x1,g(x)=f(x)-kx都有零点,则实数a的取值范围是.14.(2020山东济宁5月模拟,16)设f(x)是定义在R上的偶函数,xR都有f(2-x)=f(2+x),且当x0,2时,f(x)=2x-2.若函数g(x)=f(x)-loga(x+1)(a0,a1)在区间(-1,9内恰有三个不同零点,则实数a的取值范围是.15.(2020天津和平区一模,15)已知函数f(x)=1-|x+1|,x-2,0,2f(x-2),x(0,+),则3l
5、ogf(3)256=.若方程f(x)=x+a在区间-2,4恰有三个不等实根,则实数1a的取值范围为.专题突破练6热点小专题一、函数的零点及函数的应用1.C解析因为f(x)=x3+x-4是R上的增函数,f(1)=-20,故函数f(x)的零点在区间(1,2)内.2.B解析因为f12=e-ln20,而f18=e18-ln80,所以必在18,12内有一零点.故选B.3.C解析显然函数f(x)=2x-2x-a在区间(1,2)内连续,因为f(x)的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)f(2)0,即(2-2-a)(4-1-a)0,解得0a3,故选C.4.A解析g(x)=(f(x)-2)(f(x)+a)=
6、0有三个零点,由f(x)-2=0,得|ex-1|=1,由函数h(x)=|ex-1|的图象易知f(x)-2=0有一个根,故f(x)+a=0有两个根,代入f(x)的解析式,得到|ex-1|=-a-1,设m(x)=-a-1,如图可知,当0-a-11时,h(x)与m(x)的图象有两个交点,满足题意,解得a的范围为(-2,-1),故选A.5.B解析考虑到x1,x2是函数y=ex、函数y=lnx与函数y=1x的图象的公共点A,B的横坐标,而Ax1,1x1,Bx2,1x2两点关于y=x对称,所以kAB=-1,1x2-1x1x2-x1=-1,化简得x1x2=1.6.D解析函数f(x)的图象如图所示,由f(x)
7、2+af(x)0,得f(x)f(x)+a0时,-af(x)0,由于关于x的不等式f(x)2+af(x)0恰有1个整数解,因此其整数解为3,又f(3)=-9+6=-3,-a-3,-af(4)=-8,则3a8.当a=0时,f(x)20,则a=0不满足题意;当a0时,0f(x)-a,当0-a1时,0f(x)1时,0f(x)-a,至少有一个整数解,综上,实数a的最大值为8,故选D.7.B解析f(x)是奇函数,g(-x)=(-x)f(-x)-1=(-x)-f(x)-1=xf(x)-1=g(x),g(x)是偶函数,g(x)的零点都是以相反数的形式成对出现的,g(x)在-6,6上所有的零点的和为0,函数g(
8、x)在-6,+)上所有的零点的和,即函数g(x)在(6,+)上所有的零点之和.由0x2时,f(x)=2|x-1|-1,即f(x)=2-x,0x1,2x-2,12时,f(x)=12f(x-2),函数f(x)在(2,4上的值域为14,12,当且仅当x=4时,f(x)=12,函数f(x)在(4,6上的值域为18,14,当且仅当x=6时,f(x)=14,函数f(x)在(6,8上的值域为116,18,当且仅当x=8时,f(x)=18,函数f(x)在(8,10上的值域为132,116,当且仅当x=10时,f(x)=116,故f(x)1x在(8,10上恒成立,g(x)=xf(x)-1在(8,10上无零点,同
9、理g(x)=xf(x)-1在(10,12上无零点,依此类推,函数g(x)在(8,+)无零点,综上函数g(x)=xf(x)-1在-6,+)上的所有零点之和为8,故选B.8.ABC解析由函数的单调性可得,函数f(x)=2x+log2x在(0,+)上为增函数,由f(a)f(b)f(c)0,则f(a),f(b),f(c)为负数的个数为奇数,对于A,B,C选项可能成立,对于D,当x00,f(b)0,f(c)0,不合题意,故选ABC.9.AD解析对A,当2x4时,00时,有5个交点,根据对称性可得x0成立,故f(x)在0,3上为增函数,又f(x)为偶函数,故在-3,0上为减函数,又周期为6.故在-9,-6
10、上为减函数,C错误;函数f(x)周期为6,故f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,故y=f(x)在-9,9上有四个零点,D正确.故选ABD.12.a=0或a1解析当a0时,函数y=ax-3(x0)必有一个零点,又因为x=-1a0,解得a1;若a=0时,f(x)=2x(x0),-3(x0)恰有一个零点;当a0时,则f(x)=ax-30无零点,若x0,则f(x)=ax2+2x+a,此时,f(x)恒小于0,所以当a1.13.0,2eln3-1解析如下图所示,点M的坐标为(a,a+2),直线OM的斜率为a+2a.令g(x)=0,得f(x)=kx,原问题等价于过原点斜率大于1的任意直线与图象有
11、交点.设过原点与y=3x的图象相切的直线的切点为(x0,y0),则切线的斜率为3x0ln3.由3x0=3x0(ln 3)x0,得x0=1ln3,即切线的斜率为3x0ln 3=31ln3ln 3=3log3eln 3=eln 3.讨论:对于k1,a+2a,一定与射线y=x+2,xa相交,即对k1,a+2a,g(x)恒有零点;对于ka+2a,+,必须与曲线段y=3x,0xa相交,所以a+2aeln3,解得01时,loga(2+1)2,解得3a7;当0a-1,loga(8+1)-1,解得19a15.15.81-,-121解析f(x)=1-|x+1|,x-2,0,2f(x-2),x(0,+),f(3)
12、=2f(1)=4f(-1)=41-|-1+1|=4;logf(3)256=log444=4,3logf(3)256=34=81.若x(0,2,则-2x-20,f(x)=2f(x-2)=2(1-|x-2+1|)=2(1-|x-1|),x(0,2.若x(2,4,则0x-22,f(x)=2f(x-2)=4(1-|x-2-1|)=4(1-|x-3|),x(2,4.f(1)=2,f(2)=0,f(3)=4.设y=f(x)和y=x+a,则方程f(x)=x+a在区间-2,4内有3个不等实根,等价于函数y=f(x)和y=x+a在区间-2,4内有3个不同的交点,作出函数f(x)和y=x+a的图象,如图所示.当直线经过点A(2,0)时,两个图象有2个交点,此时直线y=x+a为y=x-2,当直线经过点O(0,0)时,两个图象有4个交点,此时直线y=x+a为y=x,当直线经过点B(3,4)和C(1,2)时,两个图象有3个交点,此时直线y=x+a为y=x+1,要使方程f(x)=x+a在区间-2,4内恰有3个不等实根,则a=1或-2a0.故实数1a的取值范围为1-,-12.
