1、A B R 九江市 2022 年第二次高考模拟统一考试 数 学 试 题（文科）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第卷（选择题 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1
2、.若复数21(1)izaa(Ra)为纯虚数，则 a 的值为(B)A.1 B.1 C.0 或1 D.1 或1 解:由21010aa ，得1a ，故选 B.2.已知集合2|20Ax xx，|1Bx x，则如图所示的 阴影部分表示的集合为(B)A.|1x x B.|11xx C.|11xx D.|12xx 解:|12Axx，阴影部分表示的集合为R()|11xABx.故选 B.3.曲线33()31f xx 在1x 处的切线倾斜角是(B)A.6 B.3 C.56 D.23 解:2()3fxx，(1)3kf ，则切线的倾斜角为 3故选 B 4.双曲线22182xy 的离心率为(C)A.52 B.5 C.5
3、2 D.5 解:2 2a，10c，10522 2e，故选 C.5.已知单位向量,a b 满足|2|3ab，则 a b(C)A.1 B.1 C.12 D.12 解:由2223|2|44abaa bb，得12a b故选 C.6.已知命题:p0 x，cosexx，则p 为(D)A.0 x，cosexx B.00 x，00cosexx C.0 x，cosexx D.00 x，00cosexx 7.若数列na为等比数列，且15,a a 是方程2410 xx 的两根，则3a(C)A.2 B.1 C.1 D.1 解：由1540aa ，1 510a a ，可知150,0aa，则30a，又231 51aa a，
4、则31a ，故选 C.8.已知函数()yf x部分图像如图所示，则()yf x的解析式可能是(D)A.sin()eexxxf x B.sin()eexxxf x C.cos()eexxxf x D.cos()eexxxf x 解:函数()f x 在0 x 处无定义，排除选项 A；函数()f x 的图像关于原点对称，故()f x 为奇函数，排除选项 B；当01x 时，cos0 x，eexx，故 cos0eexxx，排除选项 C，故选 D.9.牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为0T，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足02()1(
5、)thccTTTT，其中cT 是环境温度，h 为常数.现有一个105 C的物体，放在室温15 C的环境中，该物体温度降至75 C大约用时 1 分钟，那么再经过m 分钟后，该物体的温度降至30 C，则m 的值约为(B)（参考数据：lg20.3010，lg30.4771）A.2.9 B.3.4 C.3.9 D.4.4 解：由1175 15()105 15)(2h，有112()23h，又由130 15()75 15)(2mh，有41()21mh，即 2()314m，则123lglg 4m，解得lg42lg23.4lg2lg3lg3lg2m，故选 B.10.在边长为 2 的正方形 ABCD中，,E F
6、 分别为线段,AB BC 的中点，连接,DE DF EF，将ADE，CDF，BEF分别沿,DE DF EF 折起，使,A B C 三点重合，得到三棱锥ODEF，则该三棱锥外接球的表面积为(C)A.3 B.6 x y O-2-1 1 2 A C B D E F O D E F C.6 D.24 解:在正方形 ABCD中，,ADAE CDCF BEBF，折起后,OD OE OF 两两垂直，故该三棱锥外接球即以,OD OE OF 为棱的长方体外接球.2,1,1ODOEOF，故2222RODOEOF 6，则62R，故该三棱锥外接球的表面积为246SR表，故选 C.11.已知点 M 为抛物线2:8C y
7、x上的动点，过点 M 向圆221:(2)1Oxy引切线，切点分别为,P Q，则 PQ 的最小值为(A)A.3 B.32 C.2 D.1 解:如图，圆心1O 为抛物线的焦点(2,0)F，四边形1MPOQ 的面积 1111222SPQMOMPPO,21211121212 1MOMPPQMOMOMO,当1MO 最小时，即点 M 到准线的距离最小值为 2，2min12 132PQ，故选 A.12.设函数()f x 的导函数为()fx，将方程()()f xfx的实数根称为函数()f x 的“新驻点”.记函数()exf xx，()lng xxx，()sinh xxx的“新驻点”分别为,a b c，则(A)
8、A.cab B.cba C.bac D.acb 解：()e1xfx，ee1aaa，解得1a .1()1g xx,1ln1bbb，令1()ln1r xx xx (0 x)，显然()r x 在(0,)上单调递增，(1)10r ，1(2)ln 202 r，12b.)cos1(xxh,sincos1ccc .令()sincos1s xxxx ，当x 时，()0s x；当1x 时，()0s x；当 10 x 时，()0s x.当0 x时，()cossin10s xxx，()s x在(0,)上单调递增，又(0)20s ，(1)sin1 cos10s，01c ，综上得cab，故选 A.第卷（非选择题 90
9、分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题，学生根据要求作答.M y Q P O x O1 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知3sin()35，则5cos()635.解：53cos()cos()sin()63235 .14.若实数 x,y 满足034034xyxyxy ，则 zyx的最大值为 2 .解：画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线0yx到可行 域边界点(1,1)A 位置时，z 取得最大值为1(1)2.15.等比数列na的前n 项和为nS，且21nnSa，令11nnnnab
10、SS，则数列 nb的前n 项和为11121n.解：当1n 时，121aa，当2n 时，112nnnnaSSa-=-=?，21aa，即1a ，12nna-=，11211(21)(21)2121nnnnnnb，故数列 nb的前n 项和为1223111111111()()()121212121212121nnnnT.16.棱长为 2 的正方体1111ABCDA BC D中，P 为侧面11ADD A 内的动点，且1PCBD，则下列命题中正确的是.（请填入所有正确命题的序号）PCAD；1A PPC的最小值为 62；三棱锥11CA BP的体积为定值.解:易知1B D 平面1ACD，由1PCB D，可知 P
11、平面1ACD，又 P平面11ADD A，平面11ADD A平面11ACDAD，1PAD.当 P 与 A 重合时，CP 与 AD 夹角为 4，错误.设1AD 的中点为 E，则12A E，6CE，1126APPCAECE，即1A PPC的最小值为 62，正确.x y O A D1 C1 B1 A1 C D P A B D1 C1 B1 A1 C D E A B 易得1A E 平面11ABC D，1111111111 1433 23CA BPABC PBC PVVSA EAB BCA E为定值.正确.三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满
12、分 12 分)在ABC中，内角,A B C 所对的边分别为,a b c，已知2223()2sinacbabC.()求角 B；()若 D 为 AC 的中点，且2BD，求ABC面积的最大值.解:()由正弦定理及2223()2sinacbabC，得2223()2sinacbacB 2 分 即2223()sin2acbBac，由余弦定理，得 3cossinBB 4 分 cos0B，tan3B 5 分 0B，23B6 分()解法一:1()2BDBABC，222111424BDBABA BCBC8 分 221121co4s4234caca，即2216acac9 分 222acac，16ac10 分 121
13、2sin16sin4 32323ABCSac，当且仅当4,4ac时取等号11 分 故 ABC面积的最大值为4 3 12 分 解法二:在ABD中，由余弦定理，得222112()2 2cos22cbbADB ，即22142 cos4cbbADB 在CBD中，由余弦定理，得222112()2 2cos22abbCDB ，即22142 cos4abbCDB 7 分 coscos()cosCDBADBADB，22142 cos4abbADB+得222182acb 8 分 在ABC中,由余弦定理，得22222cos 3bacac，即222bacac，代入中，整理得 2216acac9 分 222acac，
14、16ac10 分 1212sin16sin4 32323ABCSac，当且仅当4,4ac时取等号11 分 故ABC面积的最大值为4 3 12 分 解法三：如图，过C 作 AB 的平行线交 BD的延长线于点 E 7 分 CEAB，D 为 AC 的中点，2,DEBDCEABc，3BCE，4BE 8 分 在BCE中，由余弦定理，得2222cosBEBCECBC ECBCE 即22242cos 3acac，整理得2216acac9 分 222acac，16ac10 分 1212sin16sin4 32323ABCSac，当且仅当4,4ac时取等号11 分 故ABC面积的最大值为4 3 12 分 18.
15、(本小题满分 12 分)第 24 届北京冬季奥林匹克运动会于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京和张家口联合举办.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.某中学共有学生 1200 名，其中男生640 名，女生 560 名，按性别分层抽样，从中抽取 60 名学生进行调查，了解他们是否参与过滑雪运动.情况如下：参与过滑雪 未参与过滑雪 男生 20 m 女生 x y ()若10,10 xy，求参与调查的女生中，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率.()若参与调查的女生中，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生少 8 人，试根
16、据以上2 2列联表，判断是否有95%的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”.20()Pk 0.100 0.050 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828 22()()()()()n adbcab cd ac bd，nabcd .解：()按性别分层抽样，参与调查的 60 名学生中，女生人数为56060281200(人)1 分 28xy，,x yN 2 分 若10,10 xy，则(,)x y 的取值结果有(10,18),(11,17),(12,16),(13,15),(14,14),(15,13),(16,12),(17,11),(18,10)，
17、共 9 种3 分 其中，满足 xy的结果有(15,13),(16,12),(17,11),(18,10),共 4 种4 分 所以参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率49P 6 分 BD C AE()参与调查的 60 名学生中，女生人数为 28 人，男生人数为 32 人，则322012m 7 分 由28xy，且8xy，得10,18xy8 分 参与过滑雪 未参与过滑雪 男生 20 12 女生 10 18 9 分 2260(20 18 12 10)304.2863.841732 28 30 3011 分 故有95%的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”12 分 19.(本
18、小题满分 12 分）在直三棱柱111ABCA BC中，12BCCC，,D E 分别为1,BC CC 的中点，1ACBE，60ABC.()证明：AD 平面11BCC B；()求三棱锥1BAEB的体积.解:()如图，连接1A B，交1AB 于点 F，连接 DF，1B D.由直三棱柱111ABCA BC可知，F 是1A B 的中点，又 D 为 BC 的中点，1ACDF，1ACBE，BEDF1 分 1BCCC，四边形11BCC B 为正方形，又,D E 分别为1,BC CC 的中点，易得1BEB D2 分 又1B DDFD，BE 平面1AB D 3 分 ADBE4 分 1BB 平面 ABC，1ADBB
19、5 分 又1BBBEB，AD 平面11BCC B 6 分()AD 平面11BCC B，ADBC，D 是 BC 的中点，ABAC8 分 60ABC，ABC为等边三角形，3AD 10 分 1111112 32 233323BAEBA BB EBB EVVSAD 12 分 20.(本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1xyE ab(0ab)的离心率为32，P 为椭圆 E 上一点，Q 为圆222xyb上一点，PQ 的最大值为 3(,P Q 异于椭圆 E 的上下顶点).CA1 EBC ADBCA1 EBC ADBF()求椭圆 E 的方程；()A 为椭圆 E 的下顶点，直线,AP AQ 的斜率分别记为
20、12,k k，且214kk，求证：APQ为直角三角形.解：()32cea，32ca 1 分 PQPOOQPObab，PQ的最大值为ab2 分 即3ab，又222cab，2223()(3)2 aaa，解得2a，1b 3 分 椭圆 E 的方程为2214xy 4 分()直线 AP：11yk x(10k)，联立方程组221141xyyk x，消去 y 得2211(41)80kxk x5 分 则121841Pkxk，21214141Pkyk，即2112211841(,)41 41kkPkk6 分 直线 AQ：141yk x，联立方程组221141xyyk x，消去 y 得2211(161)80kxk x
21、7 分 则1218161Qkxk，2121161161Qkyk，即21122118161(,)161 161kkQkk8 分 221122111112221116141161411188416141PQkkkkkkkkkkk 10 分 21PQkk 11 分 即 AQPQ，APQ为直角三角形12 分 21.(本小题满分 12 分）已知函数()ln1f xaxx(Ra).()讨论()f x 的单调性；()若()exf xx恒成立，求a 的取值范围.yxOQPA解：()11()axfxaxx(0 x)1 分 当0a 时，()0fx，()f x在(0,)上单调递增2 分 当0a 时，由()0fx，得
22、10 xa；由()0fx，得1xa，()f x在1(0,)a上单调递增，在1(,)a 上单调递减3 分()()exf xx恒成立等价于eln1xxxax对任意(0,)x 恒成立4 分 令eln1()xxxg xx，则22eln()xxxg xx5 分 令2()elnxh xxx，易知()h x 在(0,)上单调递增6 分 1e()ln 2024h，(1)e0h，存在01(,1)2x，使得0()0h x7 分 当0(0,)xx时，()0h x，()0g x；当0(),xx 时，()0h x，()0g x，()g x在0(0,)x上单调递减，在0(,)x 上单调递增8 分 000min00eln1
23、()()xxxg xg xx9 分 02000()eln0 xh xxx，001ln000000ln111elnelnxxxxxxxx 10 分 令()exxx，显然()x在(0,)单调递增，0001lnlnxxx，001exx 11 分 000000011()1xxxxg xxx，1a ,故a 的取值范围是(,112 分 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的普通方程为310 xy，曲线 E 的参数方程为1 cossinxy （为参数）.()以原点O 为
24、极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l 及曲线 E 的极坐标方程；()若 P 为曲线 E 在第一象限上一点，射线OP 按逆时针方向旋转60，与直线l 相交于点Q，若OPQ的面积为34，求|OP 的值.解:()直线l 的极坐标方程为cossin103 2 分 曲线 E 的普通方程为22(1)1xy 3 分 曲线 E 的极坐标方程为2cos 5 分()在极坐标系中，设点,P Q 的坐标分别为11(,)，22(,)，则1(0,)2，213，11|2cosOP，22111|2sin()2sin()66OQ 6 分 1213sin6024 ，121 7 分 112cos12sin()6，解得13
25、tan38 分 1(0,)2，169 分|2cos36OP10 分 23.(本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数()|1|1|f xxxaa的最小值为 2，()|g xk x(,Ra k)()求a 的取值范围；()若()()f xg x，求k 的最大值 解:()|1|(1)()|1|xxaxxaa1 分 min()|1|1|f xaa2 分 即|1|1|2aa 3 分 又|1|1|(1)(1)|2aaaa,当且仅当 11a 时，取等号4 分 故 a 的取值范围是 1,15 分()由()得()|1|1f xxxaa，当1x 时，()112f xxxaax 6 分 当1ax 时，()112f xxxaa 7 分 当 xa 时，()1122(1)f xxxaaxa 8 分()f x在(,)a 上单调递减，在(1,)上单调递增9 分 x y O 1 2()f x，()g x 的图像如图所示，故2k，即k 的最大值为 210 分
