1、课时作业梯级练三十六直接证明与间接证明、数学归纳法一、选择题(每小题5分,共20分)1.用反证法证明命题“已知a,bN*,如果ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为()A.a,b都能被5整除B.a,b都不能被5整除C.a,b不都能被5整除D.a不能被5整除【解析】选B.用反证法证明命题时,应先假设结论的否定成立,而至少有一个能被5整除的否定是都不能被5整除,故作的假设是“a,b都不能被5整除”.2.设f(n)=+(nN*),那么f(n+1)-f(n)等于()A.B.C.+D.-【解析】选D.f(n+1)-f(n)=-=+-=-.3.用数学归纳法证明1-+-+-=+
2、,则从k到k+1时左边添加的项是()A.B.-C.-D.-【解析】选D.当n=k时,等式的左边为1-+-+-,当n=k+1 时,等式的左边为1-+-+-+-,故从“n=k到n=k+1”,左边所要添加的项是-.4.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减,若x1+x20,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负【解析】选A.由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减可知,f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x20可知x1-x2,f(x1)f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)0.二、填空题(每小题5
3、分,共15分)5.设a=+2,b=2+,则a,b的大小关系为_.【解析】 a=+2,b=2+,将两式的两边分别平方,可得a2=11+4,b2=11+4,显然.所以ab.答案:a”的过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时,左边增加了_项.【解析】当n=k时,左边=1+,当n=k+1时,左边=1+,观察可知,增加的项数是2k+1-1-(2k-1)=2k+1-2k=2k.答案:2k7.已知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中nN*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为_.【解析】点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函
4、数y=x图象上的点,因此an=,bn=n,cn=-n=,因此数列cn为递减数列,所以cn+1cn.答案:cn+1a2b3+a3b2;(2)若x,y都是正实数,且x=y2,求证:2与0,a2+ab+b20,又因为ab,所以0,所以0,所以-0,即a5+b5a2b3+a3b2.(2)假设2和0且y0,所以1+x2y,1+y2x.两式相加得2+x+y2x+2y,即x+y2.这与已知条件x=y2相矛盾,所以2和2中至少有一个成立.1.(5分)设a,b,c为任意正数,则a+,b+,c+这三个数()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2【解析】选C.假设三个数均小于2,即a+
5、2,b+2,c+2,故a+b+c6,而a+b+c2+2+2=6,当a=b=c=1时等号成立,这与a+b+c1;a+b=2;a+b2;a2 +b22;ab1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号).【解析】 若a=,b=,则a+b1,但a1,b2,故推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故推不出;对于,即a+b2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a1且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1,故能推出.答案:3.(5分)如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,则A2B2C2是_三角形.【解析】由条件
6、知,A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则A1B1C1是锐角三角形,假设A2B2C2是锐角三角形.由得那么A2+B2+C2=,这与三角形内角和为相矛盾.所以假设不成立,又显然A2B2C2不是直角三角形.所以A2B2C2是钝角三角形.答案:钝角4.(10分)设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式;(2)设q1,证明:数列an+1不是等比数列.【解析】(1)设an的前n项和为Sn,则Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn,两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn=a1(1-qn),当q1时Sn=,当q=1时Sn=a1+a1
7、+a1=na1,所以Sn=(2)假设数列an+1是等比数列,则(a1+1)(a3+1)=(a2+1)2,即a1a3+a1+a3+1=+2a2+1,因为an是等比数列,公比为q,所以a1a3=,a2=a1q,a3=a1q2,所以a1(1+q2)=2a1q,即q2-2q+1=0,(q-1)2=0,q=1,这与已知q1矛盾,所以假设不成立,故数列an+1不是等比数列.5.(10分)已知Sn是数列的前n项和,且an=,试比较Sn与的大小关系,并用数学归纳法证明你的结论.【解析】当n=1时,S1=1=;当n=2时,S2=+=+=.猜想Sn.用数学归纳法证明如下:(1)由上述归纳过程可知,n=1,n=2时
8、,不等关系Sn都成立.(2)假设n=k(k2)时,不等式成立,即+.当n=k+1时,两边同加,得+,只需证+(-1),所以对k2成立,即当n=k+1时,不等式成立,由(1)(2)知Sn0,P=2x+2-x,Q=(sin x+cos x)2,则()A.PQB.P0,所以P2;又(sin x+cos x)2=1+sin 2x,而sin 2x1,所以Q2.于是PQ.2.十七世纪法国数学家费马提出猜想:“当整数n2 时,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解”.经历三百多年,于二十世纪九十年代中期由英国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想,使它终成费马大定理,则下面说法正确的是()A.存在至少一
9、组正整数组(x,y,z)使方程x3+y3=z3有解B.关于x,y的方程x3+y3=1有正有理数解C.关于x,y的方程x3+y3=1没有正有理数解D.当整数n3时,关于x,y的方程xn+yn=zn没有正实数解【解析】选C.由于B,C两个命题是对立的,故正确选项是这两个中的一个.假设关于x,y 的方程x3+y3=1有正有理数解,故x,y可写成整数比值的形式,不妨设x=,y=,其中m,n为互质的正整数,a,b为互质的正整数.代入方程得+=1,两边乘以a3n3得(am)3+(bn)3=(an)3,由于am,bn,an都是正整数,这与费马大定理矛盾,故假设不成立,所以关于x,y的方程x3+y3=1没有正有理数解.
