1、练案48理第七讲立体几何中的向量方法(理)A组基础巩固一、选择题1(2021东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，与的夹角为120，则的值为(C)ABCD解析(1，)，cos120，得.经检验不合题意，舍去，.2(2021江苏镇江八校期中联考)已知二面角l，其中平面的一个法向量m(1,0，1)，平面的一个法向量n(0，1,1)，则二面角l的大小可能为(C)A60B120C60或120D30解析设二面角l的平面角为，则|cos |，60或120.3(2021河北张家口期末)在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PDAD，M，N分别为AB，PC的中点，则BN与
2、MC所成角的余弦值是(D)ABCD解析如图，易知PD、DA、DC两两垂直，如图建立空间直角坐标系，且设PAAD2，则(2,1,0)，(2，1,0)，记BN与MC所成角为，则cos ，故选D.4(2020河南林州期末)如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11, AB3，E为线段AB上一点，且AEAB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为(A)ABCD解析如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C1(0,3,1)，D1(0，0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，(0,3,1)，(1,1，1)，(0,3，1)设平面D1EC
3、的法向量为n(x，y，z)，则即取y1，得n(2,1,3)cos，n，DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为.5(2021安徽六校教育研究会联考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABC90，P为侧棱CC1上任意一点，Q为棱AB上任意一点，PQ与AB所成角为，PQ与平面ABC所成的角为，则与的大小关系为(C)ABD不能确定6(2021黑龙江哈尔滨期末)三棱柱ABCA1B1C1底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若AB2，AA11，则点A到平面A1BC的距离为(B)ABCD解析如图建立空间直角坐标系，则(0,0,1)，(，1，1)，(0,2，1)，设平面A1BC的法向量为n(x，y，z)，则
4、不妨取z2，则x，y1，n(，1,2)，A到平面A1BC的距离d.故选B.注：本题也可用等体积法求解设A到平面A1BC的距离为h，VA1ABCVAA1BC，h.7(2021河南安阳)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为(C)A150B45C60D120解析由条件，知0，0，|2|2|2|2222624282268cos，(2)2，cos，120，二面角的大小为60，故选C8(2020甘肃兰州一中模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的
5、是(D)AMN平面ADD1A1BMNABC直线MN与平面ABCD所成角为45D异面直线MN与DD1所成角为60解析取AB的中点H，连NH、MH，M，N分别为AC，A1B的中点，NHAA1，HMBCAD，平面MNH平面ADD1A1，MN平面ADD1A1，A正确；又ABNH，ABMH，AB平面MNH，ABMH，B正确；NH平面ABCD，NMH为MN与平面ABCD所成角，显然为45，C正确；MN与DD1所成角为45，D错误，故选D.9(2020山东济南期末改编)给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算；ab.规定：ab为同时与a，b垂直的向量；a，b，ab三个向量构成右手系(如图1)；|ab|a
6、|b|sina，b如图2，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，AA14，则下列结论正确的个数是(C)()长方体ABCDA1B1C1D1的体积V()A1B2C3D4解析由叉乘运算定义知正确；，错误；()，由|知24sin 902，4，()4()同理可知4，4，4()4()，由()、()知正确又()|V长方体ABCDA1B1C1D1，正确，故选C10. (2021河北质检)如图，是直四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA12，点E，F，H分别为棱DD1，D1C1，BB1上的中点，则下列结论中一定错误的是(D)A点F在平面EAB1内B直线C1H与平面BD
7、D1B1所成的线面角为CC1H平面EAB1D异面直线AB1与C1H所成的角为解析如图，连接EF，DC1，因为点E，F均为中点，故EFDC1，又DC1AB1，所以EFAB1，又E平面EAB1，所以EF平面EAB1，所以点F在平面EAB1内，故A正确；如图建立空间直角坐标系，由题意知AC平面BDD1B1，平面BDD1B1的法向量n(1,1,0)，又(1,0,1)，记C1H与平面BDD1B1所成角为，则sin ，故B正确；又(1,0,1)，AEHC1，又HC1平面EAB1，HC1平面EAB1，C正确；又(0,1,2)，记AB1与C1H所成角为，则cos ，故D错，选D.二、填空题11(2021河北承
8、德期末)已知四棱锥PABCD的底面是菱形，BAD60，PD平面ABCD，且PDAB，点E是棱AD的中点，F在棱PC上若PFFC12，则直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为.解析如图，以D点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设菱形ABCD的边长为2，则D (0,0,0)，E，F，所以.又平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，所以cos，n，即直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为.12(2021山东枣庄期末)如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PCBC，ABBC，AB2BC2，PC，则PA与平面ABC所成角的大小为45；三棱锥PABC外接球的表面积是_6_.解析如图，作PO
9、平面ABC于O，连OA，OC，则PAO即为PA与平面ABC所成的角ABPA，ABPO，AB平面PAO，从而ABAO，同理BCCO，又ABBC，四边形ABCO为矩形，又由题意易知PB，PA，AO1，PO1，PAO45，即PA与平面ABC所成角为45，又PB为三棱锥PABC外接球的直径，S球426.三、解答题13(20203月份北京市高考适应性考试)如图，在四棱锥PABCD中，PD2AD，PDDA，PDDC，底面ABCD为正方形，M、N分别为AD，PD的中点(1)求证：PA平面MNC；(2)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值解析(1)证明：因为M，N分别为AD，PD的中点，所以PAMN，又因PA
10、平面MNC，MN平面MNC，所以PA平面MNC(2)由题意建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设AD2，则P(0,0,4)，B(2,2,0)，M(1,0,0)，N(0,0,2)，C(0,2,0)，则(2,2，4)，(1,0,2)，(1,2,0)设平面MNC的法向量为n(x，y，z)，则，令x2，则y1，z1，即n(2,1,1)设直线PB与平面MNC所成角为，则sin.即直线PB与平面MNC所成角的正弦值为.14(2021河北石家庄质检)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，M为AA1的中点，BCBD1，ABAA1.(1)求证：MD平面BDC1；(2)求二面角MBC
11、1D的余弦值解析(1)因为BCBD1，CDAB.可得BC2BD2CD2，BDBC，又DD1平面ABCD.AD、DB、DD1两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(0,1,0)，C1(1,1，)，M，(0,1,0)，(1)0，0，DMDB，DMBC1，又DBBC1B，DM平面BDC1.(2)设平面C1BM的一个法向量为n(x，y，z)，则令z，则x2，y3，故可取n(2,3，)又由(1)知平面BDC1的一个法向量为，记二面角MBC1D为，则|cos |，二面角MBC1D的余弦值为.15(2021河北唐山摸底)在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，
12、DAB60，E是AD的中点(1)求证：平面PBE平面PAD；(2)直线PB与平面PAD所成角为45，求二面角CPED的余弦值解析(1)连接BD，由题意可知ABD是等边三角形，又E是AD有中点，所以BEAD；由PD底面ABCD，BE底面ABCD，所以PDBE，且PDADD，所以，BE平面PAD，且BE平面PBE，所以平面PBE平面PAD.(2)由(1)可知，PB在平面PAD上的射影为PE，所以直线PB与平面PAD所成角为BPE45，在RtBPE中，PEBEAD.所以，在RtDPE中，DEAD1，PD.以E为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Ex
13、yz.由题设可得P(1,0，)，C(2，0)，B(0，0)，所以(1,0，)，(2，0)设m(x，y，z)是平面PEC的法向量，则得可得m.由(1)知(0，0)是平面PED的一个法向量，则cos，m.所以二面角CPED的余弦值为.B组能力提升1(2021广东惠州调研)在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BCAD，ADC90，BCCD1，AD2，PAPD，E为AD的中点，F为PC的中点(1)求证：PA平面BEF；(2)求二面角FBEA的余弦值解析(1)连接AC交BE于N ，并连接CE，FN，BCAD，BCAD，E为AD的中点，AEBC，且AEBC，四边形ABCE
14、为平行四边形，N为AC中点，又F为PC中点，NFPA，NF平面BEF，PA平面BEF，PA平面BEF.(2)连接PE，由E为AD的中点及PAPD，得PEAD，则PE，侧面PAD底面ABCD，且交于AD，PE面ABCD，如图所示，以E为原点，EA、EB、EP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0，)F为PC的中点，F，(0,1,0)，设平面EBF法向量为m(x，y，z)，则取m(，0,1)，平面EBA法向量可取：n(0,0,1)，设二面角FBEA的大小为，显然为钝角，cos |cosm，n|，二面角FBEA的余弦
15、值为.2(2020四川攀枝花市统考)如图，在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PAC为等边三角形，ABAC，D是BC的中点(1)证明：ACPD；(2)若ABAC2，求二面角DPAB平面角的余弦值解析(1)证明：取AC中点E，连接DE、PE，PAC为等边三角形，PEACABAC，D是BC的中点，E为AC中点，EDAC，AC平面PED，PD平面PAD，ACPD.(2)PE，AC，ED三线两两垂直，以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系C(1,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，D(0,1,0)，P(0,0，)设PAD面法向量为n(x，y，z)，(0
16、,1，)，(1,0，)，n，n，令z，y3，x3，面PAD法向量为n(3,3，)设面PAB法向量为m(x，y，z)，(0,2,0)，(1,0，)m，m，令z，y0，x3，面PAB法向量为m(3,0，)设二面角DPAB的平面角为，cos ，二面角DPAB平面角的余弦值.3(2021浙江金色联盟百校联考)如图，平面ABCD平面DBNM，且菱形ABCD与菱形DBNM全等，且MDBDAB，G为MC中点(1)求证：平面GBD平面AMN；(2)求直线AD与平面AMN的所成角的正弦值解析(1)连接AC交DB于E，连接GE，易知GEAM.因为GE平面AMN，AM平面AMN，所以GE平面AMN.又MNBE，同理
17、可证BE平面AMN.又因为BEGEE，所以平面GBD平面AMN.(2)(几何法)连接ME，由菱形ABCD与菱形DBNM全等且MDBDAB，可得出ADABBD，DMBDMB.所以MEBD，又平面ABCD平面DBNM且相交于BD，所以ME平面ABCD.由MEBD，又ACBD且ACMEE，所以BD平面AMC，平面GBD平面AMC，过C作CFGE，所以CF平面GBD，连接BF，由ADBC，所以CBF即为直线AD与平面GBD的所成角由(1)平面GBE/平面AMN，CBF即为直线AD与平面AMN的所成角由题意有ADABBD，DAB60.在直角三角形MAE中，MEAE，所以MAE45，则GEC45所以CFC
18、E，又在直角三角形DEC中，EDC60，所以CEBC，易知CFCEBC，所以sinCBF.则直线AD与平面AMN的所成角的正弦值为.(2)(坐标法)连接ME，由菱形ABCD与菱形DBNM全等且MDBDAB，可得出ADABBD，DMBDMB.所以MEBD，又平面ABCD平面MNBD且相交于BD，所以ME平面ABCD.则可以以CA为x轴，DB为y轴，EM为z轴，建立空间直角坐标系，令AB2，则A(，0,0)，D(0，1,0)，M(0,0，)，B(0,1,0)，N(0，2，)，设平面AMN的法向量为n(x，y，z)，则由得，则可令x1，得y0，z1，平面AMN的法向量为n(1,0,1)，设直线AD与
19、平面AMN的所成角为，sin ，则直线AD与平面AMN的所成角的正弦值为.4(2021安徽蚌埠质检)如图，在棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，ABC60，AD2，ABAA14，F是AD的中点，且C1在底面上的投影E恰为CD的中点(1)求证：AD平面C1EF；(2)若点M满足，试求的值，使二面角MEFC为135.解析(1)在FED中，EF，FD2EF2DE2，因此EFD90，即EFAD，C1在底面上的投影E恰为CD的中点，C1E平面ABCD，又AD平面ABCD，C1EAD，又EFAD，EFC1EE，EF，C1E平面C1EF，AD平面C1EF.(2)连接EA，EB，在平行四
20、边形ABCD中，ADDEECBC2，EDA60，BCE120，CEB30，DEA60，故AEB90，即EAEB，分别以，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Exyz，E(0,0,0)，C1(0,0,2)，C(1，0)，D(1，0)，D1(2，2，2)，F(，0)，(，0)，(2，2，0)(2，2，0)，(2，2，2)，易得平面CEF的一个法向量为m(0,0,1)，设n(x，y，z)为平面MEF的一个法向量，则：，即，令x，得n(，3,2)，二面角MEFC为135，|cosm，n|cos 135|，即，即23，又二面角MEFC的大小为钝角，.5(2021海南模拟)如图，在四棱锥PABC
21、D中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2，BC4，PA2.(1)求证：ABPC；(2)在线段PD上是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由解析(1)证明：如图， 由已知得四边形ABCD是直角梯形，由ADCD2，BC4，可得ABC是等腰直角三角形，即ABAC，因为PA平面ABCD，所以PAAB，又PAACA，所以AB平面PAC，所以ABPC(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)，B(2，2，0)，(0,2，2)，(2，2，0)设t(0t1)，则点M的坐标为(0,2t,22t)，所以(0,2t,22t)设平面MAC的法向量是n(x，y，z)，则，得，则可取n(1，1，)又m(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，所以|cosm，n|cos45，解得t，即点M是线段PD的中点此时平面MAC的一个法向量可取n0(1，1，)，(2，3，1)设BM与平面MAC所成的角为，则sin|cosn0，.即BM与平面MAC所成角的正弦值为.
