1、 秘密启用前【考试时间：2021年5月21日下午2:30-4:30】2021年重庆一中高2022届高二下期期中数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1答卷前，务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上2作答时，务必将答案书写在答题卡规定的位置上写在本试卷上及草稿纸上无效3考试结束后，将答题卡交回一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项1命题“”的否定为（ ）A“” B“”C“” D“”2“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3设随机变量，若，则的值为（ ）A B C D4设随机变量服
2、从正态分布，则等于（ ）附：若，则；A0.6827 B0.8413 C0.8186 D0.95455欧拉公式：是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式：这个恒等式将数学中五个重要的数：自然对数，圆周率，虚数单位，自然数单位1和0完美地结合在一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”根据欧拉公式，在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6一个盒子中有5个白球3个红球，从中任意取2个球，则在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率是（ ）A B C D7甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶
3、最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ）A90 B120 C210 D2168随机变量的分布列如下：01212其中，则（ ）A6 B12 C D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9下列说法正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则10下列说法正确的是（ ）A采用分层抽样的方法从某校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为，则应从一年级中抽取90名学生；B从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至
4、少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件C10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为；D某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差；11某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）A服从二项分布 BC的期望 D的方差12针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若在犯错误概率不超过0.05的前提下认为是否喜
5、欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ）人0.0500.0103.8416.635附：A25 B40 C45 D60三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡相应的位置上13已知集合，则_14若复数，其中为虚数单位，则的虚部为_15若展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的个数共有_个16如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达处为止则甲乙两人相遇的概率是_四、解答题：本大题6个小题，共70分，
6、各题解答必须答在答题卡相应题目指定方框内，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程17（本小题满分10分）集合（1）若，求；（2）若是的充分不必要条件，求的范围18（本小题满分12分）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化减量化处理某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得（1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合；（当时，认为两变量的线性相关性很强）（2）求关于的线性回归方程，并用
7、所求回归方程预测该市100万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为19（本小题满分12分）如图，在等腰梯形中，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）（1）证明：（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值20（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且过点过的直线与椭圆交于两点，（1）求椭圆的标准方程；（2）若以为直径的圆过椭圆右焦点，求直线的方程21（本小题满分12分）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫向另一位著名的数学家帕斯卡提请了一个问题，帕斯卡和费马讨论了这个问题，后来惠更斯也
8、加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注（1）甲、乙赌博意外终止，若，则甲应分得多少赌注？（2）记事件为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机
9、事件为小概率事件（注意：纯粹数学讨论，珍爱生命，远离赌博）22（本小题满分12分）设（1）讨论在上的单调性；（2）令，试判断在上的零点个数，并加以证明命题人：杨雅兰审题人：谢凯 蔚虎2021年重庆一中高2022届高二下期期中数学答案一、选择题1-5 DBACB 6-8 ACA 9AC 10ACD 11ABC 12CD二、填空题13 141 154 16三、解答题17（1）由得即，解得或，所以或；当时，由得，即，所以，所以或（2）是的充分不必要条件18（1）由题意知，相关系数因为与的相关系数大于0.75，所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合（2）由题意可得，所以当时，所以该
10、市100万人口的县城年垃圾产生总量约为1040吨19（1）连接，设的中点为，四边形为平行四边形，为等边三角形，折叠后，又平面，又平面（2）在平面内作平面，垂足为，则在直线上，直线与平面夹角为，又两点重台，即平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，即令得，又平面为平面的一个法向量，设二面角为，则，所以20解：（1）由题意可知解之可得椭圆方程为（2）由题意可知直线斜率必然存在，设为，故直线方程为：设由得其中由韦达定理可知：以为直径的圆过点而故直线方程为21（1）设赌博再继续进行局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人
11、赢得全部赌注，当时，甲以赢，所以；当时，甲以赢，所以；当时，甲以赢，所以所以，甲赢的概率为所以，甲应分得的赌注为元（2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当时，乙以赢，；当时，乙以赢，；所以，乙赢得全部赌注的概率为，于是甲赢得全部赌注的概率，求导，因为，所以，所以在上单调递增，于是，故乙赢的概率为，故事件是小概率事件22，令，则或，时，单调递增，时，单调递减，时，单调增，时，单调递减（2）在上有3个零点，证明如下：是的一个零点，是偶函数，要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可当时，令，即或，时，单调递减，时，单调递增，在有唯一零点当时，由于，而在单调递增，恒成立，故在无零点，在有一个零点，由于是偶函数，在有一个零点，而在上有且仅有3个零点
