1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.（2012山东高考文科10）与（2012山东高考理科9）相同函数的图象大致为（ ）【解析】选D.由知为奇函数，当时，y=0，随着x的变大，分母逐渐变大，整个函数值越来越接近y轴，当x=时，y0,只有D选项满足.2.（2012新课标全国高考理科T10）已知函数f(x)= ,则y=f(x)的图象大致为（ ）【解题指南】令，通过对单调性与最值的考查，判断出在不同的区间段f(x)的函数值的正负
2、，最后利用排除法得正确选项.【解析】选B. 得：或时均有，排除3.（2012辽宁高考文科8）函数的单调递减区间为( )（A）（1,1 （B）（0,1 （C）1，+） （D）（0，+）【解题指南】保证函数有意义的前提下，利用解得单调减区间.【解析】选B. 由0x1或x-1，又函数的定义域为故单调减区间为.4.（2012陕西高考文科9）设函数=+，则（ ）(A) x=为的极大值点 (B) x=为的极小值点 (C) x=2为的极大值点 (D) x=2为的极小值点【解题指南】先根据导数等于0求出极值点，再根据导数的正、负判断函数的单调性，判断极值点是极大值点还是极小值点.【解析】选D. =+，令，即，
3、解得，当时，当时，所以x=2为的极小值点.5.（2012福建高考文科12）已知，且现给出如下结论：；其中正确结论的序号是（ ）（A）(B)(C)(D)【解析】选C.f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),函数在(-,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+)上单调递增,又因为f(a)=f(b)=f(c)=0,所以a(-,1),b(1,3),c(3,+),f(1)=4-abc,f(3)=-abc,f(0)=-abc.又因为f(b)=b3-6b2+9b-abc=b(b2-6b+9)-abc=b(b-3)2-ac=0,所以ac为正数,所以a为正数,则有f(0)0,f(3)0,
4、所以正确.6.（2012江西高考理科10）如图，已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记,截面下面部分的体积为，则函数的图象大致为（ ） （A） (B) (C) (D)【解题指南】分与两种情况讨论，当时，将截面上面部分的几何体分割为两个锥体，用间接法求出截面下面部分的体积V（x）,然后通过V（x）的解析式得到图象，当时，同理可得.【解析】选A . 当时，截面为五边形，如图所示,O为MN的中点，由面QEPMN，且几何体为正四棱锥，棱长均为1,易推出，四边形OEQN和OEPM均为全等的直角梯形，此时求导可知在上为减函数，且
5、当时，截面为等腰三角形，如图所示：此时易知在上亦为减函数，且，根据三次函数的图象特征可知选项A符合.7.（2012辽宁高考理科12）若，则下列不等式恒成立的是（ ）(A) (B) (C) (D)【解题指南】构造函数，利用导数判断函数的单调性.【解析】选C. 令，则（x0），故为定义域上的增函数，所以.8.（2012山东高考文科12）设函数，.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，则下列判断正确的是（ ）(A)(B)(C)(D)【解题指南】本题利用导数来求解单调性.【解析】选B.设，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样，必须且只需或，因为，故必有由此得.不妨设，则.所以，比较
6、系数得，故.，由此知，故答案为B.9.（2012山东高考理科12）设函数，若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（ ）(A)当时，(B)当时，(C)当时，(D)当时，【解题指南】本题利用导数来求解单调性.【解析】选B.令，则，设，.令，则，要使y=f(x)的图象与y=g(x) 的图象有且仅有两个不同的公共点只需，整理得，于是可取来研究，当时，解得，此时，此时；当时，解得，此时，此时.答案应选B.另解：令可得.设不妨设，结合图形可知，当时，如图，此时，即，此时，即；同理可由图形经过推理可得当时，.答案应选B.二、解答题10. （2012山东高考理科22）已知函数（为常数，e
7、=2.718 28是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.（1）求的值.（2）求的单调区间.（3）设,其中为的导函数.证明：对任意.【解题指南】（1）由曲线在点处的切线与轴平行可知,即可求出k的值.（2）可由（1）的结论求解判断单调区间.（3）构造函数求解不等式.【解析】(1) 由得，由曲线在点处的切线与轴平行可知，解得：.（2），令可得，当时，；当时，.于是在区间内为增函数；在内为减函数.（3），因此，对任意，等价于.令，则，因此，当单调递增；当单调递减.所以的最大值为，故设.因为，所以时，单调递增，故时，即所以.因此，对任意.11.（2012山东高考文科22）已知函数为常数，e=2.
8、718 28是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.(1)求k的值.(2)求的单调区间.(3)设，其中为的导函数.证明：对任意.【解题指南】（1）由曲线在点处的切线与轴平行可知即可求出k的值.（2）可由（1）的结论求解判断单调区间.（3）构造函数法求解的最值.【解析】 (1)，由已知，.(2)由(I)知，.设，则，即在上是减函数，由知，当时，从而，当时，从而.综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.(3)由(2)可知，当时，01+，故只需证明在时成立.当时，1，且，.设，则，当时，当时，所以当时，取得最大值.所以.综上，对任意，.12.（2012江西高考理科21）若函数h(x)满足
9、h(0)=1，h(1)=0.对任意，有h(h(a)=a.在（0,1）上单调递减.则称h(x)为补函数.已知函数（1）判断函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论.（2）若存在，使得h(m)=m，称m是函数h(x)的中介元，记时h(x)的中介元为xn，且，若对任意的，都有Sn0时，(xk) f(x)+x+10，求k的最大值.【解题指南】（1）先确定函数的定义域，然后求导函数，因不确定的正负，故应讨论，结合的正负分别得出在每一种情况下的正负，从而确立单调区间.（2）分离参数，将不含有参数的式子看作一个新函数，将求的最大值转化为求的最值问题. 【解析】(1) 的定义域为,.若,则,所以在上单调递增.
10、若,则当时, ;当时, 0,所以, 在上单调递减,在上单调递增.(2)由于,所以，故当时, 等价于 令，则.由（1）知，函数在上单调递增.而，所以在上存在唯一的零点.故在存在唯一的零点.设此零点为，则.当时，；当时，.所以在的最小值为.又由，可得，所以.由于式等价于，故整数的最大值为2.16.（2012安徽高考理科19）设函数.（1）求在内的最小值.（2）设曲线在点处的切线方程为.求的值.【解题指南】（1）根据导数的符号判断函数的单调性，求出函数的最小值；（2）曲线在点的切线方程为，则解出的值.【解析】（1）设，则 当时，在上是增函数 得：当时，的最小值为； 当时， 当且仅当时，的最小值为（2
11、）， 由题意得：17.（2012安徽高考文科17）设定义在（0，+）上的函数.（1）求的最小值.（2）若曲线在点处的切线方程为，求的值.【解题指南】（1）根据导数的符号判断函数的单调性，求出函数的最小值；（2）曲线在点（1，f(1)）处的切线方程为，则解出的值.【解析】（1）， 当且仅当时，的最小值为. （2）由题意得： 由得：.18.（2012辽宁高考理科T21）设，曲线与直线在(0，0)点相切. (1)求的值. (2)证明：当时，.【解题指南】(1)点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程；同时据导数的几何意义可以建立另一个方程，求出a,b;(2) 构造函数，利用导数研究单调性，借助函数单调性证
12、明不等式【解析】（1）由的图象过点（0，0）得b=-1；由在点（0，0）的切线斜率为，则.（2）当时，令，则.令，则当时，因此在（0,2）内是递减函数，又，则时，所以时，即在（0,2）内是递减函数，由，则时，故时，.19.（2012辽宁高考文科T21）设，证明： (1)当x1时， （）. (2)当时，.【解题指南】构造函数，利用导数研究单调性，借助函数单调性证明不等式.【解析】（1）记，则当时，所以在上为减函数，则当时，所以（2）记，则由（1）得，当时，则，因此函数在（1,3）内单调递减，所以时，即.20.（2012陕西高考理科21）（本小题满分14分）设函数（1）设，证明：在区间内存在唯一零
13、点.（2）设，若对任意，有，求的取值范围.（3）在（1）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性.【解析】（1）当，时，.，在内存在零点.又当时，在上是单调递增的，在内存在唯一零点.（2） 当时，对任意都有等价于在上的最大值与最小值之差，据此分类讨论如下：（）当，即时，与题设矛盾；（）当，即时，恒成立；（）当，即时，恒成立.综上可知，的取值范围是.注：（）与（）也可合并证明如下：用表示中的较大者.当，即时，恒成立.（3）（证法一） 设是在内的唯一零点（），则，于是有，又由（1）知在上是递增的，故.所以，数列,的是递增数列.(证法二) 设是在内的唯一零点，则的零点在内，故.所以，数列,是递增数
14、列.21.（2012陕西高考数学文科21）（本小题满分14分） 设函数.（1）设，证明：在区间内存在唯一零点.（2）设n为偶数，求b+3c的最小值和最大值.（3）设，若对任意，有，求的取值范围.【解析】（1）当，时，.，在内存在零点.又当时，在上是单调递增的，在内存在唯一零点.（2）由题意可得，即， ，即， 2+得：,当时，；当时，所以的最小值为，最大值为0.（方法三）由题意知，解得，所以又，当时，；当时，.所以的最小值为，最大值为0. （3）当时，对任意都有等价于在上的最大值与最小值之差，据此分类讨论如下：（）当即时，与题设矛盾；（）当，即时，恒成立；（）当，即时，恒成立.综上可知，的取值范
15、围是.注：（）与（）也可合并证明如下：用x,y表示x,y中的较大者.当，即时，恒成立.22.（2012浙江高考理科22）（本题满分14分）已知0,bR，函数f(x)=4x3-2bx-a+b.（1）证明：当0x1时，函数f(x)的最大值为；.（2）若对x恒成立，求的取值范围.【解题指南】本题是用导数的方法研究函数的性质，求最值时需分类讨论求解，要注意分类标准的确定，同时求的取值范围可化为线性规划问题解决.【解析】（1），当时，在上为增函数， =；当时，若，即时，在上为减函数， =.若时，在上为减函数，在上为增函数，而，当时， =；当时， =.由于，故当时，|2ab|a=当时，|2ab|a=，设，
16、则于是010+减极小值增所以，所以，当时，即|2ab|a0在0x1上恒成立(2)由(1)知：函数在0x1上的最大值为|2ab|a，且函数在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大11对x0，1恒成立，作图如下：由图易得：当目标函数为zab过P(1，2)时，有；过(，)时，有所求ab的取值范围是23.（2012浙江高考文科21）（本题满分15分）已知aR，函数.（1）求f(x)的单调区间.（2）证明：当0x1时，f(x)+ 0.【解题指南】求函数的单调区间要注意分类讨论，而不等式证明可转化为不等式恒成立问题.【解析】（1），当时，在（-，+）为增函数当时， 令，得令，得所以在上单调递增，在上单调递
17、减，在上单调递增.综上，当时， 为增函数；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间. （2）由（1）可得当时，在为增函数，=.当时，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.若，即时，在为减函数，=，f(x)+ .若，即时，在上单调递减，在上单调递增，则0.在为增函数，当时， f(x)+ 综上，当0x1时，f(x)+ 0.24.（2012北京高考理科18）已知函数f（x）=ax2+1（a0）,g(x)=x3+bx.（1）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值.（2）当a2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-，-1上的最
18、大值.【解题指南】第（1）问，交点既在上也在上，在公切点处导数相等；第（2）问，构造函数，再利用导数求单调区间与最大值.【解析】（1），由已知可得解得.（2），令，得.，由得，；由得，.单调递增区间是；单调递减区间为.，.当，即时，在上为增函数，；当，即时，在上递增，在上递减，所以在处取得唯一极大值也是最大值；当，即时，在上递增，在上递减，在上递增，且，.综上，当时，f(x)+g(x)的最大值为；当时，f(x)+g(x)的最大值为1.25.（2012北京高考文科18）已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.（1）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具
19、有公共切线，求,a,b的值.（2）当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围.【解题指南】第（1）问，交点既在上也在上，两个函数在公切点处导数相等；第（2）问，构造函数，然后利用导数研究函数的单调性与极值，结合h(x)的图象，即可求出k的取值范围.【解析】（1），由已知可得解得.（2）令，令，得.-31+0-0+增28减-4增当时，取极大值28；当时，取极小值-4.而，如果在区间k,2上的最大值为28，则.26.（2012湖南高考理科22）已知函数f（x）=eax-x，其中a0.（1） 若对一切xR，f（x）1恒成立，求a的取值集合.（2） 在函
20、数f(x)的图象上取定两点A（，f(x)），B（，f(x)（），记直线AB的斜率为k，问：是否存在x0（x1，x2），使f（x0）k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（1）若，则对一切，这与题设矛盾，又，故.而令当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，式成立.综上所述，的取值集合为.（2）由题意知，令则令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当时，即从而，又所以因为函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在使又单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时，
21、 .综上所述，存在使成立，的取值范围为.27.（2012湖南高考文科22）（本小题满分13分）已知函数f(x)=ex-ax，其中a0.#中国教育出版&网（1）若对一切xR，f(x) 错误！不能通过编辑域代码创建对象。1恒成立，求a的取值集合. z（2）在函数f(x)的图象上取定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2)(x1;当时，知在上单调递增所以函数在R上有且只有一个零点当时，由于在内单调递增，且，则当时，有，;任取，有又当时，易知，其中，由于，则必存在，使得.所以，故在内存在零点，即在上至少有两个零点.若，同理可证函数在上至少有两个零点综上所述，当时，曲线上存在唯一的点)，使曲线
22、在该点处的切线与曲线只有一个公共点29.（2012广东高考理科21）（本小题满分14分）设a1，集合，.（1）求集合D（用区间表示）.（2）求函数在D内的极值点.【解题指南】 (1)解本题的关键是确定集合B，构造,因为,因为,所以3a-90,为了便于比较g(x)=0的根与0的大小关系，按分五类进行讨论.(2)因为,所以由（1）知，时，在D内无极点值点.然后分别和时，的极值点即可.【解析】(1)令，.时，,方程有两个不等实根，又，,，时，时,，.时,.时，,综上得时，时, ，时，时, .(2) ，在上是增函数，在上是减函数，由（1）知，时，在D内无极值点.时，在D内有极大值点x=a,无极小值点.
23、时，在D内有极大值点,极小值点30.（2012湖北高考文科22）（本小题满分14分）设函数，n为正整数，a,b为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为x+y=1.（1）求a,b的值.（2）求函数f(x)的最大值.（3）证明：f(x) . 【解题指南】本题考查导数在求解函数中的应用,本题(1)易解,(2)问中直接求导,求零点讨论单调性求解;(3)要构造函数利用函数的单调性证明.【解析】(1)因为 ,由点（1，f(1)）在x+y=1上,则1+b=1,所以b=0.又，又切线x+y=1的斜率为-1，则a=1.故：a=1,b=0. (2)由（1）知， ，.令，得,即在(0,+)上有唯一零
24、点.在(0, )上,故单调递增;而在(,+)上, ,故单调递减.故.(3)令则.在(0,1)上, ,故单调递减;而在(1,+)上, ,故单调递增,所以在(0,+)上的最小值为.所以.即令,得,即,也就是,由(2)知.故 f(x)0时设函数，将恒成立问题转化为最值问题应用导数求解.（3） 对n进行讨论，综合应用不等式的性质进行证明.【解析】（1）函数的定义域为，由，当x变化时，的变化情况如下表：_0+极小值因此，在x=1-a处取得最小值，故由题意.（2） 当k0时，取x=1，有不合题意.当k0时，令即令，当时，在上恒成立，因此g(x)在上单调递减.从而对于任意的，总有，即上恒成立.故符合题意.当
25、对于内单调递增.因此当取，即不成立，故不合题意.综上，的最小值为.（3） 当n=1时，不等式左边=右边，所以不等式成立，当时，=，在（2）中取，得，从而，所以有=综上， 32.（2012江西高考文科21）已知函数f(x)=（ax2+bx+c）ex在上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.（1）求a的取值范围.（2）设g(x)= f(x)- f(x)，求g(x)在上的最大值和最小值.【解题指南】（1）利用f(0)=1，f(1)=0将f(x)用表示出来，然后利用f(x)=（ax2+bx+c）ex在上单调递减在上恒成立且 f(x)=0不恒成立，然后通过分类讨论求得a的取值范围；（2）化简g(x)
26、= f(x)- f(x)，通过对g(x)求导，然后分类讨论求最值.【解析】（1）由得，则依题意对于任意，有.当时，因为二次函数的图象开口向上，而，所以需，即；当时，对于任意有，且只在x=1时=0，符合条件；当时，对于任意，且只在x=0时=0，符合条件；当时，因，不符合条件.故的取值范围为. (2)因，（i）当时，在处取得最小值，在处取得最大值.(ii)当时，对于任意，有，在处取得最大值，在处取得最小值.(iii)当时，由得. 若，即时，在上单调递增，在处取得最小值，在处取得最大值. 若，即时，在处取得最大值，在或处取得最小值，而，由g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0,得a= 则当时，在处取得最小值；当时，在处取得最小值.关闭Word文档返回原板块。高考资源网版权所有 侵权必究
