1、第58讲立体几何的综合问题1(2017全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值 (1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.因为ABCD，所以ABPD.又APDPP，所以AB平面PAD.因为AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD内作PFAD，垂足为点F.由(1)可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD.以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由(1)及已知可得A(，0，0)，P(
2、0，0，)，B(，1，0)，C(，1，0)，所以(，1，)，(，0，0)，(，0，)，(0，1，0)设n(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则即所以可取n(0，1，)设m(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则即所以可取m(1，0，1)，则cosn，m.所以二面角APBC的余弦值为.2(2016全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值 (1)证明：由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中
3、点知TNBC，TNBC2.又ADBC，AM2，故TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE .以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N(，1，2)，(0，2，4)，(，1，2)，(，1，2)设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0，2，1)于是|cosn，|.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.3(2018华南师大附中模拟)在五面体ABC
4、DEF中，ABCDEF，ADCD，DCF60，CDEFCF2AB2AD2，平面CDEF平面ABCD.(1)证明：直线CE平面ADF；(2)已知P为棱BC上的点，试确定P点位置，使二面角PDFA的大小为60. (1)证明：因为CDEF，CDEFCF2，所以四边形CDEF为菱形，所以CEDF，因为平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCDCD，因为ADCD，所以AD平面CDEF，所以CEAD.又因为ADDFD，所以直线CE平面ADF.(2)因为DCF60，所以DEF为正三角形，取EF的中点G，连接GD，则GDEF，所以GDCD，因为平面CDEF平面ABCD，GD平面CDEF，平面CDEF平
5、面ABCDCD，所以GD平面ABCD，因为ADCD，所以DA，DC，DG两两垂直，以D为原点，DA，DC，DG所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图，因为CDEFCF2，ABAD1，所以E(0，1，)，F(0，1，)由(1)知(0，3，)是平面ADF的一个法向量，因为(0，1，)，(1，1，0)，设a(a，a，0)(0a1)，则(a，2a，0)设平面PDF的法向量为n(x，y，z)，因为所以令ya，则x(a2)，za，所以n(a2)，a，a)，因为二面角PDFA为60，所以|cosn，|，解得a.所以P点靠近B点的CB的三等分点处4(2017广州市一模)如图1，在直角梯形AB
6、CD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体(1) 求证：AB平面ADC；(2) 若AD1，二面角CABD的平面角的正切值为，求二面角BADE的余弦值 (1)证明：因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，又BDDC，所以DC平面ABD.因为AB平面ABD，所以DCAB.又因为折叠前后均有ADAB，DCADD，所以AB平面ADC. (2) 由(1)知AB平面ADC，所以二面角CABD的平面角为CAD. 又DC平面ABD，AD平面ABD，所以DCAD.依题意tanCAD. 因为AD1，
7、所以CD.设ABx(x0)，则BD.依题意ABDDCB，所以，即.解得x，故AB，BD，BC3.(方法1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，B(，0,0)，C(0，0)，E(，0)，A(，0，)，所以(，0)，(，0，)由(1)知平面BAD的法向量n(0,1,0)设平面ADE的法向量m(x，y，z)，由得 令x，得y，z，所以m(，). 所以cosn，m. 由图可知二面角BADE的平面角为锐角，所以二面角BADE的余弦值为.(方法2)因为DC平面ABD，过点E作EFDC交BD于F，则EF平面ABD. 因为AD平面ABD，所以EFAD.过点F作FGAD于G，连接GE，所以AD平面EFG，因此ADGE. 所以二面角BADE的平面角为EGF.由平面几何知识求得EFCD，FGAB，所以EG. 所以cos EGF. 所以二面角BADE的余弦值为.
