1、 1 2021 年高考文科数学预测猜题卷 全国卷版【满分：150 分】一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合2|1 0,|2,Ax xxBy yx xA=Z，则 AB=()A.2,1,1,2B.2,1,0,1,2C.1,1D.02.已知复数1i3iaz+=+为纯虚数（其中 i 为虚数单位），则实数 a=()A.3B.3C.13D.133.已知向量(,3),(1,4),(2,1)k=abc，且(23)abc，则实数 k 的值为()A.92B.0C.3D.1524.为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了
2、其中 100 株树木的底部周长(单位：cm).根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图所示，那么在这片树木中，底部周长小于110 cm 的株数大约是()A.3000B.6000C.7000D.80005.设31531312,log 23abc=，则,a b c 的大小关系是()A.abcB.cbaC.bacD.bca6.ABCV的内角,A B C 的对边分别为,a b c，已知1sinsin4 sin,cos4aAbBcCA=，则bc=()A.6B.5C.4D.37.已知定义域为 R 的奇函数()f x 满足(3)()0fxf x+=，且当3,02x 时，221()1xf xx+=+，2 则(
3、2020)f=()A.12B.12C.1D.20208.直线 l 过点()0,2，被圆22:4690C xyxy+=截得的弦长为 2 3，则直线l 的方程是()A.423yx=+B.123yx=+C.2y=D.423yx=+或2y=9.执行下面的程序框图，则输出的 n=()A.17B.19C.21D.2310.在三棱柱111ABCABC中，1AA 平面1,2ABC ABBC AABCAB=，则异面直线1AB与1BC 所成角的余弦值为()A.2 55B.55C.155D.10511.设函数()sin()00f xxA=+，若()f x 在区间 62，上单调，且223ff=6f=，则()f x 的
4、最小正周期为()A.2B.2C.4D.12.已知函数()223f xxaxaxb=+的图象在点()()1,1f处的切线方程为12yxm=+.若函数()f x 至少有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是()A.()5,27B.5,27C.(1,3D.1,3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。3 13.若 x，y 满足约束条件0201xyxyx+，则32zxy=+的最大值为 .14.甲、乙、丙三名运动员，其中一名是足球运动员，一名是乒乓球运动员，一名是羽毛球运动员，已知丙的身高比羽毛球运动员高，甲与乒乓球运动员身高不同，乒乓球运动员比乙身高低，据此推断足球运动员是 .15
5、.已知三棱锥 ABCD中，点 A 在平面 BCD 上的射影与点 D 重合，4ADCD=.若135CBD=，则三棱锥 ABCD的外接球的体积为_.16.已知抛物线2:4C yx=的焦点为 F.过点()2,0 的直线 l 与抛物线分别交于 A B，两点，则4AFBF+的最小值为 .三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（12 分）已知等差数列 na的前 n 项和为nS，且1536225,16Saa=+=.（1）证明：nS是等差数列；（2）设2
6、nnnba=，求数列 nb的前 n 项和nT.18.（12 分）如图，三棱柱111ABCABC中，11,60CACB ABAABAA=.（1）证明：1ABAC；（2）若12,6ABCBAC=，求三棱柱111ABCABC的体积.19.（12 分）在刚刚过去的济南市第一次模拟考试中，某班学生表现突出，成绩优异.现将全班 50 名学生的成绩按班内名次统计成如下的 22列联表：前 20 名后 30 名总计 4 男生8女生10总计2050（1）完成列联表，若规定前 20 名的学生为优等生，能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，认为该班“成绩是否优等与性别有关”？请说明理由.（2）优等生中的男生的成
7、绩在学校前 100 名的只有 2 人，现从这 8 名男生中抽取 3 人，记其中男生的成绩在学校前 100 名的人数为，求 的分布列及数学期望.附：()20P Kk0.1000.0500.0100.0010k2.7063.8416.63510.82822()()()()()n adbcKab cd ac bd=+，其中 nabcd=+.20.（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为63，且经过点33,22.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点()0,2P的直线交椭圆C 于,A B 两点，求 OABV(O 为原点)面积的最大值.21.（12 分）已知函数2()exf
8、xaxx=+.（1）当1a=时，讨论()f x 的单调性；（2）当0 x 时，()3112f xx+，求 a 的取值范围.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为cos4=.（1）M 为曲线1C 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足16OMOP=，求点 P 的轨迹2C的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为2,3，点 B 在曲线2C 上，求OAB面积的最大值.5 23.选修 4-5
9、：不等式选讲（10 分）已知函数()54f xxx=+.（1）求不等式()12f x 的解集；（2）若关于 x 的不等式()1 3210af x 恒成立，求实数 a 的取值范围.6 2021 年高考文科数学预测猜题卷 全国卷版答案以及解析一、选择题1.答案：B解析：集合2|1 0|11 1 0 1Ax xxxxx=ZZ，剟?，|2By yx xA=，2,0,2，因此 2,1,0,1,2AB=.故选 B.2.答案：A解析：1i(1i)(3i)3(31)i331i3i(3i)(3i)101010aaaaaaz+=+，因为 z 为纯虚数，则 30310aa+=，解得3a=.故选 A.3.答案：C解析
10、：23(23,6)k=ab.又(23),(23)0=abcabc，即(23)2(6)0k+=，解得3k=.故选 C.4.答案：C解析：底部周长小于110 cm 的频率为(0.010.020.04)100.7+=，所以底部周长小于110 cm的株数大约是10 0000.77 000=.故选 C.5.答案：B解析：因为315313121,(0,1),log 203abc=，所以cba.故选 B.6.答案：A解析：由题意及正弦定理得，2224bac=，所以由余弦定理得222231cos224bcacAbcbc+=，化简得6bc=.故选 A.7.答案：A解析：因为函数()f x 为奇函数，()()fx
11、f x=，(3)(3),(3)()0fxf xfxf x=+=，()(3)(3)f xfxf x=，(3)(33)()f xf xf x+=+=，即(3)()()f xf xf x+=，的周期 为 3，(2020)(3 6731)(1)(1)ffff=+=，又3 02x，时，221()1xf xx+=+，22(1)111(1)(2,020)(1)122ff+=+，.故选 A.8.答案：D 7 解析：圆22:4690C xyxy+=的圆心坐标为()2,3，半径为 2.Q 直线 l 过点()0,2，被圆22:4690C xyxy+=截得的弦长为 2 3，点()0,2 在 y 轴上，圆C 与 y 轴
12、相切，圆心到直线l 的距离为 1，且直线l 的斜率存在.设所求直线l 的方程为2ykx=+，即20kxy+=，2|21|11kk=+，解得0k=或 43，所求直线方程为423yx=+或2y=.故选 D.9.答案：C解析：由程序框图知 S 等于正奇数数列13 5 L，的前 k 项和，其中*12nkk+=N，当前 k 项和大于 100 时退出循环，则21(21)135(21)2kkSkk+=+=L，当10k=时，100S=；当11k=时，121S=，退出循环.则输出的 n 的值为2 11 121=.故选 C.10.答案：D解析：1AA Q平面1,ABCAAAB，又111,BBAABBABP，又1,
13、ABBC BBBCB=，AB 平面11BB C C，该三棱柱可以补形成长方体1111ABCDABC D，连接111CDB D，则11A BCDP，11BCD是1AB 与1BC 所成的角或其补角.令1AB=，则12A ABC=，在11BCDV中，11115,2 2B DCDBC=，由余弦定理得1110cos5B CD=.故选 D.11.答案：D解析：因为()sin()f xx=+在区间 ,6 2上单调，0，所以 1 22622T=，所以 03.又因为2236fff=，所以直线2723212x+=为()sin()f xx=+图象的一条对称轴；因为2623+=，所以 ,03为()sin()f xx=
14、+图象的一个对称中心.因为 03，所以直线712x=与,03为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，所以74123T=.故选 D.12.答案：B解析：由题意，得2()323fxxaxa=+，(1)3512fa=+=，3a=，32()39f xxxxb=+.令2()3690fxxx=，得121,3xx=.当1x 或3x 时，()0,()fxf x在(,1),(3,)+上单调递增；当 13x 时，)(0fx，()f x在(1,3)8 上单调递减.当1x=时，()f x 有极大值(1)5fb=+；当3x=时，()f x 有极小值(3)27fb=.若要使()f x 至少有两个不同的零点，只需50,270,
15、bb+解得 527b.故选 B.二、填空题13.答案：7解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.结合图形可知，当直线322zyx=+过点(1 2)A，时，z 取得最大值，且max3 12 27z=+=.14.答案：乙解析：根据“甲与乒乓球运动员身高不同，乒乓球运动员比乙身高低”可得丙是乒乓球运动员.根据“丙的身高比羽毛球运动员高，乒乓球运动员比乙身高低”可得乙的身高丙的身高羽毛球运动员的身高，由此可得，乙不是羽毛球运动员，那么乙是足球运动员.15.答案：32 3解析：如图，设BCD的外接圆圆心为1O，半径为 r，三棱锥 ABCD的外接球球心为 O，半径为 R，则1OO 平面 BCD，
16、故122ADOO=.在BCD中，由正弦定理得 24 2sinCDrCBD=，故2 2r=，则2212 3RrOO=+=.故球 O 的体积3344(2 3)32 333VR=.9 16.答案：13解析：设1122,()()A x yB x y，.由抛物线的定义，知11AFx=+，21BFx=+.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x=，则434 315AFBF+=+=.当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为()2(0)yk xk=.联立得方程组()224yxyk x=，整理得()22224440k xxkk+=+.由根与系数的关系可得1 24x x=.所以()124141AFBFx
17、x+=+1245xx=+1 22 4513x x+=，当且仅当1244xx=时等号成立.所以4AFBF+的最小值为 13.三、解答题17.解析：（1）设数列 na的公差为 d，则15815225Sa=，解得815a=.所以3682730716aaadd+=，解得2d=，所以1871aad=.3 分所以2(1)22nn nSnn=+=.所以nSn=.因为当1n=时，11S=，当2n 时，1(1)1nnSSnn=，故nS是首项为 1，公差为 1 的等差数列.6 分 10 （2）由（1）可知21nan=，故2(21)2nnnnban=.7 分故1231 23 25 2(21)2nnTn=+L，234
18、121 23 25 2(21)2nnTn+=+L，9 分两式相减可得，()()1123114 1222222(21)222(21)212nnnnnTnn+=+=+L1(32)26nn+=，故1(23)26nnTn+=+.12 分18.解析：（1）如图，取 AB 的中点O，连接11,OC OA A B.因为CACB=，所以 OCAB.由于11,60ABAABAA=，故1AA BV为等边三角形，所以1OAAB.4 分因为1OCOAO=，所以 AB 平面1OAC.又1AC 平面1OAC，故1ABAC.6 分（2）由题设知ABCV与1AA BV都是边长为 2 的等边三角形，所以13OCOA=.又16A
19、C=，则22211ACOCOA=+，故1OAOC.8 分因为OCABO=，所以1OA 平面 ABC，即1OA 为三棱柱111ABCABC的高.10 分 11 又ABCV的面积3ABCS=V，故三棱柱111ABCABC的体积13ABCVSOA=V.12 分19.解析：（1）22列联表如下：前 20 名后 30 名总计男生82028女生121022总计2030502 分由列联表得2250(8 1020 12)3.46328222030K=.4 分因为3.4632.706，所以在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，可以认为该班“成绩是否优等与性别有关”.6 分（2）的可能取值为 0，1，2，312
20、2162626333888CC CC C5153(0),(1),(2)C14C28C28PPP=.9 分所以 的分布列为012P5141528328所以1533()1228284E =+=.12 分20.解析：（1）根据题意知离心率63cea=，即2223ca=.1 分因为222cab=，所以22223aba=，整理得223ab=，2 分又由椭圆C 经过点33,22，可得222233221ab+=，即2233144ab+=，12 联立，解得2231ab=，4 分所以椭圆C 的标准方程为2213xy+=.5 分（2）由题意，易知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为2ykx=+，则222
21、13ykxxy=+=，得()22131290kxkx+=，由()22(12)49 130kk=+，得21k ，7 分设()()1122,A x yB xy，则121222129,1313kxxx xkk+=+，所以212|1ABkxx=+()22121214kxxx x=+2222124911313kkkk=+22216 113kkk=+，10 分点(0,0)O到直线20kxy+=的距离221dk=+，所以222222111261|6 12213131OABkkSAB dkkkk=+=+V.令21(0)kt t=，则221kt=+，所以266634432432(3)OABtSttttt=+V，
22、当且仅当 43tt=，即243t=时等号成立，此时27,3kOAB=V的面积的最大值为32.12 分21.解析：（1）当1a=时，2()exf xxx=+，)e(12xfxx=+.2 分 13 故当(,0)x 时，)(0fx；当(0,)x+时，)(0fx.所以()f x 在(,0)单调递减，在(0,)+单调递增.5 分（2）31()12f xx+等价于3211 e12xxaxx+.设函数321()1 e(0)2xg xxaxxx=+，则32213()121e22xg xxaxxxax=+21(23)42 e2xx xaxa=+1(21)(2)e2xx xax=.7 分若 210a+，即12a
23、，则当(0,2)x时，)(0g x .所以()g x 在(0,2)单调递增，而(0)1g=，故当(0,2)x时，()1g x ，不合题意.8 分若 0212a+，即1122a，则当(0,21)(2,)xa+时，)(0g x；当(21,2)xa+时，)(0g x.所以()g x 在(0,21),(2,)a+单调递减，在(21,2)a+单调递增.由于(0)1g=，所以()1g x 当且仅当2(2)(74)e1ga=，即27e4a.所以当27e142a时，()1g x .10 分若 212a+，即12a，则31()1 e2xg xxx+.由于27e10,42，故由可得311 e12xxx+.故当12
24、a 时，()1g x .11 分综上，a 的取值范围为27e,)4+.12 分22.解析：（1）设 P 的极坐标为(),()0，M 的极坐标为1(,)()10.由题设知 OP=，14cosOM=.由16OMOP=得2C 的极坐标方程()4cos0=.4 分因此2C 的直角坐标系方程为()()22240 xyx+=.5 分（2）设点 B 的极坐标为(),B ()0B.由题设知2OA=，4cosB=，14 于是OAB的面积1sin2BSOAAOB=4cossin3=32 sin 232=23+.8 分当12=时，S 取得最大值 23+.所以OAB面积的最大值为 23+.10 分23.解析：（1）原不等式等价于5,5412xxx+或45,5412xxx +或4,5(4)12,xxx +解得132x 或 x 或112x .4 分不等式的解集为1311|22x xx 或.5 分（2）不等式1 3()210af x 恒成立等价于1 3min()21af x+，即()1 3min5421axx+.7 分()()54549xxxx+=Q，当且仅当()()540 xx+，即 45x 时，等号成立.1 3921a+，则133a，解得23a ，实数 a 的取值范围是2,3+.10 分
