1、 (建议用时：50分钟)1.如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2.E，F分别为AD，BC上的点，且EF3，EFAB，求梯形ABFE与梯形EFCD的面积比.解如图，延长AD，BC交于一点O，作OHAB于点H.，得x2h1，得h1h2.S梯形ABFE(34)h2h2，S梯形EFCD(23)h1h1，S梯形ABFES梯形EFCD75.2.如图所示，AD、BE是ABC的两条高，DFAB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于点H，求证：DF2GFHF.证明HBAC90，GBFBAC90，HGBF.AFHGFB90，AFHGFB.，AFBFGFHF.因为在RtABD中，FDAB，D
2、F2AFBF，所以DF2GFHF.3.如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点.若CFAB.证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.证明(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以，所以BCAF，故CDBC.(2)因为FGBC，所以，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD.所以BGDBDG，因为CDBC，所以CBDCDB.因为BGDEFCDBC，故BCDGBD.4.(2015全国卷)如图，
3、AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；(2)若OACE，求ACB的大小.(1)证明连接AE，由已知得AEBC，ACAB.在RtAEC中，由已知得DEDC，故DECDCE.连接OE，则OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，DE是O的切线.(2)解设CE1，AEx，由已知得AB2，BE.由射影定理可得AE2CEBE，所以x2，即x4x2120.可得x，所以ACB60.5.如图，已知AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，AC平分DAB.(1)求证：OCAD；(2)若AD2，AC，求AB的长.(1)证明AOCO，
4、OACACO，AC平分DAB，DACOAC，DACACO，OCAD.(2)解直线CD与O相切于点C，OCCD，由(1)知OCAD，ADDC，即ADC90，连接BC，AB是O的直径，ACB90，ADCACB，又DACBAC，ADCACB，AD2，AC，AB.6.如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FBFC；(2)求证：FB2FAFD；(3)若AB是ABC外接圆的直径，EAC120，BC6 cm，求AD的长.(1)证明因为AD平分EAC，所以EADDAC.因为四边形AFBC内接于圆，所以DACFBC.因为EA
5、DFABFCB，所以FBCFCB，所以FBFC.(2)证明因为FABFCBFBC，AFBBFD，所以FBAFDB，所以，所以FB2FAFD.(3)解因为AB是圆的直径，所以ACB90，又EAC120，所以ABC30，DACEAC60，因为BC6，所以ACBCtanABC2，所以AD4(cm).7.(2015全国卷)如图，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E、F两点.(1)证明：EFBC；(2)若AG等于O的半径，且AEMN2，求四边形EBCF的面积.(1)证明由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分
6、线.又因为O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AEAF，故ADEF.从而EFBC.(2)解由(1)知，AEAF，ADEF，故AD所在直线是EF的垂直平分线，又EF为O的弦，所以O在AD上.连接OE，OM，则OEAE.由AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE30.因此ABC和AEF都是等边三角形.因为AE2，所以AO4，OE2.因为OMOE2，DMMN，所以OD1.于是AD5，AB.所以四边形EBCF的面积为(2)2.8.如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B，E，F，C四点共圆.(1)证明：CA是ABC外接圆的直径；(2)若DBBEEA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值.(1)证明因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCBA，由题设知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA90，因此CA是ABC外接圆的直径.(2)解连接CE，因为CBE90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DBBE，有CEDC，又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.
