1、第5章函数概念与性质5.4函数的奇偶性第1课时奇偶性的概念第2课时奇偶性的应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2020浙江温州期中)以下函数为奇函数的是()A.y=-2xB.y=2-xC.y=x2D.y=,x(0,1)答案A解析f(x)=-2x的定义域为R,定义域关于原点对称,f(-x)=2x=-f(x),y=-2x是奇函数,A符合题意;y=2-x既不是奇函数又不是偶函数,B不符合题意;y=x2是偶函数,C不符合题意;y=,x(0,1),定义域不关于原点对称,即既不是奇函数又不是偶函数,D不符合题意.故选A.2.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x2-x,则f(1)=()
2、A.-B.-C.D.答案A解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-.3.函数f(x)=2x-的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.直线y=x对称D.原点对称答案D解析函数的定义域为(-,0)(0,+),则f(-x)=-2x+=-2x-=-f(x),则函数f(x)是奇函数,则函数f(x)=2x-的图象关于原点对称.故选D.4.若f(x)=(x-a)(x+3)为R上的偶函数,则实数a的值为()A.-3B.3C.-6D.6答案B解析因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x-a)(-x+3)=(x-a)(x+3),化简得(6-2a)x
3、=0.因为xR,所以6-2a=0,即a=3.5.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+1,则f(-2)+f(0)=.答案-5解析由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0,f(-2)+f(0)=-5.6.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为a-1,2a,则a=,b=.答案0解析由题意可知,f(-x)=f(x),即2bx=0,7.(2020北京首都师范大学附属中学期末)函数y=f(x)是R上的偶函数,且在(-,0上是增函数,若f(a)f(3),则实数a的取值范围是.答案(-,-33,+)解析因为函数y=f(x)是R上的偶函数,且在(
4、-,0上是增函数,所以f(x)在0,+)上是减函数.因为f(a)f(3),所以f(|a|)f(3),所以|a|3,解得a-3或a3.所以a的取值范围为(-,-33,+).8.已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(x)在(-1,1)上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1-2x)0.解f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,由f(1-x)+f(1-2x)0,得f(1-x)-f(1-2x),f(1-x)f(2x-1).又f(x)在(-1,1)上是减函数,解得0x0时,f(x)=-x2+ax.(1)求f(0);(2)若a=-2,求函数f(x)的解析式;(3)若函数f(x)为R上的减函数,
5、求a的取值范围.解(1)因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.(2)当a=-2时,f(x)=-x2-2x,x0.当x0,即f(-x)=-f(x)=-x2+2x,即f(x)=x2-2x.当x=0时,f(0)=-02-20=0,则f(x)=(3)当x0,即f(-x)=-f(x)=-x2-ax,所以f(x)=x2+ax,从而f(x)=因为f(x)为R上的减函数,所以x=0,解得a0.故a的取值范围为(-,0.关键能力提升练10.已知一个奇函数的定义域为-1,2,a,b,则a+b等于()A.-1B.1C.0D.2答案A解析因为一个奇函数的定义域为-1,2,a,b,根据奇函数的定义域关
6、于原点对称,所以a与b有一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1.11.已知f(x)=x5+ax3+bx-8(a,b是常数),且f(-3)=5,则f(3)=()A.21B.-21C.26D.-26答案B解析设g(x)=x5+ax3+bx,则g(x)为奇函数,由题设可得f(-3)=g(-3)-8=5,求得g(-3)=13.又g(x)为奇函数,所以g(3)=-g(-3)=-13,于是f(3)=g(3)-8=-13-8=-21.12.(2020甘肃兰州一中月考)函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x21,+)(x1x2),有0,且函数f(x+1)为偶函数,则()A.f(1)f(-
7、2)f(3)B.f(3)f(-2)f(1)C.f(-2)f(3)f(1)D.f(-2)f(1)f(3)答案C解析因为对任意的x1,x21,+)(x1x2),有0,所以对任意的x1,x21,+)(x1x2),x2-x1与f(x2)-f(x1)均为异号,所以f(x)在1,+)上是减函数.又函数f(x+1)为偶函数,即f(x+1)=f(1-x),所以f(-2)=f(4).所以f(-2)=f(4)f(3)0的x的取值范围是()A.B.(-,-2)(-1,1)(2,+)C.(-1,1)D.(-,-2)(2,+)答案B解析因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-,0上是减函数,且f(-1)=0,所以f
8、(1)=0,函数f(x)在(0,+)上是增函数.由题意可知,x2-4=0不满足条件.当x0时,若x2-40,可得-20得f(x)0=f(-1),可得-10,可得x0得f(x)0=f(-1),可得x-1,所以x0时,若x2-40,可得0x0得f(x)0=f(1),可得0x0,可得x2,则由(x2-4)f(x)0得f(x)0=f(1),可得x1,所以x2.综上所述,x的取值范围为(-,-2)(-1,1)(2,+).故选B.15.(多选)(2020江苏无锡期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=x-x2,则下列说法正确的是()A.f(x)的最大值为B.f(x)在-1,-是增函
9、数C.f(x)0的解集为(-1,1)D.f(x)+2x0的解集为0,3答案ABD解析f(x)是偶函数,当x0时,f(x)=-x2+x=-x-2+,f(x)最大值是,当x0时,f(x)最大值也是,故A正确;f(x)在,1上是减函数,因此f(x)在-1,-上是增函数,故B正确;f(0)=0,故C错误;当x0时,f(x)+2x=3x-x20,解得0x3,当x0时,-x0,f(x)=f(-x)=(-x)-(-x)2=-x-x2,f(x)+2x=x-x20,解得0x1.综上,f(x)+2x0的解集是0,3,故D正确.故选ABD.16.(多选)(2020安徽宁国中学月考)已知函数y=f(x+2)是偶函数,
10、且y=f(x)在(0,2)上是增函数,则下列结论一定正确的有()A.函数y=f(x-2)是偶函数B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.ff(1)f(3)f,故C正确;y=f(x)在(2,4)上是减函数,由22x4得1x0时,f(x)=x2-x,则当x0时,f(x)=.答案-x2-x解析当x0,f(x)=-f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2-x.19.设定义在-2,2上的奇函数f(x)=x5+x3+b.(1)求b的值;(2)若f(x)在0,2上是增函数,且f(m)+f(m-1)0,求实数m的取值范围.解(1)因为函数f(x)是定义在-2,2上的奇函数,所以f(0)=0,解得b=0.
11、(2)因为函数f(x)在0,2上是增函数,又因为f(x)是奇函数,所以f(x)在-2,2上是增函数.因为f(m)+f(m-1)0,所以f(m-1)-f(m)=f(-m),所以解得f(2m-1),求m的取值范围;(2)若函数f(x)是奇函数,且f(2)=1,解不等式f(x+1)+10.解(1)由题意可得解得-1m0,f(x+1)-1,f(x+1)f(-2),-3x2.原不等式的解集为(-3,2.学科素养创新练21.(2020江苏常熟中学月考)已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,aR.(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)当f(x)为偶函数时,求使得不等式f(x)k|x|恒成立的实数k的取值范围.
12、解(1)当a=0时,f(x)=x2+|x|+1,f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x),f(x)为偶函数;当a0时,f(-x)=(-x)2+|-x-a|+1=x2+|x+a|+1,f(-x)f(x)且f(-x)-f(x),f(x)既不是奇函数也不是偶函数.综上,当a=0时,f(x)为偶函数,当a0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)由(1)知,若f(x)为偶函数,则a=0,则f(x)=x2+|x|+1,f(x)k|x|等价于x2+|x|+1k|x|,当x=0时,不等式化为10,恒成立,满足题意;当x0时,不等式等价于k|x|+1,又|x|+12+1=3,当且仅当|x|=,即x=1时,等号成立,k3.故实数k的取值范围为(-,3.
