1、2016年四川省成都外国语学校高考数学模拟试卷（文科）（三）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若图所示的集合A=1，2，3，B=xZ|x26x+80，则图中阴影部分表示的集合为（）A1，2B1，3C1，4D2，32已知i是复数的虚数单位，若复数z（1+i）=|2i|，则复数z=（）AiB1+iC1+iD1i3在等差数列an中，若a4+a6+a8=6，则a7a8=（）A1B2C3D44已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（）ABCD5已知点A（1，1），B（1，2），C（2，1），D（3，4）
2、，则向量在方向上的投影为（）ABCD6执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）ABC0D7如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）ABCD8若函数f（x）=1+xlg是其定义域上的偶函数，则函数y=f（x）的图象不可能是（）ABCD9经过双曲线=1（a0，b0）的右焦点F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于M，N两点，若|MN|=，则该双曲线的离心率是（）A2或B或CD10已知函数f（x）=（3x+1）ex+1+mx（m4e），若有且仅有两个整数使得f（x）0，则实数m的取值范围是（）A（，2B，
3、）C，）D4e，）二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上11计算lg+lg2log3=_12某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号150号，并分组，第一组15号，第二组610号，第十组4650号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为_的学生13已知O是坐标原点，点A（1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是_14已知A（0，1），B（，0），C（，2），则ABC内切圆的圆心到直线y=x+1的距离为_15设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），f（
4、x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），若在区间（a，b）上，f（x）恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”例如函数f（x）=lnx在任意正实数区间（a，b）上都是凸函数现给出如下命题：区间（a，b）上的凸函数f（x）在其图象上任意一点（x，f（x）处的切线的斜率随x的增大而减小；若函数f（x），g（x）都是区间（a，b）上的凸函数，则函数y=f（x）g（x）也是区间（a，b）上的凸函数；若在区间（a，b）上，f（x）0恒成立，则x1，x2（a，b），x1x2，都有f（）；对满足|m|1的任意实数m，若函数f（x）=x4mx3x2+mxm在区间（a，b）上均为凸函数，则ba的
5、最大值为2已知函数f（x）=，x（1，2），则对任意实数x，x0（1，2），f（x）f（x0）+f（x0）（xx0）恒成立；其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.16已知向量=（sinx+cosx， cosx），=（cosxsinx，2sinx）（0），若函数f（x）=的相邻两对称轴间的距离等于（）求的值；（）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且f（C）=1，c=2，且sinC+sin（BA）=3sin2A，求ABC的面积172016年5月20日，针对部分“二线城市”房价上涨过快，媒体认为国
6、务院常务会议可能再次确定五条措施（简称“国五条”）为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：月收入（百元）赞成人数15，25）825，35）735，45）1045，55）655，65）265，75）2（）试根据频率分布直方图估计这60人的中位数和平均月收入；（）若从月收入（单位：百元）在65，75）的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，求被选取的2人都不赞成的概率18如图，在四棱锥PABCD中，E为AD上一点，PE平面ABCD，ADBC，ADCD，BC=E
7、D=2AE，F为PC上一点，且CF=2FP（）求证：PA平面BEF；（）求三棱锥PABF与三棱锥FEBC的体积之比19已知各项为正数的数列an的前n项和为Sn且满足an2+2an=4Sn（）数列an的通项an；（）令bn=，求数列bn的前n项和Tn20已知F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（1，）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足+=；（1）求椭圆的标准方程；（2）O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B当=且满足时，求AOB面积S的取值范围21设知函数f（x）=x+alnx（aR）（e=2.71828是自然对数的底数）（）
8、若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线为y=0，求实数a的值；（）若函数f（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；（）设函数f（x）的两个极值点为x1和x2，记过点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）的直线的斜率为k，是否存在a，使得ka2？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由2016年四川省成都外国语学校高考数学模拟试卷（文科）（三）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若图所示的集合A=1，2，3，B=xZ|x26x+80，则图中阴影部分表示的集合为（）A1，2B1，3C1，4D2，3【考点】Ve
9、nn图表达集合的关系及运算【分析】根据阴影部分对应的集合为U（AB）（AB），然后根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：由题意可知阴影部分对应的集合为U（AB）（AB），x26x+80，（x2）（x4）0，解的2x4，B=2，3，4，A=1，2，3，AB=2，3，AB=1，2，3，4，U（AB）（AB）=1，4，故选：C2已知i是复数的虚数单位，若复数z（1+i）=|2i|，则复数z=（）AiB1+iC1+iD1i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z（1+i）=|2i|=2，故选：D3在等差数列an中，若a4+a6+a
10、8=6，则a7a8=（）A1B2C3D4【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a4+a6+a8=6，3a1+15d=6a1+5d=2则a7a8=a1+6d=1故选：A4已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图和题意知，三棱锥的底面边长和三棱锥的高，由锥体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：由三视图和题意知，三棱锥的底面是等腰直角三角形，底边和底边上的高分别为、，三棱锥的高是2，几何体的体积V=，故选：D5已知点A（1，1），B（1，2）
11、，C（2，1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】先求向量，的坐标，然后根据投影的计算公式即可求出向量在方向上的投影为，从而进行数量积的坐标运算，以及根据坐标求向量长度即可【解答】解：；向量在方向上的投影为： =故选D6执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）ABC0D【考点】程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当i=1时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=2；当i=2时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的
12、条件，故i=3；当i=3时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=3；当i=4时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=5；当i=5时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=6；当i=6时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=7；当i=7时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=8；当i=8时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=9；当i=9时，执行完循环体后：S=，不满足继续循环的条件，故输出结果为，故选：A7如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图
13、象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C8若函数f（x）=1+xlg是其定义域上的偶函数，则函数y=f（x）的图象不可能是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】先根据偶函数的性质得到a+b=0，在分类讨论即可判断函数的图象【解答】解：因为f（x）偶函数，所以1xlg=1+xlg，所以=，a+b=0，当a=b=0时，选项A正确，当a=b0时，f（x）1选项B正确，当a
14、=b0时，f（x）1选项D正确，故选：C9经过双曲线=1（a0，b0）的右焦点F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于M，N两点，若|MN|=，则该双曲线的离心率是（）A2或B或CD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据直线垂直的等价条件求出直线方程，利用方程组法求出交点坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可【解答】解：双曲线的右焦点F（c，0），双曲线的渐近线方程为y=x，则过F与y=x垂直的直线的斜率k=，则对应的方程为y=（xc），由得，即M（，），由得，即N（，），|MN|=，|MN|2=a2，即（）+（+）2=a2，整理得=，即=或=，即8c2=10a2或10a2=2c2，则e2
15、=或e2=5，则e=或，故选：B10已知函数f（x）=（3x+1）ex+1+mx（m4e），若有且仅有两个整数使得f（x）0，则实数m的取值范围是（）A（，2B，）C，）D4e，）【考点】函数的图象【分析】根据不等式的关系转化为两个函数的大小关系，构造函数g（x）=mx，h（x）=（3x+1）ex+1，利用g（x）h（x）的整数解只有2个，建立不等式关系进行求解即可【解答】解：由f（x）0得（3x+1）ex+1+mx0，即mx（3x+1）ex+1，设g（x）=mx，h（x）=（3x+1）ex+1，h（x）=（3ex+1+（3x+1）ex+1）=（3x+4）ex+1，由h（x）0得（3x+4）0
16、，即x，由h（x）0得（3x+4）0，即x，即当x=时，函数h（x）取得极大值，当m0时，满足g（x）h（x）的整数解超过2个，不满足条件当m0时，要使g（x）h（x）的整数解只有2个，则满足，即，即，即m，即实数m的取值范围是，），故选：B二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上11计算lg+lg2log3=【考点】对数的运算性质【分析】根据对数的运算性质计算即可【解答】解：lg+lg2log3=lg5+lg2=lg10=，故答案为：12某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号150号，并分组，第一组15号
17、，第二组610号，第十组4650号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为37的学生【考点】系统抽样方法【分析】由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大（83）5，由此能求出结果【解答】解：这50名学生随机编号150号，并分组，第一组15号，第二组610号，第十组4650号，在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为12+（83）5=37故答案为：3713已知O是坐标原点，点A（1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是2，0）【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算【分析】根据指数函数和对数函数的单调性便可将已知的不等式组变成，可求出，并
18、设z=xy，从而y=xz，z便表示直线y=xz在y轴上的截距，可画出不等式组所表示的平面区域，这样由线性规划的知识即可求出z的范围，即得出的取值范围【解答】解：解2x11得，x1，解log2（y1）0得，1y2；点M（x，y）所在平面区域为；设z=xy，即y=xz，z表示直线y=xz在y轴上的截距，作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示：由线性规划的知识得，0z2；2z0；的取值范围为2，0）故答案为：2，0）14已知A（0，1），B（，0），C（，2），则ABC内切圆的圆心到直线y=x+1的距离为1【考点】点到直线的距离公式【分析】由三角形的三个顶点坐标求出内切圆的圆心，再由点到直线
19、的距离公式求得答案【解答】解：A（0，1），B（，0），C（，2），AB的中点坐标为（，），又kAB=，AB的垂直平分线的斜率为k=，则AB的垂直平分线方程为y=（x+），又BC的垂直平分线方程为y=1，代入上式得：ABC外接圆的圆心，也是内切圆的圆心I（，1），则C到直线y=x+1的距离为d=1故答案为：115设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），若在区间（a，b）上，f（x）恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”例如函数f（x）=lnx在任意正实数区间（a，b）上都是凸函数现给出如下命题：区间（a，b）上的凸函
20、数f（x）在其图象上任意一点（x，f（x）处的切线的斜率随x的增大而减小；若函数f（x），g（x）都是区间（a，b）上的凸函数，则函数y=f（x）g（x）也是区间（a，b）上的凸函数；若在区间（a，b）上，f（x）0恒成立，则x1，x2（a，b），x1x2，都有f（）；对满足|m|1的任意实数m，若函数f（x）=x4mx3x2+mxm在区间（a，b）上均为凸函数，则ba的最大值为2已知函数f（x）=，x（1，2），则对任意实数x，x0（1，2），f（x）f（x0）+f（x0）（xx0）恒成立；其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据函数的凹凸性
21、的定义，函数的单调性判断，举例判断，根据函数的单调性求出ba的最大值判断，构造新函数结合函数的单调性求出F（x）的最大值判断【解答】解：有凸函数的图象作切线变知正确，或者因为在区间（a，b）上，f（x）0恒成立，所以f（x）在区间（a，b）单调减，所以结论成立，正确；举反例说明：如：函数f（x）=x2，在区间（0，1）都是凸函数，但是f（x）g（x）=x在区间（0，1）不是凸函数，错误；若在区间（a，b）上，f（x）0恒成立，所以函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”有图象知道成立，正确；因为f（x）=x2mx2的两个零点为a，b（ab），所以（ba）2=（a+b）24ab=m2+8在m1
22、，1的最大值为9，即（ba）max=3，错误；由已知转化为，数形结合转化割线与切线的问题，或者构造新函数F（x）=f（x）f（x0）f（x0）（xx0），注意：F（x0）=0因为F（x）=f（x）f（x0）而，F（x）=f（x）0，所以F（x）=f（x）f（x0）单调减，且F（x）F（x0）=0，所以，F（x）max=F（x0）=0，正确；故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.16已知向量=（sinx+cosx， cosx），=（cosxsinx，2sinx）（0），若函数f（x）=的相邻两对称轴间的距离等于（）求的值；（）在ABC中，a、b、
23、c分别是角A、B、C所对的边，且f（C）=1，c=2，且sinC+sin（BA）=3sin2A，求ABC的面积【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】（）由数量积的坐标表示得到f（x），降幂后利用辅助角公式化积，代入周期公式求的值；（）由f（C）=1求得C，由已知得到sinBcosA=3sinAcosA然后分cosA=0和cosA0分类求解求得ABC的面积【解答】解：（）=（sinx+cosx， cosx），=（cosxsinx，2sinx），f（x）=，0，函数f（x）的周期T=，则=1；（）由（）得，f（C）=1，而，得由 C=（A+B），得sinC=sin（B+A）
24、=sinBcosA+cosBsinA，sinC+sin（BA）=3sin2A，sinBcosA+cosBsinA+sinBcosAcosBsinA=6sinAcosA，整理得sinBcosA=3sinAcosA若cosA=0，即A=时，ABC是直角三角形，且B=，于是b=ctanB=2tan=，SABC=bc=若cosA0，则sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a由余弦定理得：c2=a2+b22abcos60联立，结合c=2，解得a=，b=，SABC=absinC=综上，ABC的面积为或172016年5月20日，针对部分“二线城市”房价上涨过快，媒体认为国务院常务会议可能再次确定五条措施（
25、简称“国五条”）为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：月收入（百元）赞成人数15，25）825，35）735，45）1045，55）655，65）265，75）2（）试根据频率分布直方图估计这60人的中位数和平均月收入；（）若从月收入（单位：百元）在65，75）的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，求被选取的2人都不赞成的概率【考点】频率分布直方图【分析】（）根据中位数的两边频率相等，列出方程即可求出中位数；利用频率分布直方图中各小矩形的底边中点坐标对
26、应的频率，再求和，即得平均数；（）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值【解答】解：（）设中位数为x，由直方图知：100.015+100.015+（x35）0.025=0.5，解得x=43；平均数为=（200.015+300.015+400.025+500.02+600.015+700.01）10=43.5；这60人的平均月收入约为43.5百元；（）月收入为（单位：百元）在65，75）的人数为：60100.01=6人，由表格赞成人数2人，则不赞成的4人为：记不赞成的人为：a，b，c，d；赞成人数为：A，B则从这6人中随机地选取2人一共有15种结果如下：ab，ac，ad，aA，aB，bc，b
27、d，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB；其中被选取的2人都不赞成的结果有6种结果如下：ab，ac，ad，bc，bd，cd；记事件A：“被选取的2人都不赞成”，则：P（A）=；故被选取的2人都不赞成的概率为18如图，在四棱锥PABCD中，E为AD上一点，PE平面ABCD，ADBC，ADCD，BC=ED=2AE，F为PC上一点，且CF=2FP（）求证：PA平面BEF；（）求三棱锥PABF与三棱锥FEBC的体积之比【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（） 连接AC交BE于点M，运用平行线分线段成比例的逆定理，证得FMAP，再由线面平行的判定定理，即可得证；（）运用
28、棱锥的体积公式和等积法，结合线面垂直的性质和判定，以及平行线分线段成比例的性质，即可求出点到平面的距离，再由体积公式，即可得到【解答】（） 证明：连接AC交BE于点M，连接FMEMCD，=，FMAP，FM面BEF，PA面BEF，PA面BEF；（）设BC=2a，BE=b，PF=c，PE=d，则由于CF=2FP，则F到平面BCDE的距离为d，则三棱锥FEBC的体积为d2ab=abd，三棱锥PABF的体积即为三棱锥APBF的体积，过E作ENPB，垂足为N，由于PE平面ABCD，则PEBC，又BCBE，则有BC平面PBE，即有BCEN，则EN平面PBC，且EN=，由于ED=2AE，则A到平面PBF的距
29、离为EN=，则三棱锥APBF的体积为=abd，则三棱锥PABF与三棱锥FEBC的体积之比为9：419已知各项为正数的数列an的前n项和为Sn且满足an2+2an=4Sn（）数列an的通项an；（）令bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）运用n=1时，a1=S1，当n2时，an=SnSn1，结合等差数列的通项公式，即可得到所求；（）求得bn=（）= ，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和【解答】解：（）当n=1时，an2+2an=4Sn即为，解得a1=2或者a1=0（舍去）又当n2时，得：，分解因式得（an+an1）（anan12）=0；又
30、an0，可得anan1=2（n2），则数列an是以首项为2，公差为2的等差数列，则an=2n；（）bn=（）= ，则Tn=b1+b2+bn= += =20已知F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（1，）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足+=；（1）求椭圆的标准方程；（2）O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B当=且满足时，求AOB面积S的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的标准方程（）由圆O与直线l相切，和m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，由此
31、能求出AOB面积S的取值范围【解答】解：（）+=，点M是线段PF2的中点，OM是PF1F2的中位线，又OMF1F2PF1F1F2，解得a2=2，b2=1，c2=1，椭圆的标准方程为=1（）圆O与直线l相切，即m2=k2+1，由，消去y：（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，直线l与椭圆交于两个不同点，0，k20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，=x1x2+y1y2=，解得：，S=SAOB=，设=k4+k2，则，S=，S关于在上单调递增，S（）=，S（2）=21设知函数f（x）=x+alnx（aR）（e=2.71828是自然对
32、数的底数）（）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线为y=0，求实数a的值；（）若函数f（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；（）设函数f（x）的两个极值点为x1和x2，记过点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）的直线的斜率为k，是否存在a，使得ka2？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线为y=0，可得f（1）=0，即可求实数a的值；（）若函数f（x）在定义域上不单调，分类讨论，结合二次函数的性质求a的取值范围；（）若，则，由（）知，不妨设x1（0，1），x2（1，+
33、）且有x1x2=1，则得x1x2（lnx1lnx2），即x2+lnx20，x2（1，+），构造函数，即可求出a的取值集合【解答】解：（）f（x）的定义域为（0，+），并求导，f（1）=0，得a=2；（）f（x）的定义域为（0，+），并求导，令g（x）=x2ax+1，其判别式=a24，由已知必有0，即a2或a2；当a2时，g（x）的对称轴且g（0）=10，则当x（0，+）时，g（x）0，即f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递减，不合题意；当a2时，g（x）的对称轴且g（0）=10，则方程g（x）=0有两个不等x1和x2，且x1（0，1），x2（1，+），x1x2=1，当x（0，x1），x（
34、x2，+）时，f（x）0；当x（x1，x2）时，f（x）0，即f（x）在（0，x1），（x2，+）上单调递减；在（x1，x2）上单调递增；综上可知，a的取值范围为（2，+）；（）假设存在满足条件的a，由（1）知a2因为，所以，若，则，由（1）知，不妨设x1（0，1），x2（1，+）且有x1x2=1，则得x1x2（lnx1lnx2），即x2+lnx20，x2（1，+） （*）设F（x）=x+lnx（x1），并记x1= ，x2= +，则由（1）知，F（x）在上单调递增，在上单调递减，且，又F（1）=F（e）=0，所以当x（1，e）时，F（x）0；当x（e，+）时，F（x）0，由方程（*）知，F（x2）0，故有x2e，又由（1）知，知（在e+）上单调递增），又a2，因此a的取值集合是2016年9月18日
