1、高考资源网() 您身边的高考专家 (建议用时:90分钟)1.(2016遵义联考)椭圆1(ab0)与直线xy10相交于P,Q两点,且OPOQ(O为原点).(1)求证:等于定值;(2)若椭圆的离心率e,求椭圆长轴长的取值范围.(1)证明由消去y,得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0,直线与椭圆有两个交点,0,即4a44(a2b2)a2(1b2)0a2b2(a2b21)0,ab0,a2b21.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1 、x2是方程的两实根.x1x2,x1x2.由OPOQ得x1x2y1y20,又y11x1,y21x2,得2x1x2(x1x2)10.式代入式化简得a2b22a2
2、b2.2.(2)解利用(1)的结论,将a表示为e的函数由eb2a2a2e2,代入式,得2e22a2(1e2)0.a2.e,a2.a0,a.长轴长的取值范围是,.2.(2015北京卷)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得OQMONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.解(1)由题意得解得a22,故椭圆C的方程为y21.设M(xM,0).因为m0,所以1n1.直线PA的方程
3、为y1x.所以xM,即M.(2)因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,n).设N(xN,0),则xN.“存在点Q(0,yQ)使得OQMONQ”,等价于“存在点Q(0,yQ)使得”,即yQ满足y|xM|xN|.因为xM,xN,n21.所以y|xM|xN|2.所以yQ或yQ.故在y轴上存在点Q,使得OQMONQ,点Q的坐标为(0,)或(0,).3.(2016太原模拟)如图所示,在直角坐标系xOy中,点P到抛物线C:y22px(p0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB的中点Q(m,n)在直线OM上.(1)求曲线C的方程及t的值.(2)记d,求d的最大值.解
4、(1)y22px(p0)的准线为x,1,p,抛物线C的方程为y2x.又点M(t,1)在曲线C上,t1.(2)由(1)知,点M(1,1),从而nm,即点Q(m,m),依题意,直线AB的斜率存在,且不为0,设直线AB的斜率为k(k0).且A(x1,y1),B(x2,y2),由得(y1y2)(y1y2)x1x2,故k2m1,所以直线AB的方程为ym(xm),即x2my2m2m0.由消去x,整理得y22my2m2m0,所以4m4m20,y1y22m,y1y22m2m.从而|AB| |y1y2|2.d2m(1m)1,当且仅当m1m,即m时,上式等号成立,又m满足4m4m20.d的最大值为1.4.如图,已
5、知椭圆C:y21(a1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:x2y26x2y70相切.(1)求椭圆C的方程;(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点,且0,求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.(1)解将圆M的一般方程x2y26x2y70化为标准方程为(x3)2(y1)23,圆M的圆心为M(3,1),半径r.由A(0,1),F(c,0)(c)得直线AF:y1,即xcyc0.由直线AF与圆M相切,得.c或c(舍去).a,椭圆C的方程为y21.(2)证明由0,知APAQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP的方程为ykx1,直线AQ的方程为yx1(k0),将y
6、kx1代入椭圆C的方程y21并整理得:(13k2)x26kx0,解得x0或x,因此P的坐标为,即.将上式中的k换成,得Q.直线l的方程为y,化简得直线l的方程为yx.因此直线l过定点N.5.(2016南昌模拟)已知圆E:x2经过椭圆C:1(ab0)的左、右焦点F1,F2,且与椭圆C在第一象限的交点为A,且F1,E,A三点共线,直线l交椭圆C于M,N两点,且(0).(1)求椭圆C的方程;(2)当三角形AMN的面积取到最大值时,求直线l的方程.解(1)如图,圆E经过椭圆C的左、右焦点F1,F2,F1,E,A三点共线,F1A为圆E的直径,AF123,AF2F1F2.令y0,则x2,解得x,c.|AF
7、2|2|AF1|2|F1F2|2981,2a|AF1|AF2|4,a2b2c2,解得a2,b,椭圆C的方程为1.(2)由(1)得点A的坐标为(,1),(0),直线l的斜率为,故设直线l的方程为yxm,联立方程组消去y得x2mxm220,设M(x1,y1),N(x2,y2),x1x2m,x1x2m22,2m24m280,2mb0)的离心率e,点A为椭圆上一点,F1AF260,且SF1AF2.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l:ykxm与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线x4相交于点Q.问:在x轴上是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过定点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.解
8、(1)由e可得a24c2,SF1AF2|AF1|AF2|sin 60,可得|AF1|AF2|4,在F1AF2中,由余弦定理可得|F1A|2|F2A|22|F1A|F2A|cos 604c2,又|AF1|AF2|2a,可得a2c23,联立得a24,c21.b23,椭圆C的方程为1.(2)设点P(x0,y0),由得(4k23)x28kmx4m2120,由题意知64k2m24(4k23)(4m212)0,化简得4k2m230,x0,y0,P.由得Q(4,4km),假设存在点M,坐标为(x1,0),则,(4x1,4km).以PQ为直径的圆恒过M点,0,即4x1x30,(4x14)x4x130对任意k,m都成立.则解得x11,故存在定点M(1,0)符合题意.- 7 - 版权所有高考资源网