1、1.(2016苏州期中)设二次函数f(x)ax24xc(xR)的值域为0,),则的最小值为_.解析由题意知,a0,二次函数f(x)的图象与x轴有一个交点,则164ac0,所以ac4,c0.则23,当且仅当时取等号,则的最小值是3.答案32.(2015南通月考)若不等式ax2bxc0的解集是(4,1),则不等式b(x21)a(x3)c0的解集为_.解析由题意可知,4,1是方程ax2bxc0的两根,且a0,所以3,4,即b3a,c4a,不等式b(x21)a(x3)c0可化为3x2x40,解得x1.答案3.(2015苏、锡、常、镇四市调研)已知常数a0,函数f(x)x(x1)的最小值为3,则a的值为
2、_.解析因为f(x)x11,且x10,所以f(x)213,当且仅当x1,即x10时取等号,此时a1.答案14.(2015徐州质检)若实数x,y满足xy40,则zx2y26x2y10的最小值为_.解析不等式xy40表示直线xy40上方的区域(包含边界),点(3,1)在直线xy40的下方,所以z的最小值即为点(3,1)到直线xy40的距离的平方,即为18.答案185.记不等式组所表示的平面区域为D.若直线ya(x1)与D有公共点,则a的取值范围是_.解析如图阴影部分为不等式组表示的平面区域,因为直线ya(x1)表示经过点P(1,0)且斜率为a的直线,结合图形易知kPAakPB4,故a的取值范围是.
3、答案6.若关于x的不等式(ax20)lg 0对任意的正实数x恒成立,则实数a的取值集合是_.解析由0,x0得a0.由不等式(ax20)lg 0得或所以2a,a.答案7.已知函数f(x)ax22(a0且a1)的图象恒过定点A(m,n),则不等式组所表示的平面区域的面积是_.解析由于函数f(x)ax22(a0且a1)的图象恒过定点A(2,1),即则不等式组为作出可行域,如图中阴影部分所示.由图可以看出四边形DBOC落在以1和4为宽和长的矩形内,由图可知四边形DBOC的面积为42.答案28.(2016南通一模)过定点P(1,2)的直线在x轴正半轴、y轴正半轴上的截距分别为a,b,则4a2b2的最小值
4、为_.解析根据题意设直线方程为1(a0,b0),则1.由基本不等式可得2,即1,2,ab8,当且仅当,即a2,b4时取等号,所以4a2b24ab32,当且仅当a2,b4时取等号,故4a2b2的最小值为32.答案329.(2015南京、盐城二模)已知函数f(x),xR,则不等式f(x22x)f(3x4)的解集是_.解析因为f(x)所以函数f(x)在(,0)上单调递增,所以解得1x2.答案(1,2)10.已知正实数a,b满足9a2b21,则的最大值为_.解析因为(9a2b2)18221818361872,当且仅当b3a时取等号,所以72.又a,b都是正实数,所以6,则,当且仅当b3a时取等号,即的
5、最大值为.答案11.已知f(x)log2(x2),若实数m,n满足f(m)f(2n)3,则mn的最小值是_.解析由已知条件可得(m2)(n1)4(m2,n1).法一由(m2)(n1)4得m2,则mnn2n13237.当且仅当n1,即n3时,等号成立.法二注意到(m2)(n1)4与待求式之间的关系,有mn(m2)(n1)3237,当且仅当m2n1,即m2n12,m4,n3时,等号成立.答案712.(2015苏锡常镇二模)设实数n6,若不等式2xm(2x)n80对任意x4,2都成立,则的最小值为_.解析设f(x)2xm(2x)n8(2mn)x(2n8)为关于x的一次函数.由题设得即作出不等式组所表
6、示的可行域如图所示,设t,则t表示可行域内的点与坐标原点所连线段的斜率,可得t3.g(t)t2在t3上为减函数,g(t).故的最小值为.答案13.若不等式x22x2|a2|对于一切实数x均成立,则实数a的取值范围是_.解析依题意,函数yx22x2(x1)21的最小值是1,于是有|a2|1,即1a21,1a3,即实数a的取值范围是(1,3).答案(1,3)14.(2015徐州质量检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)x23x,则不等式f(x1)x4的解集是_.解析由函数f(x)是奇函数,且x0时,f(x)x23x,得x0时,f(x)x23x.所以不等式f(x1)x4等价于或,不等式组无解,解不等式组可得x4,综上可得,不等式f(x1)x4的解集为(4,).答案(4,)