1、一、填空题1.(2015哈师大附中检测)设函数 f(x)axln x(aR，a0)，若 f(e)2，则 f(e)的值为_.解析 f(x)aln xa，故 f(e)2a2，得 a1，故 f(x)xln x，f(e)e.答案 e2.(2015扬州模拟)曲线 yx2ln x 在点(1，1)处的切线方程为_.解析 y2x1x，故 y|x13，故在点(1，1)处的切线方程为 y13(x1)，化简整理得 3xy20.答案 3xy203.若函数 f(x)x2ax1 在 x1 处取极值，则 a_.解析 由 f(x)2x（x1）（x2a）（x1）2x22xa（x1）20，x22xa0，x1，又 f(x)在 x1
2、 处取极值，x1 是 x22xa0 的根，a3.答案 34.三次函数 f(x)mx3x 在(，)上是减函数，则 m 的取值范围是_.解析 f(x)3mx210 在(，)上恒成立，x0 时，10 恒成立，即 mR；x0 时，有 m 13x2在 R 上恒成立，13x20，m0，又 m0 时，f(x)x 不是三次函数，不满足题意.综上 m0.答案(，0)5.(2015南通、扬州、泰州、宿迁四市调研)若函数 f(x)x3ax2bx 为奇函数，其图象的一条切线方程为 y3x4 2，则 b 的值为_.解析 由函数 f(x)x3ax2bx 为奇函数可得 a0.设切点坐标为(x0，y0)，则y0 x30bx0
3、3x04 2，又 f(x)3x2b，所以 f(x0)3x20b3，联立解得x0 2，b3.答案 36.(2014无锡模拟)已知函数 yx33xc 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c_.解析 y3x23，当 y0 时，x1.则 y，y 的变化情况如下表；x(，1)1(1，1)1(1，)y00yc2c2因此，当函数图象与 x 轴恰有两个公共点时，必有 c20 或 c20，c2 或 c2.答案 2 或 27.设函数 g(x)x(x21)，则 g(x)在区间0，1上的最小值为_.解析 g(x)x3x，由 g(x)3x210，解得 x 33 或 33(舍去).当 x 变化时，g(x)与 g(x)的变
4、化情况如下表：x00，333333，11 g(x)0 g(x)0极小值0所以当 x 33 时，g(x)有最小值 g33 2 39.答案 2 398.(2015石家庄模拟)若不等式 2xln xx2ax3 对 x(0，)恒成立，则实数 a 的取值范围是_.解析 2xln xx2ax3，则 a2ln xx3x，设 h(x)2ln xx3x(x0)，则 h(x)（x3）（x1）x2.当 x(0，1)时，h(x)0，函数 h(x)单调递减；x(1，)时，h(x)0，函数 h(x)单调递增，所以 h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故 a 的取值范围是(，4.答案(，49.从边长为 10
5、cm16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_cm3.解析 设盒子容积为 y cm3，盒子的高为 x cm.则 y(102x)(162x)x4x352x2160 x(0 x0，f(x)ln x12ax，由于函数 f(x)有两个极值点，则 f(x)0 有两个不等的正根，即函数 yln x1 与 y2ax 的图象有两个不同的交点(x0)，则 a0；设函数 yln x1 上任一点(x0，1ln x0)处的切线为 l，则 kly 1x0，当 l 过坐标原点时，1x01ln x0 x0 x01，令 2a1a12，结合图象知 0a0时，xf(x)f(x)
6、0，则使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是_.解析 因为 f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以 f(1)f(1)0.当 x0 时，令 g(x)f（x）x，则 g(x)为偶函数，且 g(1)g(1)0.则当 x0 时，g(x)f（x）xxf（x）f（x）x20，故 g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数.所以在(0，)上，当0 x1时，g(x)g(1)0f（x）x0f(x)0；在(，0)上，当 x1 时，g(x)g(1)0f（x）x0f(x)0.综上，使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0，1).答案(，1)(0，1)12.已知函数 f(x)的定义域是1，
7、5，部分对应值如下表.f(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示.x1045f(x)1221下列关于函数 f(x)的命题：函数 yf(x)在0，2上是减函数；如果当 x1，t时，f(x)的最大值是 2，那么 t 的最大值是 4；当 1a2 时，函数 yf(x)a 有 4 个零点.其中真命题的个数是_.解析 yf(x)在0，2上为负，故函数 yf(x)在0，2上是减函数，正确；当 x1，t时，f(x)的最大值是 2，t 的最大值是 5，错误；当 1a2 时，函数 yf(x)a 可能有 2 个，3 个或 4 个零点，故错误.答案 113.(2015南京调研)已知函数 f(x)x1(e1)ln x，
8、其中 e 为自然对数的底，则满足 f(ex)0 的 x 的取值范围为_.解析 令 g(x)f(ex)ex1(e1)x，则 g(x)ex(e1)，当 xln(e1)时，g(x)0，x(，ln(e1)时，g(x)0，g(x)单调递增，又 g(x)有 0 和 1 两个零点，所以 f(ex)0 的x 的取值范围为(0，1).答案(0，1)14.(2015全国卷改编)设函数 f(x)ex(2x1)axa，其中 a1，若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)0，则 a 的取值范围是_.解析 设 g(x)ex(2x1)，yaxa，由题知存在唯一的整数 x0，使得 g(x0)在直线 yaxa 的下方，因为 g
9、(x)ex(2x1)，所以当 x12时，g(x)12时，g(x)0，所以当 x12时，g(x)min2e12，当 x0 时，g(0)1，g(1)e0，直线 ya(x1)恒过(1，0)且斜率为 a，故ag(0)1，且 g(1)3e1aa，解得 32ea1.答案 32e，1二、解答题15.已知函数 f(x)12x2aln x(aR).(1)若函数 f(x)的图象在 x2 处的切线方程为 yxb，求 a，b 的值；(2)若函数 f(x)在(1，)上为增函数，求实数 a 的取值范围.解(1)因为 f(x)xax(x0)，又 f(x)在 x2 处的切线方程为 yxb，所以2aln 22b，2a21，解得
10、 a2，b2ln 2.(2)若函数 f(x)在(1，)上为增函数，则 f(x)xax0 在(1，)上恒成立，即 ax2 在(1，)上恒成立.所以有 a1.故实数 a 的取值范围是(，1.16.已知函数 f(x)ax3bxc 在 x2 处取得极值为 c16.(1)求 a，b 的值；(2)若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在3，3上的最小值.解(1)因为 f(x)ax3bxc，故 f(x)3ax2b，由于 f(x)在点 x2 处取得极值 c16，故有f（2）0，f（2）c16，即12ab0，8a2bcc16.化简得12ab0，4ab8，解得a1，b12.(2)由(1)知 f(x)x312xc
11、，f(x)3x2123(x2)(x2).令 f(x)0，得 x12，x22.当 x(，2)时，f(x)0，故 f(x)在(，2)上为增函数；当 x(2，2)时，f(x)0，故 f(x)在(2，2)上为减函数；当 x(2，)时，f(x)0，故 f(x)在(2，)上为增函数.由此可知 f(x)在 x2 处取得极大值 f(2)16c，f(x)在 x2 处取得极小值 f(2)c16.由题设条件知 16c28，解得 c12.此时 f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此 f(x)在3，3上的最小值为 f(2)4.17.(2015南京、盐城模拟)几名大学毕业生合作开设 3D 打印店，生产并
12、销售某种3D 产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为 34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出 20 000 元.假设该产品的月销售量 t(x)(件)与销售价格 x(元/件)(xN*)之间满足如下关系：当 34x60 时，t(x)a(x5)210 050；当 60 x70 时，t(x)100 x7 600.设该店月利润为 M(元)，月利润月销售总额月总成本.(1)求 M 关于销售价格 x 的函数关系式；(2)求该打印店月利润 M 的最大值及此时产品的销售价格.解(1)当 x60 时，t(60)1 600，代入 t(x)
13、a(x5)210 050，解得 a2.M(x)（2x220 x10 000）（x34）20 000，34x60，xN*，（100 x7 600）（x34）20 000，60 x70，xN*.即 M(x)2x348x210 680 x360 000，34x60，xN*，100 x21 1000 x278 400，60 x70，xN*.(2)设 g(u)(2u220u10 000)(u34)20 000，34u60，uR，则 g(u)6(u216u1 780).令 g(u)0，解得 u182 461(舍去)，u282 461(50，51).当 34u50 时，g(u)0，g(u)单调递增；当 51
14、u60 时，g(u)0，g(u)单调递减.xN*，M(50)44 000，M(51)44 226，M(x)的最大值为 44 226.当 60 x70 时，M(x)100(x2110 x2 584)20 000 单调递减，故此时 M(x)的最大值为 M(60)21 600.综上所述，当 x51 时，月利润 M(x)有最大值 44 226 元.该打印店月利润最大为 44 226 元，此时产品的销售价格为 51 元/件.18.(2015安徽卷)设函数 f(x)x2axb.(1)讨论函数 f(sin x)在2，2 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(2)记 f0(x)x2a0 xb0，求函数
15、|f(sin x)f0(sin x)|在2，2 上的最大值 D；(3)在(2)中，取 a0b00，求 zba24 满足 D1 时的最大值.解(1)f(sin x)sin2 xasin xbsin x(sin xa)b，2 x2.f(sin x)(2sin xa)cos x，2 x2.因为2 x0，22sin x2.a2，bR 时，函数 f(sin x)单调递增，无极值.a2，bR 时，函数 f(sin x)单调递减，无极值.对于2a2，在2，2 内存在唯一的 x0，使得 2sin x0a.2 xx0 时，函数 f(sin x)单调递减；x0 x2 时，函数 f(sin x)单调递增；因此，2a
16、2，bR 时，函数 f(sin x)在 x0 处有极小值f(sin x0)fa2 ba24.(2)2 x2 时，|f(sin x)f0(sin x)|(a0a)sin xbb0|aa0|bb0|.当(a0a)(bb0)0 时，取 x2，等号成立.当(a0a)(bb0)0 时，取 x2，等号成立.由此可知，|f(sin x)f0(sin x)|在2，2 上的最大值为 D|aa0|bb0|.(3)D1 即为|a|b|1，此时 0a21，1b1，从而 zba24 1.取 a0，b1，则|a|b|1，并且 zba24 1.由此可知，zba24 满足条件 D1 的最大值为 1.19.(2015四川卷)已
17、知函数 f(x)2(xa)ln xx22ax2a2a，其中 a0.(1)设 g(x)是 f(x)的导函数，讨论 g(x)的单调性；(2)证明：存在 a(0，1)，使得 f(x)0 在区间(1，)内恒成立，且 f(x)0在区间(1，)内有唯一解.(1)解 由已知，函数 f(x)的定义域为(0，)，g(x)f(x)2(xa)2ln x21ax，所以 g(x)22x2ax22x1222a14x2，当 0a14时，g(x)在区间0，1 14a2，1 14a2，上单调递增，在区间1 14a2，1 14a2上单调递减；当 a14时，g(x)在区间(0，)上单调递增.(2)证明 由 f(x)2(xa)2ln
18、 x21ax 0，解得 ax1ln x1x1，令(x)2 xx1ln x1x1ln xx2 2x1ln x1x1x 2x1ln x1x12x1ln x1x1，则(1)10，(e)e（e2）1e12e21e120，故存在 x0(1，e)，使得(x0)0，令 a0 x01ln x01x10，u(x)x1ln x(x1)，由 u(x)11x0 知，函数 u(x)在区间(1，)上单调递增，所以 0u（1）11 u（x0）1x10 a0u（e）1e1 e21e11，即 a0(0，1)，当 aa0 时，有 f(x0)0，f(x0)(x0)0，由(1)知，f(x)在区间(1，)上单调递增.故当 x(1，x0
19、)时，f(x)0，从而 f(x)f(x0)0；当 x(x0，)时，f(x)0，从而 f(x)f(x0)0，所以，当 x(1，)时，f(x)0.综上所述，存在 a(0，1)，使得 f(x)0 在区间(1，)内恒成立，且 f(x)0在区间(1，)内有唯一解.20.(2015苏、锡、常、镇四市调研)已知函数 f(x)mxaln xm，g(x)exex，其中 m，a 均为实数.(1)求 g(x)的极值；(2)设 m1，a0，若对任意的 x1，x23，4(x1x2)，|f(x2)f(x1)|1g（x2）1g（x1）恒成立，求 a 的最小值；(3)设 a2，若对任意给定的 x0(0，e，在区间(0，e上总
20、存在 t1，t2(t1t2)，使得 f(t1)f(t2)g(x0)成立，求 m 的取值范围.解(1)g(x)e（1x）ex，令 g(x)0，得 x1.列表如下：x(，1)1(1，)g(x)0g(x)极大值g(1)1，yg(x)的极大值为 1，无极小值.(2)当 m1，a0 时，f(x)xaln x1，x(0，).f(x)xax 0 在3，4上恒成立，f(x)在3，4上为增函数.设 h(x)1g（x）exex，h(x)ex1（x1）x20 在3，4上恒成立，h(x)在3，4上为增函数.设 x2x1，则|f(x2)f(x1)|1g（x2）1g（x1）等价于 f(x2)f(x1)h(x2)h(x1)
21、，即 f(x2)h(x2)f(x1)h(x1).设 u(x)f(x)h(x)xaln x11eexx，则 u(x)在3，4上为减函数.u(x)1ax1eex（x1）x20 在3，4上恒成立.axex1ex1x 恒成立.设 v(x)xex1ex1x，v(x)1ex1ex1（x1）x21ex11x12234，x3，4，ex11x12234 34e21，v(x)0，v(x)为减函数，v(x)在3，4上的最大值为 v(3)323e2.a323e2，a 的最小值为 323e2.(3)由(1)知 g(x)在(0，e上的值域为(0，1.f(x)mx2ln xm，x(0，)，当 m0 时，f(x)2ln x
22、在(0，e上为减函数，不合题意.当 m0 时，f(x)mx2mx，由题意知 f(x)在(0，e上不单调，所以 02me，即 m2e.此时 f(x)在0，2m 上单调递减，在2m，e 上单调递增，f(e)1，即 f(e)me2m1，解得 m 3e1.由，得 m 3e1.1(0，e，f2m f(1)0 成立.下证存在 t0，2m，使得 f(t)1.取 tem，先证 em2m，即证 2emm0.设(x)2exx，则(x)2ex10 在3e1，时恒成立.(x)在3e1，上为增函数，(x)3e1 0，成立.再证 f(em)1.f(em)memmm 3e11，m 3e1时，命题成立.综上所述，m 的取值范围为3e1，.
