1、 高二第一期期末考试数学试卷（文科）卷面满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填在答题卡相应的位置）1.双曲线2244xy的离心率为 A52 B62 C5 D6 2.“mn0”是“方程 mx2ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3.命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为()A对任意 xR，都有 x20 B不存在 xR，使得 x20C存在 x0R，使得 x200 D存在 x0R，使得 x200
2、4.焦点在 x 轴上，短轴长为8，离心率为43 的椭圆的标准方程是（）A22110036xy B22110064xy C2212516xy D221259xy 5.设nm,是两条不同的直线，,是三个不同的平面，给出下列四个命题：若,/mn，则mn；若/，/，m，则 m；若/,/mn，则/mn 其中正确命题的序号是（）A和B和C和D 6.已知命题0:pxR，002lgxx，命题:qx R，20 x，则（）A命题 pq是假命题 B命题 pq是真命题 C命题()pq 是真命题 D命题()pq 是假命题 7、设函数2()f xxx，则0(1)(1)limxfxfx （）A 6 B 3 C3 D6 8、
3、已知直线3yx 与圆22220 xyxy相交于 A，B 两点，则|(AB )A62 B3 C 6 D2 9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 8 3B16 3C8D16 10.函数()2sin2xf xx的图象大致是()11、已知直线axy与曲线xyln相切，则a（）A1B 1C 0D 1e 12.已知函数mxxxf3)(3只有一个零点，则实数m 的取值范围是（）A2,2 B2,2 C2,2 D2,2 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分，把正确的选项填在答题卡相应的位置）13.若不等式1xa成立的充分条件是04x，则实数a 的取值范围是 14.已知
4、圆 C 的圆心坐标是(0,)m，若直线10 xy与圆 C 相切于点(2,1)A，则m 15、设12FF、是椭圆222210 xyabab的左、右焦点，若椭圆上存在点 P，使得 120,PF PFuuur uuur则椭圆的离心率的取值范围_.16.给出下列命题：到定点（2，3）与定直线 210 xy 的距离相等的点的轨迹是抛物线；设BA,为两个定点，k 为常数且0k，若kPBPA|，则动点P 的轨迹是双曲线。对任意实数，直线 sincos1xy总与某一个定圆相切。在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆；方程231030 xx的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 其中真命题的序号是
5、（把你认为正确的命题的序号都填上）。三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）17、在ABC中，角 A、B、C 的对边分别是a、b、c 且23sin2sinsinBAC(1 cos)B（1）求证：a、b、c 成等差数列；（2）若3a，5b，求ABC的面积18、已知等差数列 na满足：37a，5726aa.na的前n项和为nS.（）求na 及nS；（）令211nnba（nN）,求数列 nb的前n项和nT.19（12 分）如图，平面 ABCD 平面 ADEF，其中 ABCD 为矩 形，ADEF 为 直 角 梯 形，A FD E，AFFE，222AFEFD
6、E（1）求证：平面 BFD 平面 ABCD；（2）若三棱锥 BADF体积为 13，求 BD 与面 BAF 所成角的正弦值 20、据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、金融、公司和自主创业等五大行业.2020 届该学院有数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程等三个本科专业，毕业生人数分别是 70 人，140 人和 210 人现采用分层抽样的方法，从该学院毕业生中抽取 18 人调查学生的就业意向（）应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？（）国家鼓励大学生自主创业，在抽取的 18 人中，就业意向恰有三个行业的学生有 5 人为方便统计，将恰有三个行业就业
7、意向的这 5 名学生分别记为 A，B，C，D，E，统计如表：A B C D E 公务员 教师 金融 公司 自主择业 其中“”表示有该行业就业意向，“”表示无该行业就业意向 现从 A，B，C，D，E 这 5 人中随机抽取 2 人接受采访设 M 为事件“抽取的 2 人中至少有一人有自主择业意向”，求事件 M 发生的概率 21.已知椭圆2222:10 xyCabab的左右焦点分别为12,F F，椭圆C 过点21,2P，直线1PF 交 y 轴于Q，且22,PFQO O为坐标原点（1）求椭圆C 的方程；（2）设 M 是椭圆C 的上顶点，过点 M 分别作出直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设这两条
8、直线的斜率分别为12,k k，且122kk，证明：直线 AB 过定点 22.已知函数()1xf xeax，其中a 为实数，（1）若1a，求函数()f x 的最小值；（2）若方程()0f x 在(0,2上有实数解，求a 的取值范围；高二第一期期末考试 数 学 参 考 答 案 一、选择题A C D D A C C C B CBB二、填空题13.3 ，）14.315.2(,1)216.三、解答题17.解：【解析】（1）由题设条件及正弦定理，得232(1 cos)bacB，由余弦定理得22222 cos32aBacbbac，所以224)bca（，所以，bca2因此a、b、c 成等差数数列（2）因为3a
9、，5b，由（1）可得7c，所以222925 491cos22 3 52abcCab ，因此3sin2C，所以ABC的面积1315 33 5224S 18、【解析】（）设等差数列 na的公差为 d，因为37a，5726aa，所以有112721026adad，解得13,2ad，所以321)=2n+1nan（；nS=n(n-1)3n+22=2n+2n.（）由（）知2n+1na，所以 bn=211na=21=2n+1)1（114 n(n+1)=111(-)4n n+1，19、【解析】证明：作 DHAF于 H，AFFE，222AFEFDE，1HFDH，45HDF，2AF，1AH ，45ADH，90ADF
10、，即 DFAD，面 ABCD 面 ADEF，AD 为两个面的交线，FD 面 ABCD，又 FD 平面 BFD，平面 BFD 平面 ABCD（2）因 为 平 面 A B C D 平 面 ADEF，ABAD，所 以 AB 平 面 ADEF，111|1|333B ADFADFVSABAB，所以1AB ，3BD，连接 BH，易知DBH为线 BD 与面 BAF 所成的角，在直角BDH中，3BD，1DH ，13sin33DBH，所以 BD 与面 BAF 所成角的正弦值为33 20、【解答】解：（）由已知，数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程三个专业的毕业生人数之比为1:2:3，由于采用分层抽样的方法
11、抽取 18 人，应从数学与应用数学中抽取：18323kkkk人，计算机科学与技术中抽取：218623kkkk人，金融工程三个专业抽取：318923kkkk人（）从这 5 人中随机抽取 2 人的所有结果有 10 种，分别为：A，B，A，C，A，D，A，E，B，C，B，D，B，E，C，D，C，E，D，E，由统计表知事件 M 包含的基本事件有 7 种，分别为：A，B，B，C，B，D，B，EA，D，C，D，D，E，事件 M 发生的概率710P 21.（1）22PFQO，212PFF F，1c ，2 分 又2222221121,1abcbab，221,2ba，即2212xy；5 分 12 22 5 分（2）()(02)xfxeax当1a 时，()0,fx()f x 在(0,2内递增；()(0)0f xf，方程()0f x 在(0,2上无实数解；7 分当2ae时，()0,fx()f x 在(0,2内递减；()(0)0f xf，方程()0f x 在(0,2上无实数解；9 分当21ae时，由()0,fx 得lnxa，当 0ln,()0,()xafxf x时递减；当ln2ax时，()0,()fxf x递增；又(0)0f，2(2)21fea,由2(2)210fea 得2112ea 故a的取值范围为211,2e 12 分
