1、西安中学高2021届高三12月月考文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 定义，若，则（ ）A. B. C. D. C分析：根据题中的新定义,找出属于 不属于的元素.即可确定出.解答：解:集合.故选C点拨：此题考查了补集及其运算,属于新定义题型,弄清题中“差集”的新定义是解本题的关键.2. 已知为虚数单位，复数.若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. A分析：对 进行整理得，进而可求出，结合可得，进而可求出的取值范围.解答：解：，则， ，因为，所以，解得.故选:A.点拨：本题考查了复数的运算，考查了复数的模，考查了一元二次不等式.将 进行整理是本题的关键.3. 已
2、知单位向量与的夹角为，若与垂直，则实数x的值为（ ）A. B. C. D. B分析：根据与垂直，利用求解.解答：因为与垂直，所以，所以，故选：B .点拨：本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题.4. 下列选项中，说法正确的是（ ）A. “”的否定是“”B. 若向量满足 ，则与的夹角为钝角C. 若，则D. “”是“”的必要条件D分析：对于A根据命题的否定可得：“x0R，x02-x00”的否定是“xR，x2-x0”，即可判断出；对于B若向量满足，则与的夹角为钝角或平角；对于C当m=0时，满足am2bm2，但是ab不一定成立；对于D根据元素与集合的关系即可做出判断解答：选项A根据命题的否定可得
3、：“x0R，x02-x00”的否定是“xR，x2-x0”，因此A不正确；选项B若向量满足，则与的夹角为钝角或平角，因此不正确.选项C当m=0时,满足am2bm2，但是ab不一定成立，因此不正确；选项D若“”，则且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要条件，故正确.故选：D.点拨：本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.5. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B. C. D. B分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，
4、故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中矩形的高为4，俯视图是一个半圆内切于边长为4的正方形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. A分析：该组合体上面是球体的四分之一，球直径是4，下面是棱长为4的正方体，各部分体积易求.详解】解：由三视图知几何体的下部是边长为4正方体，上部是球，且球的半径为2，几何体的体积故选：A点拨：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形
5、状及数据所对应的几何量，属于基础题7. 幂函数yx，当取不同的正数时，在区间0，1上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数yxa，yxb的图象三等分，即有BMMNNA，那么（ ）A. 0B. 1C. D. 2A分析：由题意得，代入函数解析式，进而利用指对互化即可得解.解答：BMMNNA，点A(1，0)，B(0，1)，所以，将两点坐标分别代入yxa，yxb，得 所以，所以.故选：A.点拨：本题主要考查了幂函数的图像及对数的运算，涉及换底公式，属于基础题.8. 在平面直角坐标系中，角的顶点为，始边与轴正半轴重合，终边过点，且，则
6、（ ）A. B. C. D. B分析：通过三角函数定义求y，并且一定注意终边所过点的取值范围再利用两角和余弦公式进行化简，求值解答：由终边过点，得，解得即终边过点，故选B点拨：使用三角函数定义，需注意，其中9. 函数的部分图象如图所示，则 ()A. 6B. 4C. 4D. 6D试题分析：由的图象可知A(2,0),B(3,1)所以,所以.考点：向量数量积，向量的坐标表示.10. 在底边边长为2的正四棱锥中，异面直线与所成角的正切值为3，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. B分析：可知异面直线与所成角即为，可以求出，进而求出，根据外接球性质建立勾股定理可求出球半径，即可得解.解答
7、：，异面直线与所成角即为，作于H，则，设P在底面的投影为，则，如图，设球心为，半径为R，则,，.故选:B.本题考查外接球的相关计算，属于基础题.11. 函数存在极值点，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. 或D. 或D分析：求导函数，由导函数的零点确定存在极值点的条件.解答：，当直线与二次函数有两个不同交点时，函数存极值点，而，所以，解得.故选: D12. 正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，的中点，则（ ）A. 直线与直线AF垂直B. 直线与平面AEF不平行C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为D. 点C与点G到平面AEF的距离相等C分析：由，得出平面，进而得出，可判定A错误；取
8、的中点，连接，利用线面平行的判定定理，得到平面，可判定B错误；连接，延长交于点，得到截面即为梯形，求得梯形的面积，可判定C正确；记点与点到平面的距离分别为，根据体积公式列出方程，得到，可判定D错误.解答：对于A中，若，因为且，所以平面，所以，所以，此时不成立，所以A错误；对于B中，如图所示，取的中点，连接，由条件可知：，且,所以平面平面，又因为平面，所以平面，所以B错误；对于C中，如图所示，连接，延长交于点，因为为中点，所以，所以四点共面，所以截面即为梯形，又因为,所以,所以梯形，所以C正确.对于D中，记点与点到平面的距离分别为，因为,又因为,所以，所以D错误.故选：C.二、填空题（本大题共4
9、小题，共20.0分）13. 方程sinxlgx的解有_个3作出函数与的图象如图所示：则两个图象的交点的个数为3个故答案为314. 等差数列的前项和为，则当取最小值时，等于_.分析：求出等差数列的公差，可求得关于的表达式，利用二次函数的基本性质可求得当取最小值时对应的正整数的值.解答：设等差数列的公差为，则，解得，当时，取得最小值.故答案为：.点拨：本题考查利用二次函数的基本性质求的最小值，考查计算能力，属于基础题.15. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底C在西偏北的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山底C在西偏北的方向上，山顶D的仰角为，则此山的高度_
10、分析：在中由正弦定理解出，在中由正切的定义求出解答：在中，即，解得又在中，即山高为故答案为：点拨：结论点睛：解三角形需要三个条件，且至少有一个为边长，对于未知的几何元素（边和角），可以放到其它三角形中求解.16. 关于函数，有下列命题：其图象关于y轴对称；当x时，是增函数；当x时，是减函数；的最小值是；在区间、上是增函数；无最大值，也无最小值其中所有正确命题的序号是_分析：根据偶函数定义确定成立，根据对勾函数性质得错误，根据对勾函数性质以及偶函数性质得成立，错误；根据复合函数性质得成立.解答：定义域关于原点对称，又满足，所以函数的图象关于y轴对称，故正确；令（），在上是减函数，在上是增函数，不
11、正确；，又是偶函数，所以函数的最小值是，正确；当或时函数是增函数，根据复合函数知是增函数，正确；由知，不正确故答案为：三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）17. 已知等比数列的前n项和为，且，成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和（1）；（2）.分析：（1）设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得，进而可得，再由等差数列的性质、等比数列的知识列方程可得，即可得解；（2）由，结合等比数列前n项和公式、裂项相消法及分组求和法即可得解.解答：（1）在比数列中
12、，设等比数列的公比为，由，得，成等差数列，从而有，得，；（2）由，且，得，.点拨：本题考查了等差等比数列的综合应用，数列求和的方法技巧有：（ 1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和（ 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和（ 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和（ 4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.18. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费（万元）和年销售量（单位：）具有线性相关关系，并
13、对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.（万元）24536（单位：）2.544.536（1）根据表中数据建立年销售量关于年宣传费的回归方程；（2）已知这种产品的年利润与，的关系为，根据（1）中的结果回答下列问题：当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.附：问归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.参考数据：，.（1）；（2）年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25；5万元分析：（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）先求得年利润关于的表达式，然后将分别代入回归直线方程和年利润的函
14、数表达式，由此求得年销售量及年利润的预报值求得年利润与年宣传费的比值的表达式，利用基本不等式求得时，年利润与年宣传费的比值最大.解答：（1）由题意，.（2）由（1）得，当时，.即当年宣传费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25.令年利润与年宣传费的比值为，则，.当且仅当即时取最大值.故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.点拨：本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.19. 在中, 内角,的对边分别为,且.（1）求角的大小；（2）若的面积为,且,求.（1）；（2）试题分析：（1）首先利用正
15、弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简已知条件式，由此求得的值，从而求得角的大小；（2）首先根据条件等式结合余弦定理得到的关系式，然后根据三角形面积公式求得的值，从而求得的值试题解析：（1）由及正弦定理可得,又因为.（2）,又由余弦定理得,代入式得,由余弦定理,得.考点：1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦函数公式；3、三角形面积公式20. 如图所示的多面体中，四边形是正方形，平面平面，.（1）求证：；（2）求点D到平面的距离.（1）证明见解析；（2）分析：（1）利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理以及性质，即可证明；（2）利用等体积法求解即可.解答：（1）四边形是正方
16、形， 又平面平面，平面平面，平面平面又平面在中，由余弦定理得，又，平面平面.又平面.（2）连结，由（1）可知，平面四边形是正方形，又面，面面A到的距离等于B到的距离.即B到面的距离为.在直角梯形中，在直角梯形中，可得在等腰中，设点D到平面的距离为d，即，点D到平面的距离为.点拨：本题主要考查了证明线线垂直以及求点到平面的距离，属于中档题.21. 已知函数（1）若，求函数的极值和单调区间；（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围（1）取得极小值为，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.分析：（1）求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数的导数和驻点，然后列表讨论，求函数
17、的单调区间和极值；（2）若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于即可利用导数研究函数在区间上的最小值，先求出导函数，然后讨论研究函数在上的单调性，将的极值点与区间的端点比较，确定其最小的极值点解答：解：的定义域为，因为，（1）当时，令，得，又的定义域为，随的变化情况如下表:10单调递减极小值单调递增所以时，取得极小值为的单调递增区间为，单调递减区间为（2）因为，且令，得，若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可当，即时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为，由，得，即当，即时，若，则对成立，所以在区间上单调递减，所以，在区间上的
18、最小值为，显然，在区间上的最小值小于不成立若，即时，则有单调递减极小值单调递增所以在区间上的最小值为由，得，解得，即综上，由可知符合题意点拨：本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的分析问题解决问题及计算能力；较难22. 已知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数）（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极
19、坐标为，判断点P与直线的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线的距离的最小值与最大值（）不在直线上；（）最小值为，最大值为分析：解答：（）将点化为直角坐标，得，直线的普通方程为，显然点不满足直线的方程，所以点不在直线上（）因为点在曲线上，故可设点，点到直线：的距离为，所以当时，当时，故点到直线的距离的最小值为，最大值为23. 已知函数，且的解集为.（1）求的值；（2）若都为正数，且，证明：.（1）（2）证明见解析分析：(1)由题设条件得出，解得，根据的解集求出的值；(2)将1代换为，利用基本不等式证明不等式即可.解答：（1）由得得，因为的解集为，所以.（2）由（1）得，.当且仅当时，等号成立.所以成立.点拨：本题主要考查了利用基本不等式证明不等式，注意“1”的代换，属于中档题.
